运筹学概论 第2章 线性规划的对偶理论
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第二章 线性规划的对偶理论
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格
2020/4/29
第一节 线性规划的对偶问题
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船 对偶是一种普遍现象
2020/4/
一、对偶问题的提出
例1 美佳公司计划制造甲、乙两种家电产品，已知制造一件甲需占用B 设备5小时，调试工序1小时；制造一件乙需占用A设备6小时，B设备2 小时，调试工序1小时； A设备每天可用15小时， B设备可用24小时， 调试工序每天可用5小时。已知售出一件甲获利2元，售出一件乙获利1 元，问该公司每天应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？
x1,x2,x3,x4 0
假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们 谈判原料价格的模型是怎样的？
2020/4/29
●设A、B资源的出售价格分别为 y1 和 y2 ●显然商人希望总的收购价越小越好(目标) ●工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少（约束）
2020/4/29
maxZ x1 2x2 3x3 4x4
(2)
3y1 5y1
y2 y3 y3 4 6y2 y3 y3 3
(3) (4)
5y1 6y2 y3 y3 3
(5)
y1, y2 , y3, y3 0
(6)
y2=-y2’；y3=y3’-y3’’；（3）式 两端乘“-1”，（4）、（5）合并。
A’YC’
决策变量
X 0
Y 0
2020/4/29
min w Y 'b A 'Y C ' Y 0
max w ' Y 'b - A 'Y C ' Y 0
min z ' CX - AX b X 0
max z CX AX b X 0
➢ 对偶问题的对偶即原问题。同样，可以将对偶问题当作 原问题，写出其对偶问题。
2020/4/29
max z x1 4x2 3x3
2x1 3x2 5x3 2
3x1 x2 6x3 1
x1
x2
x3
4
x1 0, x2 0, x3无约束
max
z
x1
4
x
' 2
3
x
' 3
3
x
'' 3
2 x1 3 x 2 5 x 3 5 x 3 2
3 x1 x1 x 2
y1, y2 0
max z CX AX b X 0
min w Y 'b A 'Y C ' Y 0
原问题
对偶问题
A
约束系数矩阵
其约束系数矩阵的转置
b
约束条件的右端项
目标函数中的价值系数向量
C 目标函数中的价值系数向量 约束条件的右端项向量
目标函数
Max z=CX
Min w=Y’b
约束条件
AXb
例2 假设某个公司想把美佳公司的资源购买过来，他至少应付多大的代 价，才能使美佳公司愿意放弃生产活动，出让自己的资源。
( LP 1) max z 2 x1 x 2
5 x 2 15
6 x
x
1
1
x
2
2
x2
5
24
x1 , x 2 0
(LP2) min f 15y1 24y2 5y3
6y2 y3 2 5y1 2y2 y3 1 y1, y2, y3 0
max z x1 4x2 3x3
(1)
2x1 3x2 5x3 2
(2)
3x1 x2 6x3 1
(3)
x1
x2
x3
4
(4)
x1 0, x2 0, x3无约束 (5)
转换为对偶问题的思路是：先将其转化成对称形式，再按对 应关系来写。因例中目标函数为max，故约束条件应换为 “”号，所有的变量均应“0”，
2020/4/29
原问题
对偶问题
二、对称形式下对偶问题的一般形式
Max z c1 x1 c 2 x 2 c n x n s .t . a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n b m x1, x2 , , xn 0
s.t.
2x1x1 2xx22
2x3 3x4 3x3 2x4
25 15
A资源 y 1 B资源 y 2
x1,x2,x3,x4 0
mW in 2y5 11y5 2
y1 2y2 1 产品1的所得
s.t.
2y1 y2 2 2y1 3y2 3
产品2的所得 产品3的所得
3y1 2y2 4 产品4的所得
2020/4/29
课堂练习：
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 8
4 x1
16
4 x 2 12
x1, x2 0
min 80y1 60y2
s.t .
2y1 3y2 60
4y1 2y2 50
y1 ,y2 0
2020/4/29
三、非对称形式的原-对偶问题关系
2y1 3y2 y3 y3 1
(2)
3y1 5y1
y2 y3 y3 4 6y2 y3 y3 3
(3) (4)
5y1 6y2 y3 y3 3
(5)
y1, y2 , y3, y3 0
(6)
2020/4/29
min w 2y1 y2 4y3 4y3
(1)
2y1 3y2 y3 y3 1
x
2 x
3
6
x 3 x 3
6x 4
3
1
x1
x 2
x 3
x 3
4
x1 0 , x 2 0 , x 3 0 , x 3 0
(1)
-3x1+x2-6x3-1
(2)
(3)
x1+x2+x34
(4)
-x1-x2-x3-4
(5)
x2’=-x2；x3=x3’-x3’’
minw 2y1 y2 4y3 4y3 (1)
min w b1 y 1 b 2 y 2 b m y m s .t . a 11 y 1 a 21 y 2 a m 1 y m c1 a 12 y 1 a 22 y 2 a m 2 y m c 2 a 1 n y 1 a 2 n y 2 a mn y m c n y1, y2 , , ym 0
用矩阵形式表示：
max z CX
min w Y 'b
AX b
A 'Y C '
2020/4/29
X 0
Y 0
●任何线性规划问题都有其对偶问题 ●对偶问题有其明显的经济含义
例3
maxZx1 2x2 3x3 4x4
s.t.
2x1x1 2xx22
2x3 3x4 3x3 2x4
25 15
A资源 B资源
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格
2020/4/29
第一节 线性规划的对偶问题
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船 对偶是一种普遍现象
2020/4/
一、对偶问题的提出
例1 美佳公司计划制造甲、乙两种家电产品，已知制造一件甲需占用B 设备5小时，调试工序1小时；制造一件乙需占用A设备6小时，B设备2 小时，调试工序1小时； A设备每天可用15小时， B设备可用24小时， 调试工序每天可用5小时。已知售出一件甲获利2元，售出一件乙获利1 元，问该公司每天应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？
x1,x2,x3,x4 0
假设有商人要向厂方购买资源A和B，问他们 谈判原料价格的模型是怎样的？
2020/4/29
●设A、B资源的出售价格分别为 y1 和 y2 ●显然商人希望总的收购价越小越好(目标) ●工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少（约束）
2020/4/29
maxZ x1 2x2 3x3 4x4
(2)
3y1 5y1
y2 y3 y3 4 6y2 y3 y3 3
(3) (4)
5y1 6y2 y3 y3 3
(5)
y1, y2 , y3, y3 0
(6)
y2=-y2’；y3=y3’-y3’’；（3）式 两端乘“-1”，（4）、（5）合并。
A’YC’
决策变量
X 0
Y 0
2020/4/29
min w Y 'b A 'Y C ' Y 0
max w ' Y 'b - A 'Y C ' Y 0
min z ' CX - AX b X 0
max z CX AX b X 0
➢ 对偶问题的对偶即原问题。同样，可以将对偶问题当作 原问题，写出其对偶问题。
2020/4/29
max z x1 4x2 3x3
2x1 3x2 5x3 2
3x1 x2 6x3 1
x1
x2
x3
4
x1 0, x2 0, x3无约束
max
z
x1
4
x
' 2
3
x
' 3
3
x
'' 3
2 x1 3 x 2 5 x 3 5 x 3 2
3 x1 x1 x 2
y1, y2 0
max z CX AX b X 0
min w Y 'b A 'Y C ' Y 0
原问题
对偶问题
A
约束系数矩阵
其约束系数矩阵的转置
b
约束条件的右端项
目标函数中的价值系数向量
C 目标函数中的价值系数向量 约束条件的右端项向量
目标函数
Max z=CX
Min w=Y’b
约束条件
AXb
例2 假设某个公司想把美佳公司的资源购买过来，他至少应付多大的代 价，才能使美佳公司愿意放弃生产活动，出让自己的资源。
( LP 1) max z 2 x1 x 2
5 x 2 15
6 x
x
1
1
x
2
2
x2
5
24
x1 , x 2 0
(LP2) min f 15y1 24y2 5y3
6y2 y3 2 5y1 2y2 y3 1 y1, y2, y3 0
max z x1 4x2 3x3
(1)
2x1 3x2 5x3 2
(2)
3x1 x2 6x3 1
(3)
x1
x2
x3
4
(4)
x1 0, x2 0, x3无约束 (5)
转换为对偶问题的思路是：先将其转化成对称形式，再按对 应关系来写。因例中目标函数为max，故约束条件应换为 “”号，所有的变量均应“0”，
2020/4/29
原问题
对偶问题
二、对称形式下对偶问题的一般形式
Max z c1 x1 c 2 x 2 c n x n s .t . a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n b m x1, x2 , , xn 0
s.t.
2x1x1 2xx22
2x3 3x4 3x3 2x4
25 15
A资源 y 1 B资源 y 2
x1,x2,x3,x4 0
mW in 2y5 11y5 2
y1 2y2 1 产品1的所得
s.t.
2y1 y2 2 2y1 3y2 3
产品2的所得 产品3的所得
3y1 2y2 4 产品4的所得
2020/4/29
课堂练习：
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 8
4 x1
16
4 x 2 12
x1, x2 0
min 80y1 60y2
s.t .
2y1 3y2 60
4y1 2y2 50
y1 ,y2 0
2020/4/29
三、非对称形式的原-对偶问题关系
2y1 3y2 y3 y3 1
(2)
3y1 5y1
y2 y3 y3 4 6y2 y3 y3 3
(3) (4)
5y1 6y2 y3 y3 3
(5)
y1, y2 , y3, y3 0
(6)
2020/4/29
min w 2y1 y2 4y3 4y3
(1)
2y1 3y2 y3 y3 1
x
2 x
3
6
x 3 x 3
6x 4
3
1
x1
x 2
x 3
x 3
4
x1 0 , x 2 0 , x 3 0 , x 3 0
(1)
-3x1+x2-6x3-1
(2)
(3)
x1+x2+x34
(4)
-x1-x2-x3-4
(5)
x2’=-x2；x3=x3’-x3’’
minw 2y1 y2 4y3 4y3 (1)
min w b1 y 1 b 2 y 2 b m y m s .t . a 11 y 1 a 21 y 2 a m 1 y m c1 a 12 y 1 a 22 y 2 a m 2 y m c 2 a 1 n y 1 a 2 n y 2 a mn y m c n y1, y2 , , ym 0
用矩阵形式表示：
max z CX
min w Y 'b
AX b
A 'Y C '
2020/4/29
X 0
Y 0
●任何线性规划问题都有其对偶问题 ●对偶问题有其明显的经济含义
例3
maxZx1 2x2 3x3 4x4
s.t.
2x1x1 2xx22
2x3 3x4 3x3 2x4
25 15
A资源 B资源