关于圆锥曲线的中点弦问题

一、求中点弦所在直线方程问题
例1
x2 y2 过椭圆 1 内一点 16 4
M（2，1）引一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所
在的直线方程。
解法一：设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 )，B（ x2 , y 2 ） ，M（2，1）为 AB 的中点， 所以 x1 x2 4 ， y1 y 2 2 ， 又 A、B 两点在椭圆上，则 x12 4 y12 16 ， x2 2 4 y 2 2 16 ， 两式相减得 ( x1 2 x2 2 ) 4( y12 y 2 2 ) 0 ， 所以
y0 1 2 所以 x x 16 y ，而 k PQ x (8) ，故 16 y x 8 。 1 2
y y
9x
9x
y
2 2 化简可得 9 x 72 x 16 y 0 （ x 8 ）。
二、求弦中点的轨迹方程问题
例2
x2 y2 过椭圆 1 上一点 64 36
解法三： 设中点坐标为 M ( x0 , y0 ) ，由结论易得： k
p 2 y0 y0
2 1, y0 2 由题目已知，k=1，所以有 y 0
代入直线 y x 1 中，求得 x0 3 即中点坐标为 (3,2) 。
y2 x2 练习：已知椭圆 75 25 1 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹
在的直线方程。
解法二：设所求直线与椭圆的一个交点为 A( x , y )，由于中 点为 M（2，1） ， 则另一个交点为 B(4- x ,2 y )， 因为 A、B 两式相减得 x 2 y 4 0 ， 由于过 A、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为 x 2 y 4 0 。
又因为点 P（-8，0）在直线 PQ 上，所以直线的斜率还可以表 示为： k PQ
y0 y y 9x x (8) x 8 ，所以有 16 y x 8 ，
2 2 化简可得 9 x 72 x 16 y 0 （ x 8 ）。
三、弦中点的坐标问题
2 例 3 求直线 y x 1 被抛物线 y 4 x 截得线段的中点坐标。
方程。
参考答案（它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为
5 3 5 3 x y 0( y ) 2 2
祝你学习愉快！
AB 的 中 点 为 P ( x0 , y0 ) （ y0 0) ， 则
。 （对 a≤b 也成立。 ） （假设点 P 在椭圆上，则为过点 P 的切线斜率）
b 2 x0 2 a y0
结论 2
则
k AB
x2 y2 2 1 2 设双曲线 a b 的弦
AB 的中点为 P ( x0 , y0 ) （ y0 0) ，
9 x1 2 16 y1 2 576 2 则有 9 x 2 16 y 2 576 ，两式相减得 9( x1 2 2
x2 ) 16( y1 y 2 ) 0 ，
2 2 2
又因为 x1 x2 2 x ， y1 y 2 2 y ，所以 9 2 x( x1 x2 ) 16 2 y( y1 y 2 ) 0 ，
( x 4) 2 y 2 所以 PQ 中点 M 的轨迹方程为 16 9 1 （
x 8 ）。
三、弦中点的坐标问题
2 例 3 求直线 y x 1 被抛物线 y 4 x 截得线段的中点坐标。
2 解法一： 设直线 y x 1 与抛物线 y 4 x 交于 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y 2 ) ，
b 2 x0 2 a y0
。 （假设点 P 在双曲线上，则为过 P 点的切线斜率）
y 2 2 px 的弦 AB 的中点为 P ( x0 , y0 ) （ y0 0) ，则 结论 3 设抛物线
k AB p p k ) y0 。 （假设点 P 在抛物线上，则过点 P 的切线斜率为 y0
2 例 3 求直线 y x 1 被抛物线 y 4 x 截得线段的中点坐标。
解法二：设直线 y x 1 与抛物线 y 2 4 x 交于 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y 2 ) ，
y1 2 4 x1 2 2 其中点 P( x0 , y0 ) ， 由题意得 y 2 4 x ， 两式相减得 y 2 y1 4( x2 x1 百度文库 ， 2 2
( y 2 y1 )( y 2 y1 ) 4， 所以 x 2 x1
所以 y1 y 2 4 ，即 y 0 2 ， x0 y 0 1 3 ， 即中点坐标为 (3,2) 。
如果，你觉得以上解答还不够简单的话，
那
……
请记住几个重要结论：
结论 1
k AB
设椭圆
x2 y2 1 a 2 b2 的弦
y1 y 2 x x2 1 1 1 ，即 k AB ， x1 x 2 4( y1 y 2 ) 2 2
故所求直线方程为 x 2 y 4 0 。
一、求中点弦所在直线方程问题
例1
x2 y2 过椭圆 1 内一点 16 4
M（2，1）引一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所
二、求弦中点的轨迹方程问题
例2
x2 y2 过椭圆 1 上一点 64 36
P（-8，0）作直线交椭圆于 Q 点，求 PQ 中点的轨迹
方程。
解法三：
设 PQ 的中点坐标为 M（x，y） ， 由结论易知： kPQ
b 2 x0 36 x 9x 2 a y0 64 y 16 y ，
x 2 4 y 2 16 两点在椭圆上，所以有 (4 x) 2 4(2 y ) 2 16 ，
二、求弦中点的轨迹方程问题
例2
x2 y2 过椭圆 1 上一点 64 36
P（-8，0）作直线交椭圆于 Q 点，求 PQ 中点的轨迹
方程。
解法一：设弦 PQ 中点 M（ x, y ），弦端点 P（ x1 , y1 ），Q（ x2 , y 2 ），
y x 1 其中点 P( x0 , y0 ) ，由题意得 y 2 4 x ，
( x 1) 2 4 x ，即 x 2 6 x 1 0 ， 消去 y 得
所以 x0
x1 x2 3， 2
y 0 x0 1 2 ，即中点坐标为 (3,2) 。
三、弦中点的坐标问题
关于圆锥曲线的 中点弦问题
塔山中学 数学组
关于圆锥曲线的中点弦问题
• 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几 何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。 这类问题一般有以下三种类型： • （1）求中点弦所在直线方程问题； • （2）求弦中点的轨迹方程问题； • （3）求弦中点的坐标问题。 • 其解法有代点相减法（点差法）、设而不求法、 参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题
例1
x2 y2 过椭圆 1 内一点 16 4
M（2，1）引一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所
在的直线方程。
解法三：
由结论易知： k AB
b 2 x0 4 2 1 2 a y0 16 1 2
又因为直线过点 M（2，1） ，所以所求弦所在的直 线方程为 x 2 y 4 0
P（-8，0）作直线交椭圆于 Q 点，求 PQ 中点的轨迹
方程。
解法二：设弦中点 M（ x, y ），Q（ x1 , y1 ），由 x 可得 x1
y x1 8 y 1 2 2 ，
2 x 8 ， y1 2 y ，
2 2
x1 y1 4( x 4) 2 4 y 2 1， 又因为 Q 在椭圆上，所以 64 36 1 ，即 64 36