[精品]2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷及解析答案word版(理科)

2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）
A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}
2．（5分）已知非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是（）A．∀x∈M，x∉P B．∀x∈P，x∈M
C．∃x1∈M，x1∈P且∃x2∈M，x2∉P D．∃x0∈M，x0∉P
3．（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）
A．B．C．D．
4．（5分）已知实数x，y满足，设z=x+y，则z的最小值为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
5．（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等．中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强．但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）
A．B．C．D．
6．（5分）已知函数f（x）=，则函数y=f（e﹣x）的大致图象是（）
A．B．C．D．
7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B．3πC．D．6π
8．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C 上且，则△AFK的面积为（）
A．4 B．8 C．16 D．32
9．（5分）已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，BC=2AD，则sinC的值为（）
A．B．C．D．
10．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，若对任意实数λ，|+λ|min=1，则下列说法正确的是（）
A．若θ确定，则||唯一确定 B．若θ确定，则||唯一确定
C．若||确定，则θ唯一确定 D．若||确定，则θ唯一确定
11．（5分）已知球O与棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是△ACB1的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是（）
A．[，]B．[，]C．[，]
D．[，]
12．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，下列说法中错误的是（）
A．f（x）的最大值为2
B．f（x）在（﹣10，10）内所有零点之和为0
C．f（x）的任何一个极大值都大于1
D．f（x）在（0，10）内所有极值点之和小于55
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若复数z为纯虚数，且（i为虚数单位），则z=．
14．（5分）已知过点（，4）的双曲线的两条渐近线为2x±y=0，则该双曲线的方程为．
15．（5分）若当x=θ时，函数f（x）=3cosx﹣sinx取得最小值，则cosθ=．16．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f'（x），若对任意x∈R，不等式f（x）≥f'（x）恒成立，则的最大值为．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=5，a4+a6=22，数列{b n}中，b1=3，b n=2b n +1（n≥2）．
﹣1
（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）定义x=[x]+（x），[x]是x的整数部分，（x）是x的小数部分，且0≤（x）＜1，记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和．
18．（12分）2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区．消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点．
（Ⅰ）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程y=x +（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；
（Ⅱ）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期
望．参考公式及数据：=，==，，．
19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．
（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE 的长．
20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，0）
是它的一个顶点，过点P作圆C2：x2+y2=r2的切线PT，T为切点，且|PT|=．（Ⅰ）求椭圆C1及圆C2的方程；
（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2
与圆交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）=e ax ln（x+1），其中a∈R．
（Ⅰ）设F（x）=e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．将圆x2+y2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为：ρsin（θ+）=，且直线l在直角坐标系中与x，y轴分别交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
=3，若存在，求出点（Ⅱ）问在曲线C上是否存在点P，使得△ABP的面积S
△ABP
P的坐标，若不存在，请说明理由．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（10分）设函数f（x）=|ax+b|（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=2，b=1，求不等式f（x）+f（﹣x）≤4的解集；
（Ⅱ）若对任意满足0≤x≤1的实数x，都有f（x）≤1成立，求证：|a|≤2．
2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）
A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，
∴∁U A={2，5}，
∵B={2，4}，
∴（∁U A）∪B={2，4，5}．
故选：A．
2．（5分）已知非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是（）A．∀x∈M，x∉P B．∀x∈P，x∈M
C．∃x1∈M，x1∈P且∃x2∈M，x2∉P D．∃x0∈M，x0∉P
【解答】解：非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题⇒∃x0∈M，x0∉P．反之也成立．
∴非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是∃x0∈M，x0∉P．
故选：D．
3．（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）
A．B．C．D．
【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出
s=++++的值，
由于s=++++=．
故选：C．
4．（5分）已知实数x，y满足，设z=x+y，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（﹣2，1），
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最小值为﹣1．
故选：B．
5．（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等．中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强．但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜；当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下：
双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，
∴田忌获胜的概率p=．
故选：C．
6．（5分）已知函数f（x）=，则函数y=f（e﹣x）的大致图象是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵函数f（x）=在x=e处不连续，
且在（﹣∞，e]上为凹函数，在（e，+∞）上为凸函数；
函数y=f（e﹣x）的图象与函数f（x）的图象关于直线x=对称；
故函数y=f（e﹣x）的图象在x=0处不连续，
且在（﹣∞，0）上为凸函数，在[0，+∞）上为凹函数；
故选：B．
7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B．3πC．D．6π
【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图
所求几何体的体积为：=3π．
故选：B．
8．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C 上且，则△AFK的面积为（）
A．4 B．8 C．16 D．32
【解答】解：∵抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），准线为x=﹣2
∴K（﹣2，0）
设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0）
∵，又AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2
∴由BK2=AK2﹣AB2得y02=（x0+2）2，即8x0=（x0+2）2，解得A（2，±4）
∴△AFK的面积为
故选：B．
9．（5分）已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，BC=2AD，则sinC的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，
则：在△ABD中，
利用余弦定理：
==，
由于0＜A＜π，
则：，
在△ABC中，
利用正弦定理：，
AB=AD，BC=2AD，
解得：．
故选：A．
10．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，若对任意实数λ，|+λ|min=1，则下列说法正确的是（）
A．若θ确定，则||唯一确定 B．若θ确定，则||唯一确定
C．若||确定，则θ唯一确定 D．若||确定，则θ唯一确定
【解答】解：令g（λ）==+2λ•+λ2，
且△=4﹣4•≤0恒成立．
当且仅当λ=﹣=﹣时，
二次函数g（λ）取得最小值1，
∴+2×（﹣）ו+×=1，
化为：sin2θ=1；
∴θ确定时，||唯一确定．
故选：A．
11．（5分）已知球O与棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是△ACB1的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是（）
A．[，]B．[，]C．[，] D．[，]
【解答】解：设与正方体的各棱都相切的球的球心为O，其半径为r=2，正方体的外接球为O1，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，
其半径R=．
∵点M在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，
∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径，线段MN长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径，由此可得线段MN的取值范围是[2﹣2，2+2]．
故选：C．
12．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，下列说法中错误的是（）
A．f（x）的最大值为2
B．f（x）在（﹣10，10）内所有零点之和为0
C．f（x）的任何一个极大值都大于1
D．f（x）在（0，10）内所有极值点之和小于55
【解答】解：∵f（x）是偶函数，f（0）=2是一个极大值，故A，B显然成立，对于C，下面考虑x＞0的情况，
f（x）=e﹣x+cosπx，f′（x）=﹣e﹣x﹣πsinπx，
考虑h（x）=﹣e﹣x，g（x）=πsinπx的图象交点可知，
在每个区间（2k﹣2，2k），（k∈N
+）上，f′（x）=0有2个解x2k
﹣1
，x2k，
故当x∈（x2k
﹣1，x2k），（k∈N
+
）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x∈（x2k，x2k
+1），（k∈N
+
）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
而x2k＜2k＜x2k
+1
，故f（x）的极大值是f（x2k）＞f（2k）=e﹣2k+1＞1，
故C正确，在（0，10）内有10个极值点，其中x1+x2＞3，x3+x4＞7，
x5+x6＞11，x7+x8＞15，x9+x10＞19，
故x i＞55，故D错误，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若复数z为纯虚数，且（i为虚数单位），则z=±i．
【解答】解：设z=mi（m≠0），
则|z|=，
得|z|=1，即|m|=1，则m=±1．
∴z=±i．
故答案为：±i
14．（5分）已知过点（，4）的双曲线的两条渐近线为2x±y=0，则该双曲线
的方程为﹣x2=1．
【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线为2x±y=0，设其方程为x2﹣=t，（t
≠0）
又由双曲线经过点（，4），
则有3﹣=t，解可得t=﹣1；
则双曲线的方程为﹣x2=1；
故答案为：﹣x2=1．
15．（5分）若当x=θ时，函数f（x）=3cosx﹣sinx取得最小值，则cosθ=﹣．
【解答】解：f（x）=3cosx﹣sinx==（x﹣
φ），
（cosφ=，sinφ=）．
当x﹣φ=时，f（x）有最小值，此时x=+φ+2kπ，
∴cosθ=cos（φ）=﹣sinφ=．
故答案为：．
16．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f'（x），若对任意x∈R，不等
式f（x）≥f'（x）恒成立，则的最大值为﹣2．
【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，
∴f′（x）=2ax+b，
∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，
∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，
即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，
故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，
∴≤=，
∵4ac﹣4a2≥0，
∴≥1，令t=﹣1，则t≥0，
∴≤==≤=﹣2，
当且仅当t=，即=+1时取等号，
故的最大值为﹣2
故答案为：﹣2
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=5，a4+a6=22，数列{b n}中，b1=3，b n=2b n +1（n≥2）．
﹣1
（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）定义x=[x]+（x），[x]是x的整数部分，（x）是x的小数部分，且0≤（x）＜1，记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和．
【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=5，a4+a6=22，
∴a 1+d=5，2a 1+8d=22， 联立解得a 1=3，d=2． ∴a n =3+2（n ﹣1）=2n +1．
数列{b n }中，b 1=3，b n =2b n ﹣1+1（n ≥2）． 化为：b n +1=2（b n ﹣1+1）（n ≥2）．
∴数列{b n +1}为等比数列，公比为2，首项为b 1+1=4． ∴b n +1=4×2n ﹣1，化为：b n =2n +1﹣1． （II ）n ≥1时，2n +1=2（1+1）n ≥=2（1+n ）＞2n +1．
∴=
， ∴S n =
+…+，
=
+…++
，
相减可得：
=2﹣=+2﹣，
∴S n =﹣．
18．（12分）2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区．消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点．
（Ⅰ）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归方程y=x +（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测
该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；
（Ⅱ）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期
望．参考公式及数据：=，==，，
．
【解答】解：（Ⅰ）由已知有=（10+20+30+40+50+60+70+80）=45，
=（8+17+25+31+39+47+55+66）═36，
=≈0.80，
a=36﹣0.80×45=0，
变量y关于变量x的线性回归方程为=0.80x，
∴当x=2500时，y=2500×0.8=2000．
（Ⅱ）由题意得X的可能取值有1，2，3，4，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）==，
∴X的分布列为：
E（X）=1×=．
19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．
（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）E是棱CC 1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE 的长．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊆平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，…（1分）
在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，
由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BC•CC1•cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，
所以B1C=，…（3分）
故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，…（5分）
又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线
为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，）（7分）
，，令，∴
，
，
设平面AB 1E的一个法向量为．
，令z=，则x=，y=，
∴，．∵AB⊥平面BB1C1C，是平面的一个法向量，|cos＜＞|=，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或．
∴CE=CC1=2或CE=CC1=3．
20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，0）
是它的一个顶点，过点P作圆C2：x2+y2=r2的切线PT，T为切点，且|PT|=．（Ⅰ）求椭圆C1及圆C2的方程；
（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2与圆交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，则a=2，e==，则c=，b2=a2﹣c2=2，
∴椭圆的标准方程：；
由已知r==，则圆C2的方程：x2+y2=2；
（Ⅱ）设直线l1的斜率存在，直线l1的方程：y=k（x+2），则，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，
则x P+x D=﹣，由x P=﹣2，则x D=，
则|DP|=|x P﹣x D|=，
直线l2的方程y=﹣（x+2），即x+ky+2=0，则|AB|=2=2，=×|AB||PD|=×2×=，
则△ABD面积S
△ABD
==≤=，
当且仅当=，即k=±时取等号，
∴△ABD面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）=e ax ln（x+1），其中a∈R．
（Ⅰ）设F（x）=e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是{x|x＞﹣1}，
f′（x）=a•e ax ln（x+1）+e ax•=e ax（aln（x+1）+），
故F（x）=aln（x+1）+，则F′（x）=，
若a=0，则F′（x）＜0，F （x）在（﹣1，+∞）递减，
若a≠0，则令F′（x）=0，解得：x=﹣1，
（i）当a＜0时，则x=﹣1＜﹣1，
故在（﹣1，+∞）上恒有F′（x）＜0，
即F（x）在（﹣1，+∞）递减；
（ii）a＞0时，x=﹣1＞﹣1，因而在（﹣1，﹣1）上，F′（x）＜0，
在（﹣1，+∞）上，F′（x）＞0，
故F（x）在（﹣1，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增；
（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x=e ax ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），
g′（x）=e ax（aln（x+1）+）﹣1=e ax F（x）﹣1，
设h（x）=g′（x）=e ax F（x）﹣1，
则h′（x）=e ax（a2ln（x+1）+），
（i）若a≤0，由x＞0可知0＜e ax≤1，另可证当x＞0时，ln（x+1）＜x，
∴g（x）=e ax ln（x+1）﹣x＜x（e ax﹣1）≤0，
故g（x）＜0对任意x∈（0，+∞）都成立，
故g（x）在（0，+∞）上无零点，因此a＞0，；
（ii）当0＜a＜时，考查函数h′（x），由于h′（0）=2a﹣1＜0，h′（）＞0，故h′（x）在（0，+∞）上必存在零点，
设h′（x）在（0，+∞）的第一个零点是x0，
则当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，x0）递减，又h（x0）＜h（0）=0，
故x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（0，x0）递减，
故在（0，x0）上恒有g（x）＜g（0）=0，
即g（x0）＜0，注意到e ax＞ax，
故g（x）＞axln（x+1）﹣x=x（aln（x+1）﹣1），
令x=，则g（x）＞0，
由零点存在定理可知函数y=g（x）在（x0，）上有零点，符合题意；
（iii）若a≥，则由x＞0，可得h′（x）＞0恒成立，
从而h（x）在（0，+∞）上递增，
也即g′（x）在（0，+∞）递增，
故g′（x）＞g′（0）=0，
即g（x）在（0，+∞）递增，
从而g（x）＞g（0）=0恒成立，
综上，a的范围是（0，）．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．将圆x2+y2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为：ρsin（θ+）=，且直线l在直角坐标系中与x，y轴分别交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
=3，若存在，求出点（Ⅱ）问在曲线C上是否存在点P，使得△ABP的面积S
△ABP
P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）圆x2+y2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，
得曲线C：，
转化为参数方程为：（θ为参数）．
线l的坐标方程为：ρsin（θ+）=，转化为直角坐标方程为：x+y﹣6=0．
（Ⅱ）设曲线C上的点P（4cosα，3sinα），
则：点P到直线的距离d=．
故：=3，
当sin（α+θ）=1时，即，cos，
此时P（），
=3，
故存在点P使△ABP的面积S
△ABP
故点P坐标为：（）．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（10分）设函数f（x）=|ax+b|（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=2，b=1，求不等式f（x）+f（﹣x）≤4的解集；
（Ⅱ）若对任意满足0≤x≤1的实数x，都有f（x）≤1成立，求证：|a|≤2．【解答】解：（Ⅰ）由a=2，b=1得：
令g（x）=f（x）+f（﹣x）
=|2x+1|+|2x﹣1|=，
故或或，
解得：﹣1≤x≤1，
故f（x）+f（﹣x）≤4的解集是[﹣1，1]；
（Ⅱ）证明：由对任意0≤x≤1，
都有|ax+b|≤1，
令x=0，得|b|≤1，
令x=1得|a+b|≤1，
故|a|=|﹣b+a+b|≤|﹣b|+|a+b|≤2．
赠送初中数学几何模型
【模型一】
“一线三等角”模型：图形特征：
运用举例：
1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；
x
y
B
C
A
O
2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分
别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是
1
S、
2
S、
3
S、
4
S，则14
S S
+=．
l
s4
s3
s2
s1
3
2
1
3. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D
作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
B
4.如图，已知直线
1
1
2
y x
=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2
1
2
y x bx c
=++与
直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标。

5.如图，已知正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，点M在线段BF上（不与点B重合），连接EM，将线段EM绕点M顺时针旋转90°得MN，连接FN．
（1）特别地，当点M 为线段BF 的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：∠NFC = °，
BM
NF
= ； （2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求
FM
NG
的值 G
N
E D
A
6..如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数k
y x
=
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。

(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由。