量子化通则
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物体动能：
m m0
1
v2 c2
T
mc2
m0c2
m0c2
1
1
v2 c2
1
椭圆轨道运动时电子的轨道不
是闭合的，而是连续的进动。
.
•
一个电子轨道的进动
.
轨道的进动使得在n相同n不同的轨道上运动时
能量略有差别。索末菲按相对论力学原理推得：
12
E c2
c21
nr
2Z2
(n2
1
2Z2)2
a9a1,
b9a1 ,
ERhc, 9
p
23h
由此可见，当 n=3时，电子可能有三种不同的轨道，他们的轨道角动量 不相等，但不同的运动状态能量是简并的
.
（２）可以证明氢原子核位于椭圆的一个焦点（或圆 心）上。根据椭圆参数关系，焦距 c a2 b2， 故电子离核的最近距离（即近日点）为
rmacaa2b2n2a1(n2a1)2(nna1)2
.
§2.7 电子的椭圆轨道 与氢原子能量的相对论效应
电子在原子核的库仑场中的运动正如行星绕太阳运动，受与 距离的平方成反比的力。
运动轨迹为椭圆，原子核在椭圆的一个焦点上（原子核不动）
.
1、量子条件的引用与椭圆轨道的特性
电子绕原子核在一个平面上作椭圆运动，自由度为2 (r,)
r对应的动量 pr ： mr
b n n a nr n n
主量子数 n： nr n
半长轴
a(nrn)244 2m 0h 2Z n e2a Z 1
半短轴
b(nrn )n 4 4 . 2m 0h 2Z nen a Z 1
椭圆轨道的特征
半长轴 半短轴 能量
量子数
a
n2
a 1
Z
b nn
a 1
Z
a
n
b来自百度文库
n
E 22mZ 2e4
n
(4)2n2h2
§2.6 量子化通则
.
量子化通则
由玻尔氢原子轨道量子化条件
2 r m 2 v m n v ,n h r 1 ,2 ,3 ...
上式也可写成：
P sQ P 2 n， h n 1 ,2 ,3 ,...
即：在圆周运动中，动量PS与圆周周长Q的乘积或角动量
与一周的角位移 2 的乘积必等于h的整数倍。
n(nn2n 2)a1
当n＝３，nψ＝３时， rm＝９a1
当n＝３，nψ＝2时， rm＝2.3 a1
当n＝３，nψ＝1时， rm＝0.51a1
由此可见，当电子椭圆轨道偏心率很大时，尽管主量 子数n较大，电子离核的最近距离还是要比第一玻尔轨 道半径小。
.
二、相对论修正
按相对论原理，物体质量 随它的运动速度而改变：
解：由P-51式(7)和(8)知，椭圆轨道的长半轴a和短半轴b分别为
a n2a1
b nna1
当n3时 n 1,2,3 nr 2,1,0
1、n3,n 1,nr 2
a 9a1,
b3a1 ,
ERhc, 9
p
h
2
2、n3,n 2,nr 1
Rhc 2h
a9a1,
b6a1 ,
E
.
9
, p2
3、n3,n 3,nr 0
.
例如 n =1,2,3时，各种 可能的轨道形状如下：
a1
n=1,n=1
2a1 4a1
n=2,n=2
n=2 ,n=1
6a1 3a1
9a1 n=3,n=1
n=3,n=2 n=3,n=3
椭圆轨道的相对. 大小
例：根据玻尔－索末菲理论，氢原子的主量子数n＝３时， 试问（１）电子的轨道可能有哪几种；（２）电子离原子 核的最近距离分别为多大？（以第一玻尔半径a1为单位）
对应的角动p量 ： mr2r
, vt r
v r r
vn r
Ze
体系的能量：
E1 2m2 v4 Z 2 0r e1 2m .(r 2r2 2)4 Z 2 0r e
引用量子条件 pdqnh
pdnh,n:角量子数 p 。 n2h
pd r
rnrh，nr
:径量子数。
椭圆半长轴和半短轴之间的关系：
P
.
索末菲（1916）等提出量子化的普用 法则
pidqi nih(ni 1,2,3,...。i 1，2，..., f )
f是自由度数目，dq是位移或角移，p是与q对应的动 量, 即线动量或角动量,积分号是对一个周期的积分
每一个坐标上均满足量子条件
pdqnh
该式不仅符合圆周运动的量子条件，还可从已经建 立的量子论推得（略）（p-49）
0
主量子n数1,2,3, 角量子n数 1,2,3,,n 径量子n.数 r n1,n2,,0
能级是简并的：即一个能级对应着n 个不同的运动状态,简并度为n,当n确 定时，能量就确定了，半长轴也确定 了，但是由于n可取由1— n共n个可 能值,所以半短轴有n个，因而有n个 不同形状的轨道,其中一个是圆，(n-1) 个是椭圆。
2
式中
4 2e 0h 2 c7.291 7 . 0 2 3,
M0m
M m 0
展成级数形式得：(P-55式16）
T（ n,n)h E cR n22Z Rn2 4 Z2(n n 4 3)
E(n,n)Rn2h2 cRZnh 42c2(Z n n 4 3)
第一项：玻尔， 理第 论二 结项 果起：应 相的 对结 论 考虑相对论 nE相 效 ， 同 T应 n， . ，E，T
m m0
1
v2 c2
T
mc2
m0c2
m0c2
1
1
v2 c2
1
椭圆轨道运动时电子的轨道不
是闭合的，而是连续的进动。
.
•
一个电子轨道的进动
.
轨道的进动使得在n相同n不同的轨道上运动时
能量略有差别。索末菲按相对论力学原理推得：
12
E c2
c21
nr
2Z2
(n2
1
2Z2)2
a9a1,
b9a1 ,
ERhc, 9
p
23h
由此可见，当 n=3时，电子可能有三种不同的轨道，他们的轨道角动量 不相等，但不同的运动状态能量是简并的
.
（２）可以证明氢原子核位于椭圆的一个焦点（或圆 心）上。根据椭圆参数关系，焦距 c a2 b2， 故电子离核的最近距离（即近日点）为
rmacaa2b2n2a1(n2a1)2(nna1)2
.
§2.7 电子的椭圆轨道 与氢原子能量的相对论效应
电子在原子核的库仑场中的运动正如行星绕太阳运动，受与 距离的平方成反比的力。
运动轨迹为椭圆，原子核在椭圆的一个焦点上（原子核不动）
.
1、量子条件的引用与椭圆轨道的特性
电子绕原子核在一个平面上作椭圆运动，自由度为2 (r,)
r对应的动量 pr ： mr
b n n a nr n n
主量子数 n： nr n
半长轴
a(nrn)244 2m 0h 2Z n e2a Z 1
半短轴
b(nrn )n 4 4 . 2m 0h 2Z nen a Z 1
椭圆轨道的特征
半长轴 半短轴 能量
量子数
a
n2
a 1
Z
b nn
a 1
Z
a
n
b来自百度文库
n
E 22mZ 2e4
n
(4)2n2h2
§2.6 量子化通则
.
量子化通则
由玻尔氢原子轨道量子化条件
2 r m 2 v m n v ,n h r 1 ,2 ,3 ...
上式也可写成：
P sQ P 2 n， h n 1 ,2 ,3 ,...
即：在圆周运动中，动量PS与圆周周长Q的乘积或角动量
与一周的角位移 2 的乘积必等于h的整数倍。
n(nn2n 2)a1
当n＝３，nψ＝３时， rm＝９a1
当n＝３，nψ＝2时， rm＝2.3 a1
当n＝３，nψ＝1时， rm＝0.51a1
由此可见，当电子椭圆轨道偏心率很大时，尽管主量 子数n较大，电子离核的最近距离还是要比第一玻尔轨 道半径小。
.
二、相对论修正
按相对论原理，物体质量 随它的运动速度而改变：
解：由P-51式(7)和(8)知，椭圆轨道的长半轴a和短半轴b分别为
a n2a1
b nna1
当n3时 n 1,2,3 nr 2,1,0
1、n3,n 1,nr 2
a 9a1,
b3a1 ,
ERhc, 9
p
h
2
2、n3,n 2,nr 1
Rhc 2h
a9a1,
b6a1 ,
E
.
9
, p2
3、n3,n 3,nr 0
.
例如 n =1,2,3时，各种 可能的轨道形状如下：
a1
n=1,n=1
2a1 4a1
n=2,n=2
n=2 ,n=1
6a1 3a1
9a1 n=3,n=1
n=3,n=2 n=3,n=3
椭圆轨道的相对. 大小
例：根据玻尔－索末菲理论，氢原子的主量子数n＝３时， 试问（１）电子的轨道可能有哪几种；（２）电子离原子 核的最近距离分别为多大？（以第一玻尔半径a1为单位）
对应的角动p量 ： mr2r
, vt r
v r r
vn r
Ze
体系的能量：
E1 2m2 v4 Z 2 0r e1 2m .(r 2r2 2)4 Z 2 0r e
引用量子条件 pdqnh
pdnh,n:角量子数 p 。 n2h
pd r
rnrh，nr
:径量子数。
椭圆半长轴和半短轴之间的关系：
P
.
索末菲（1916）等提出量子化的普用 法则
pidqi nih(ni 1,2,3,...。i 1，2，..., f )
f是自由度数目，dq是位移或角移，p是与q对应的动 量, 即线动量或角动量,积分号是对一个周期的积分
每一个坐标上均满足量子条件
pdqnh
该式不仅符合圆周运动的量子条件，还可从已经建 立的量子论推得（略）（p-49）
0
主量子n数1,2,3, 角量子n数 1,2,3,,n 径量子n.数 r n1,n2,,0
能级是简并的：即一个能级对应着n 个不同的运动状态,简并度为n,当n确 定时，能量就确定了，半长轴也确定 了，但是由于n可取由1— n共n个可 能值,所以半短轴有n个，因而有n个 不同形状的轨道,其中一个是圆，(n-1) 个是椭圆。
2
式中
4 2e 0h 2 c7.291 7 . 0 2 3,
M0m
M m 0
展成级数形式得：(P-55式16）
T（ n,n)h E cR n22Z Rn2 4 Z2(n n 4 3)
E(n,n)Rn2h2 cRZnh 42c2(Z n n 4 3)
第一项：玻尔， 理第 论二 结项 果起：应 相的 对结 论 考虑相对论 nE相 效 ， 同 T应 n， . ，E，T