弹性力学 第4章(7,8,9,10节)

2
)
§4.8 圆孔的孔口应力集中
4.1 平衡方程
2．一边受拉，一边受压
cos2 ( A 4 B 2 C
D
4.2 几何方程与 物理方程

2
)
4.3 应力函数 与 相容方程 4.4 坐标变换式 4.5 轴对称问题
cos2 (2B
4C

2

6D

4
) )
A

2

A

2
2. 边界条件
( ) r q •接触条件可分为几种情况： 圆筒内壁的边界条件是
•(1) 完全接触：变形后两弹性体在S上 0 C 0 仍然保持连续。 (2) 有摩阻力的滑动接触：变形后在 上法 A 2C A 2C ) R ( )S ( 界面上的应力连续条件是 R 2 2 R R 向保持连续，而切向产生有摩阻力的相对滑移 位移连续条件 (3) 光滑接触：变形后法向保持连续，但切向 1 2 A u 产生无摩阻力的光滑移动 [(1 ) 2(1 )C ] I cos K sin E 1 1 (4) 局部脱离：变形后某一部分边界上两弹性 2 1 A 体脱开，则原接触面成了自由面。 u [ ( 1 ) 2 ( 1 )C ] I cos K sin E 1 1
3．单向受拉时孔边应力集中的分析
4.1 平衡方程
4.2 几何方程与 物理方程 4.3 应力函数 与 相容方程 4.4 坐标变换式 4.5 轴对称问题
+
q r2 q r2 r2 (1 2 ) cos2 (1 2 )(1 3 2 ) 2 2 2 2 2 q r q r 4 q sin 2 (1 r )(1 3 r ) (1 2 ) cos2 (1 3 4 ) 2 2 2 2 2 基尔斯解答
§4.7 压力隧洞
1. 应力分量表达式
压力隧洞—圆筒埋在无限大弹性体中， 受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体 的弹性常数分别为 E, μ和E, μ' .
4.1 平衡方程
4.2 几何方程与 物理方程 4.3 应力函数 与 相容方程 4.4 坐标变换式 4.5 轴对称问题 4.6 圆环和圆筒
压力隧洞为轴对称问题，剪应力为0， 2个正应力解答是
1 d 4 f ( ) d 2 f ( ) [ 2 f ( )] 0 3 4 2 d d
4.5 轴对称问题 4.6 圆环和圆筒 4.7 压力隧洞 4.8 应力集中 4.9 半平面体受集 中力 4.10 半平面体受 分布力
代入相容方程中 4阶线性常微分方程，其特征方程是
4 22 1 0
4.2 几何方程与 物理方程 4.3 应力函数 与 相容方程 4.4 坐标变换式 4.5 轴对称问题 4.6 圆环和圆筒 4.7 压力隧洞 4.8 应力集中 4.9 半平面体受集 中力
q
0
所以，此种情况就等于圆环径向均匀受拉的情况。即§4-6节q1=0，q2=q 的问题。
1
应力集中，与孔的形状有明显关系，与孔的大小关系不大；
应力集中是局部现象，距孔较远处的应力，几乎与无孔时一样。
下面研究圆孔孔口的应力集中问题。
§4.8 圆孔的孔口应力集中
4.1 平衡方程
1．双向均匀受拉
在=R的边界上，已知直角坐标下的应力状 态为：x=q, y=q, xy=0。利用坐标变换公式 （4-7），可得出
4C 6 D 2 B 2 4 q R R
6 AR 2 2 B 2B 2C 6 D q R2 R4
解出
A0
B
q 2
4.10 半平面体受 分布力
C qr 2
qr 2 D 2
( ) r 0
( ) r 0
4C 6 D 4 0 r2 r 2C 6 D 4 0 r2 r
4.2 几何方程与 物理方程 4.3 应力函数 与 相容方程 4.4 坐标变换式 4.5 轴对称问题
( ) R q cos2
( ) R q sin 2
注意，切应力不为0，不是轴对称问题。采用半逆解法。根据=R的边界 上的应力表达式，可假设 可推知 f ( ) cos2 F1 ( ) cos2 F2 ( ) sin 2
R2
4.9 半平面体受集 中力 4.10 半平面体受 分布力
§4.8 圆孔的孔口应力集中
4.1 平衡方程
应力集中：由于开孔，孔口附近的应力远大于无孔时的应力，也远大
于远离孔口处的应力，此现象称为孔口应力集中。 应力集中，不是由于有效承载面积减小的缘故。即使很小的孔，也会 使应力增大若干倍；
4.2 几何方程与 物理方程 4.3 应力函数 与 相容方程 4.4 坐标变换式 4.5 轴对称问题 4.6 圆环和圆筒 4.7 压力隧洞 4.8 应力集中 4.9 半平面体受集 中力 4.10 半平面体受 分布力

A

2
B(1 2 ln ) 2C B(3 2 ln ) 2C A A

A

2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.7 压力隧洞 4.8 应力集中
根据位移单值性条件，知B=0，则


2
2C

2
2C
4.9 半平面体受集 中力 4.10 半平面体受 分布力
这里有两种不同的材料。以上解答假设是圆筒内的应力解答，则圆筒 外的应力解答可以写成
3 2
解得
f ( ) A 4 B 2 C D
cos2[
d f ( ) 2 d f ( ) 9 d f ( ) 9 df ( ) 2 3 ]0 d 3 d 4 d 2 d
4
2
D
cos2 ( A 4 B 2 C
1, 2 i
3, 4 i
f ( ) (C1 C2 )ei (C3 C4 )e i A cos B sin (C cos D sin )
f ( ) A cos B sin (C cos D sin )

A

2
2C

A

2
2C
有4个待定常数，要用应力边界条件与界面上的应力 连续条件来确定。
§4.7 压力隧洞

A

2
2C 2C

A
4.1 平衡方程

2
2C 2C
A 2C q r2
4.2 几何方程与 物理方程 4.3 应力函数 与 相容方程 4.4 坐标变换式 4.5 轴对称问题 4.6 圆环和圆筒 4.7 压力隧洞 4.8 应力集中 4.9 半平面体受集 中力 4.10 半平面体受 分布力
位移连续条件
(u ) R
(u ) R
1 A 1 A [2(1 2 )CR ] [ ] E R E R
4.6 圆环和圆筒 4.7 压力隧洞 4.8 应力集中
至此，可解出四个未知常数
[1 (1 2 )n] 2 (1 n) E (1 ) n 1 q 3. 应力分布 E (1 ) R2 [1 (1 2 )n] 2 (1 n) r R2 R2 [1 (1 2 )n] 2 (1 n) 2(1 )n 2 q q 2 2 R R [1 (1 2 )n] 2 (1 n) [1 (1 2 )n] 2 (1 n) r r
6 Ar 2 2 B
§4.8 圆孔的孔口应力集中
4.1 平衡方程
2．一边受拉，一边受压
A0
q B 2
C qr
2
qr 2 D 2
4.2 几何方程与 物理方程 4.3 应力函数 与 相容方程 4.4 坐标变换式
应力解答是
4.5 轴对称问题
q cos2 (1
4.6 圆环和圆筒 4.7 压力隧洞 4.8 应力集中 4.9 半平面体受集 中力 4.10 半平面体受 分布力
沿着孔边，=r，环向正应力是 沿y轴，=90o，环向正应力是
q(1 2 cos2 )
1 r2 3 r4 q(1 ) 2 2 2 4
q r2 r4 (3 1) 沿x轴，=0o，环向正应力是 2 2 4 圆孔的应力集中系数是K=3(为无孔时应力的3倍)，与圆孔的半径r无关。 a 对于椭圆孔，环向正应力为： q (1 2 ) a, b为长短轴 b
§4.9 半平面体在边界上受集中力
1．应力函数的选取
显然，、、 与成反比
4.1 平衡方程
4.2 几何方程与 物理方程 4.3 应力函数 与 相容方程 4.4 坐标变换式
时，、、0。
1 1 2 2 2
可推知
f ( )
按圣维南原理，无穷远应力应为0，即，时，
§4.7 压力隧洞
4.1 平衡方程
2. 边界条件
A 2C q 2 r
C 0
4.2 几何方程与 物理方程 4.3 应力函数 与 相容方程 4.4 坐标变换式 4.5 轴对称问题
A A 2 C 2C R2 R2
x y
Ax By (C cos D sin )
§4.9 半平面体在边界上受集中力
2．边界条件
(C cos D sin )
1 1 2 2 2 ( D cos C sin ) 2
2 2 0
cos2 (12A 2 2B
内、外边界条件
( ) R q cos2 ( ) R q sin 2
6D

4
sin 2 (6 A 2 B
2
2C
2

6D
4.6 圆环和圆筒
4
)
4.7 压力隧洞 4.8 应力集中 4.9 半平面体受集 中力
r2

2
)(1 3 r
4 4
r2

2
)
4.6 圆环和圆筒 4.7 压力隧洞 4.8 应力集中 4.9 半平面体受集 中力 4.10 半平面体受 分布力
q cos2 (1 3
q sin 2 (1
r2

)
r2 )

2
)(1 3

2
§4.8 圆孔的孔口应力集中
r2


2
1 q2
r2
r2 1 2 R


2
r 0 R
q(1
q(1
r2
r2 1 2 R
q2
q 2 q

2
) )
4.10 半平面体受 分布力
r2
2
§4.8 圆孔的孔口应力集中
4.1 平衡方程
2．一边受拉，一边受压
在=R(R>>r)的边界上，直角坐标下的应力 分量为已知，x=q, y= -q, xy=0。
(1) 无穷远边界条件
4.1 平衡方程
4.2 几何方程与 物理方程 4.3 应力函数 与 相容方程 4.4 坐标变换式 4.5 轴对称问题 4.6 圆环和圆筒 4.7 压力隧洞 4.8 应力集中 4.9 半平面体受集 中力 4.10 半平面体受 分布力

1 ( )0
4.6 圆环和圆筒 4.7 压力隧洞 4.8 应力集中 4.9 半平面体受集 中力 4.10 半平面体受 分布力
1 1 2 2 2
0
2 2
2

1 ( )
2 1 1 2 2 2 2