植树问题封闭图形植树问题
五年级上7.2封闭图形的植树问题
五年级上7.2封闭图形的植树问题《五年级上 72 封闭图形的植树问题》在我们的日常生活中，植树是一项非常有意义的活动。
而在数学世界里，植树问题也是一个有趣且实用的知识领域。
今天，让我们一起来探索五年级上册 72 节中封闭图形的植树问题。
首先，我们来明确一下什么是封闭图形。
封闭图形就像是一个圆圈，或者是一个长方形、正方形等，它们的首尾是相连的，没有开口。
比如说，一个圆形的花坛，一个正方形的池塘四周，这都属于封闭图形。
那么在封闭图形中植树，又有什么规律和特点呢？我们先来看一个简单的例子。
假设有一个圆形的花坛，周长是 20 米，每隔 5 米种一棵树，那么一共能种多少棵树呢？我们来算一算。
因为是在封闭图形上植树，所以树的数量和间隔的数量是相等的。
这个圆形花坛的周长是 20 米，每隔 5 米一个间隔，那么间隔数就是 20÷5 ＝ 4（个），所以树的数量也是 4 棵。
再比如一个正方形的池塘，边长是 12 米，每隔 3 米种一棵树，四个角都种，一共要种多少棵树呢？我们先算出每条边的间隔数：12÷3 ＝ 4（个）。
因为正方形有四条边，所以总间隔数就是 4×4 ＝ 16（个）。
但是要注意，由于四个角的树都被重复计算了一次，所以实际上树的数量就是 16 4 ＝ 12（棵）。
通过这两个例子，我们可以总结出封闭图形植树问题的公式：植树的棵数＝间隔数。
那为什么在封闭图形中，植树的棵数会等于间隔数呢？这其实很好理解。
想象一下我们围着一个圆形的操场跑步，起点和终点是重合的。
在这种情况下，跑过的间隔数和经过的位置数是一样的。
植树也是同样的道理，在封闭图形上，树就相当于跑步时经过的位置，间隔就相当于跑过的距离。
掌握了封闭图形的植树问题，对我们的生活也有很大的帮助呢。
比如说，在规划一个公园的时候，如果要在湖边种一排树，知道了湖的周长和树的间隔距离，就能很快算出需要种多少棵树，从而合理安排预算和人力。
再比如，要在一个圆形的广场周围安装路灯，如果知道了广场的周长和路灯之间的间隔，也能轻松算出需要安装多少盏路灯，让广场在夜晚能够明亮又美观。
植树问题封闭图形
（二）课后延伸题
• 1、“四（4）班”召开班会时，同学们 围坐在一起，如果每边做5人，（如下 图），这个班一共有多少个同学？每边 都有5张课桌，一共要多少张课桌子？
• 2、公园里的花坛有以下几种形状，请选 择一种你最喜欢的形状，计算一下如果 每边放4盆花，至少一共可以摆放多少盆 花？
•
所以：间隔数×4=棵数 间隔数×4=面数
或：每边看作11面，有4面重复 11×4－4
（11-1）×4= 40（面）
=44－4 =40（面）
两边有11面，两边有9面 四边看作9面，再加上四个角的4面
11×2＋9×2 =22＋18
9×4＋4 =36＋4
=40（面）
=40（面）
方法：（48－4）÷4+2=13（人）
（8－1）×4 =7×4 =28（盆）
（8－2）×4＋4 =6×4＋4 =24＋4
=28（盆）
答:最外一层一共摆28盆.
两张并起来坐,就坐 1个6人,1个4人.
6＋4=10（人）
三张并起来坐,就坐 1个6人,2个4人.
6＋4×2 =6＋8 =14（人）
1、左下图四边共放16盆花，每边5盆，使每边放4盆， 应该怎样移动？请画在右下图中（一…
最少需要15盆花
五个顶点不摆
五个顶点处要摆
只摆一个顶点
方法一：
5×4=20（盆）
方法二：
5×3=15（盆）
方法三：
4×4+3=19（盆）
（1）15－1＝14（个） 14×4＝56（个）
（2）15×15 =225（名）
答：……
棵数＝间隔数
8×4－4 =32－4 =28（盆）
封闭线路： 间隔数=棵数
封闭图形的植树问题-课件
两端都种：
棵数=间隔数 +1 两端都不种：
棵数 = 间隔数 - 1
只种一端：
棵数 = 间隔数
封闭图形的植树问题
学校要在正方形的草地边上种树，使每一边都有3棵树 ，可以怎样种？
要求：想一想，用一个圆圈代表一棵树把它画下来， 再算一算一共种了几棵树？
做一做：
48名学生在操场上做游戏。大家围成一 个正方形，每边人数相等。四个顶点都 有人，每边各有几名学生？
48 ÷4 +1
=12+1
=13（名）
小朋友围成一圈做游戏。 一圈的总长是9米，每 两个人之间的距离是１ 米，一共有几个小朋友？
1.在一个六边形的最外边插彩旗（每个角都要站），
每边插5面，一共要几面彩旗？列式错误的是（ ③ ）。
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
①7
②8
③9
4、学校环形跑道长200米，每隔10米种一棵树，一共
可种几棵树。列式正确的是（② ）。
① 200÷10-1 ② 200÷10 ③ 200÷10 +1
算一算
在 一个5边形上摆花，如果每边摆7盆（每个顶点都 摆一盆），最外层一共可以摆放多少盆花？
方法一： 7×5-5=30（盆）
方法二： 6×5=30（盆）
① （5 – 1) X 6 ② 5 X 6 – 6 ③ 5 X 6
2.学校环形跑道长200米，每隔10米种一棵树，一共
可种（ ① ）棵树。
① 20
封闭图形的植树问题
做一做
做一做：
48名学生在操场上做游戏。大家围成一 个正方形，每边人数相等。四个顶点都 有人，每边各有几名学生？
48 ÷4 +1
=12+1
=13（名）
小朋友围成一圈做游戏。 一圈的总长是9米，每 两个人之间的距离是１ 米，一共有几个小朋友？
1.在一个六边形的最外边插彩旗（每个角都要站）， 每边插5面，一共要几面彩旗？列式错误的是（ ③ ）。 ① （5 – 1) X 6 ② 5 X 6 – 6 ③ 5 X 6
封闭图形的植树问题
你能说出下面各图的植树棵数与间隔 数之间的关系吗？
两端都种：
棵数=间隔数+1
两端都不种： 棵数 = 间隔数 - 1 只种一端： 棵数 = 间隔数
封闭图形的植树问题
棵树
？间隔数
1.通过动手操作的实践活动，探索并发现间隔 数与植树棵数之间的关系。 2. 通过小组合作、交流，理解间隔数与植树 棵数之间的规律。 3. 能够借助图形，利用规律来解决简单的植 树问题。
2.学校环形跑道长200米，每隔10米种一棵树，一共 可种（ ① ）棵树。
①
20
②
21
③
ห้องสมุดไป่ตู้19
选择：（选择正确的序号填在括号里）
16名艺术体操运动员围成一个圆圈表演，每两个人 之间相隔2米，这个圆圈的周长大约是（ ） A、 30米 B、32米 C、34米
棵数=间隔数
两端都植： 棵数=间隔数+1 两端都不种：
棵数 = 间隔数 - 1
只种一端；封闭图形
棵数 = 间隔数
算一算
在 一个五边形上摆花，如果每边摆7盆（每个顶点 都摆一盆），最外层一共可以摆放多少盆花？ 方法一： 7×5-5=30（盆） 方法二： 6×5=30（盆）
五年级上册数学广角—植树问题封闭图形人教新课标(10张PPT)
交流探究
周长是50m、60m、70m时……
50
60 70 80 ……
5
6 7 8 ……
5
6 7 8 ……
你发现了什么？
交流探究
如果我把圆拉直成线段，你有什么发现？ 我们将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭 图形和在不封闭图形“一头种”中棵数和间 隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。
交流探究
张伯伯准备在圆形池塘周 围栽树。池塘的周长是 120m，如果每隔10m 栽一 棵，一共要栽多少棵树？
60÷5＝12（颗） 答：这条项链上共有12颗水晶。
你能举几个生活中的例子吗？
布置作业
作业：第110页练习二十四，第11题。 第111页练习二十四，第13题。
150m。如果沿着这一圈每隔
①号盒子随意摸一个球，一定能摸出红球。——这就是“确定事件”。
（4）学生演示。
15m安装一灯，一共需要装
(3)再次出示三幅国旗图，提问三面国旗尺寸中，还有哪些可以组成比例？
几盏灯？ (2)再算出买1个笔记本后，小丽还剩多少钱。
4．冲突设疑，深化理解。
在现实世界中，严格确定性的现象十分有限，不确定现象却是大量存在的，而概率论正是研究不确定现象的规律性的数学分支。
数学广角—植树问题
植树问题（封闭图形）
创设情境
张伯伯准备在圆形池塘周 围栽树。池塘的周长120m， 如果每隔10m栽一棵，一共 要栽多少棵树？
这种环形植树问题，应该怎样求呢？
交流探究张伯伯准备在圆形池塘 围栽树。池塘的周长120m， 如果每隔10m栽一棵，一共 要栽多少棵树？
可以栽4棵树。
先画图试试看。假设周长是40m……
120÷10＝12（棵）
植树问题
植树问题专项训练一、“间隔数”与“棵数”之间的关系（1）两端都植：棵树=总长度÷间隔长度+1 总长度=（棵树-1）×间隔长度间隔长度=总长度÷（棵树-1）（2）两端都不植：棵树=总长度÷间隔长度-1 总长度=（棵树+1）×间隔长度间隔长度=总长度÷（棵树+1）（3）只植一端的植树问题：总长度÷间隔长度总长度=棵树×间隔长度间隔长度=总长度÷棵树（4）封闭图形的植树问题：总长度÷间隔长度总长度=棵树×间隔长度间隔长度=总长度÷棵树题型一求棵数（关键找出间隔数）例1、教学楼到操场有一段12米的小路，学校打算在小路一侧植树，要求四年级的同学参加植树活动，按照每隔4米栽一棵的要求植树。
（1）如果两端都植，需要多少棵树苗？（2）如果只种一端，需要多少可棵树苗？（3）如果两端都不种，需要多少棵树苗？题型二求总长（关键在于找间隔数）例2、园林工人沿公路一侧植数，每隔6米种一棵，一共种了36棵。
从第一棵到最后一棵的距离有多远？题型三封闭图形的栽树问题例1、大楼前的环形小路栽树，共载了11棵，每两棵树之间的距离是4米，这条小路共长多少米？例2、在全长40米的环形小路栽树，每两棵树之间的距离是4米，一共栽多少棵树？应注意的问题：马路两侧都种与只种一侧的区别例3、（1）现在要在这条1000米长的公路的一侧安放垃圾桶（首尾要安装），每100米安放一个。
一共需要多少个垃圾桶？（2）现在要在这条1000米长的公路的两侧安放垃圾桶（首尾要安装），每100米安放一个。
一共需要多少个垃圾桶？例4 （1）校门口一条长180米的林荫路的一侧栽了一行杨树，起点和终点都栽。
共栽了20棵，如果相邻两棵树之间的距离相等，你知道相邻两棵树之间距离吗？（2）校门口一条长180米的林荫路的两侧各栽了一行杨树，起点和终点都栽。
共栽了20棵，如果相邻两棵树之间的距离相等，你知道相邻两棵树之间的距离吗？敲钟问题1、家里时钟５点敲响５下，每下相隔２秒，敲完５下需要（）秒。
封闭图形的植树问题公式
封闭图形的植树问题公式当我们提到植树的时候，第一件事是想到树被植在大地上，以达到防洪、减少沙尘暴等等环境保护的作用。
但是有一个问题，就是如何在有限的土地上，植树者如何最大程度地植树，这个问题就是封闭图形的植树问题。
在数学上，植树问题是一个求最大化的问题，有时候也被称为井宿植树问题。
在植树问题中，植树者需要先设定一个封闭的图形，例如三角形，正方形或者其他几何图形，然后图形中的每块土地可以植树，也可以不植。
宗旨是尽可能多地植树，即最大化植树的块数，从而达到环境保护的作用。
封闭图形的植树问题已经被许多学者研究，他们利用数学的解决方法开发出了相关的公式。
一般来说，任何封闭图形的植树问题都可以用以下公式表示：最大植树数量= (图形总面积-中心空间面积)/植树单元面积植树单元面积是指树的根护罩的面积，也就是说，如果植树者面前有一块土地，根护罩的面积就是植树单元的面积。
中心空间面积是指封闭图形中心空间的总面积，因为任何封闭图形都有一些内部空间占据，这些空间是不可植树的，所以需要从总面积中减去。
例如，一个边长为10米的正方形，如果其中心空间占据2米，植树单元面积为1米，那么根据公式，最大植树数量就是（100-4）/1=96棵树。
封闭图形的植树问题公式是一种有效的方法，可以帮助有限的土地植树者尽可能多地植树，并且也可以帮助植树者更加实际有效地解决植树的问题。
此外，封闭图形的植树问题公式也可以帮助植树者有效管理植树，例如，应该在哪里植树，以及植树之后，如何有效地管理这些树木，以及如何充分利用这些树木，例如通过收集树木果实等，等等。
因此，封闭图形的植树问题公式不仅可以有效提高植树者的植树效率，而且还可以有效帮助植树者管理和利用树木，从而达到最大程度地环境保护目的。
数学广角—植树问题植树问题(封闭图形)
•
•
理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
我
没
有
耐
心
不
过
我
对
演
员
还
是
很
有
耐
心
。
但
是
当
我
拍
完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
望
很
快
就
可
以
拍
。
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
，
1
5
分
钟
后
你
还
没
有
弄
完
我
就
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
封闭图形的植树问题
实验数据
每个算法都使用100个随机生成的封闭图形，每个图形的大小 和难度均不相同。
实验环境
在Windows 10操作系统的64位计算机上进行，使用Python 3.8编写程序，内存为16GB。
不同算法的实验结果和分析
算法1
使用暴力搜索算法，直接在图中搜索所有可能的 位置进行植树。
算法3
利用分治策略，将封闭图形划分为多个小封闭图 形，分别求解每个小图形的最优解，再合并成整 体最优解。
封闭图形的植树问题
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 封闭图形植树问题的基本性质 • 封闭图形植树问题的求解算法 • 实验分析和比较 • 应用实例 • 结论与展望
01
引言
定义和背景
定义
封闭图形是指在有限区域内，由线条和角组成的闭合图形。
背景
植树问题是一种应用广泛的组合优化问题，它可以应用于城 市绿化、网络优化、交通运输等多个领域。
05
应用实例
求解实际问题的封闭图形植树模型
道路绿化带植树
根据道路长度和宽度，选择合 适的树种，按照一定的株行距 进行种植，以达到美化环境和
减缓车辆噪音的目的。
公园草坪植树
在公园草坪上选择合适的树种， 按照一定的株行距进行种植，以 达到美化环境和提供休息空间的 目的。
河岸护堤植树
在河岸护堤上选择合适的树种，按 照一定的株行距进行种植，以达到 防止水土流失和美化的目的。
应用实例的算法实现和结果展示
算法实现
利用图论中的最小生成树算法（如Prim算法或Kruskal算法），求解最优化 的封闭图形植树方案。
结果展示
通过计算机程序计算得出最优化的植树方案，可以给出每种树种的种类、数 量、位置和种植方式等具体信息。
人教版五年级数学上册第七单元《封闭图形的植树问题》上课课件
2. 21路公共汽车行驶路线全长24km，相邻两站之间 的路程都是3km。一共设有多少个车站？ 总路线长÷间距= 间隔数 车站数=间隔数+1 24÷3＝8(个) 8＋1＝9(个) 答：一共设有9个车站。
3. 一段路长720 m，在路的一边每隔3 m栽一棵树 (两端要栽)。一共要栽多少棵树？
720÷3 = 240(个) 240 + 1 = 241(棵) 答：一共要栽241棵树。
在一条21 m长的小路一旁栽树，每隔3 m栽一棵 （两端都栽），一共要栽多少棵树？
两端都不栽 间隔数=总长÷间隔距离 两端都栽：棵数=间隔数+1
21÷3+1=8(棵)
我们一起研究此类 “植树问题”吧！
探索新知
大象馆和猴山相距60 m。绿化队要在两馆间 的小路两旁栽树(两端不栽)，相邻两棵树之间 的距离是3 m。一共要栽多少棵树？
4．一条步行街长480 m，在街道的两边每隔8 m挂 一个灯笼(两端都挂)，一共要挂多少个灯笼？ 480÷8＋1＝61(个) 61×2＝122(个) 答：一共要挂122个灯笼。
提升点1 解决上楼梯的问题
5．外卖员到一栋办公楼送餐，恰好这时电梯故障， 为了准时把饭菜送到7楼的客户手中，他决定爬 楼梯，一共爬了126级台阶，每上一层要走多少 级台阶？
3．奶奶门前有一条小路，全长60 m，在小路的两旁 每隔5 m栽一棵杨树(一端栽一端不栽)，一共要 栽多少棵杨树？ 60÷5×2＝24(棵) 答：一共要栽24棵杨树。
点拨：因为是路两旁都栽，所以求出一旁的数量后还 需要乘2。
4．建筑工程队要盖一栋楼，需要在长150 m、宽60 m 的地基四周打桩。四个角都要打桩，每隔2.5 m打 一根桩。这栋楼地基的四周要打多少根桩？ (150＋60)×2÷2.5＝168(根) 答：这栋楼地基的四周要打168根桩。
封闭植树问题公式
封闭植树问题公式
封闭图形的植树问题的公式是棵数=间隔数、棵树=周长÷间距、棵树=长度÷间距+1(两端都栽)、棵树=长度÷间距-1(两端都不栽)、棵树=长度÷间距(一端栽、一端不栽)。
在封闭图形上进行植树，段数等于株数，满足的公式和直线型仅在路的一端植树是一样的：株数=段数=全长÷株距，全长=株距×株数，株距=全长÷株数。
解植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一头种”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。
请注意，在解答具体问题时，应结合题目的实际情况选择合适的公式进行计算。
植树问题封闭图形教案
植树问题封闭图形教案一、教学目标：1. 让学生理解封闭图形植树问题的基本概念和解决方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现生活中的数学问题，培养学生的观察力和思维能力。
二、教学内容：1. 封闭图形植树问题的定义及公式。
2. 封闭图形植树问题的解决方法。
3. 实际生活中的封闭图形植树问题案例。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：封闭图形植树问题的定义、公式及解决方法。
2. 教学难点：如何将封闭图形植树问题应用于实际生活中。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究封闭图形植树问题的解决方法。
2. 利用生活中的实际案例，让学生感受数学与生活的紧密联系。
3. 采用小组讨论、合作交流的方式，培养学生的团队协作能力。
五、教学准备：1. 准备一些封闭图形的图片，如圆形、正方形、长方形等。
2. 准备一些关于封闭图形植树问题的实际案例。
3. 准备黑板、投影仪等教学器材。
【课堂导入】（教师展示封闭图形的图片，引导学生观察并说出图形的名称。
）【新课讲解】1. 教师介绍封闭图形植树问题的定义，解释封闭图形植树问题的公式。
2. 讲解封闭图形植树问题的解决方法，如按顺序植树、分组植树等。
3. 引导学生发现生活中的封闭图形植树问题，如公园里的树木排列、农田里的作物种植等。
【案例分析】1. 教师呈现一些关于封闭图形植树问题的实际案例，引导学生分析并解决问题。
2. 学生分组讨论，合作交流，分享解题过程和答案。
【课堂练习】1. 教师布置一些封闭图形植树问题的练习题，要求学生在课堂上完成。
2. 教师挑选几名学生上台展示解题过程，并给予评价和指导。
2. 学生分享自己在生活中的封闭图形植树问题经验，讨论如何运用数学知识解决实际问题。
六、教学活动设计：1. 活动名称：封闭图形植树问题实例分析2. 活动目标：通过实例分析，让学生掌握封闭图形植树问题的解决方法。
3. 活动步骤：a. 教师展示一个封闭图形的实例，如学校的圆形花坛。
封闭图形的植树问题
城市绿化
城市中的街道、广场、公园等公共区域常常需要进行绿化，封闭图形的植树问题 可以用来解决如何合理地布置树木，以达到美观和生态的效果。
例如，在一块矩形区域中，需要种植多棵树，使得这些树均匀地分布在区域内部 ，并且每两棵树之间的距离相等。
公园建设
在建设公园时，需要考虑到如何合理地布置景点和设施，以 使游客能够更好地欣赏公园的景色。封闭图形的植树问题可 以用来解决如何合理地布置景点和设施，以达到最佳的观赏 效果。
封闭图形植树问题的特点
封闭性
封闭图形植树问题中的图形是 封闭的，因此需要考虑如何在 边界内合理地安排树木的位置
。
规则性
封闭图形植树问题通常有一定 的规则和限制，例如每棵树之 间的距离、不能种植在特定区 域等。
最优化
封闭图形植树问题的目标是找 到最优化的解决方案，使得树 木的位置合理、美观且符合规 则和限制。
封闭图形的植树问题
汇报人： 2023-12-27
目录
• 封闭图形植树问题的定义 • 封闭图形植树问题的分类 • 封闭图形植树问题的解决方法 • 封闭图形植树问题的应用场景 • 封闭图形植树问题的实例分析
01
封闭图形植树问题的定义
封闭图形的定义
封闭图形是指一个二维平面上的闭合 路径，其边界形成一个连续的线条， 内部没有空隙。常见的封闭图形包括 矩形、圆形、三角形等。
根据封闭图形的面积和树的尺寸，计 算需要种植的树的数量。
计算需要的树的数量
根据周长和间距计算树的数量
根据封闭图形的周长和每两棵树之间的间距，可以计算出需要的树的数量。
考虑实际情况
在计算过程中，需要考虑实际情况，如土地的可用性、树木的生长环境等，以确 保植树计划的可行性。
(10)植树问题
9米
10－1＝9（段） 9×9＝81（米）
答：从第一栏到最后一栏有81米。
作业
• 1.有一条长200米的公路,在路的两边每相隔5米栽一 棵白杨,从头到尾需要栽白杨多少棵?
• 2.一个圆形花圃周围长40米,沿周围每隔4米插一面 红旗,每两面红旗的中间插一面黄旗,花圃周围各插 了多少面红旗和黄旗?
• 3.现有60个小朋友围城一个正方形做游戏，那么每 边要站几个学生？如果围城五边形呢？六边形呢？
52÷2＝26（ 个 ） 26﹢1 ＝27（人） 答：这一行有27人。
3、在一个正方形池塘四周栽树，四个顶点各
栽一棵，这样每边都栽有25棵，如果每相邻 两棵之间相距2米，这个正方形池塘的周长有 多少米？
解法一：
(1)先求一共有多少棵树 25×4-4＝96(棵)或：(25-1)×4＝96(棵) (2)再求池塘的周长: 2×96＝192(米)
4.有 320 盆菊花，排成 8 行，每行中相邻两盆菊 花之间相距 1 米，每行菊花长多少米？
综合练习：
1. 一根木头长10米，要把它平均分成 5段，每锯下一段需要8分钟，锯完一 共要花多少分钟？ 5-1=4（次） 8×4=32（分）
答：锯完一共要花32分钟
2、同学们做操，某一列从第一人到最后 一人 的距离是52米，每两人之间相距2米， 这一列有多少人？
5、晶晶上楼，从第一层走到第三层需要
走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相 同，那么晶晶从第一层走到第六层需要走 多少级台阶？
36÷2=18（级）
18×（6-1）=90（级）
答：晶晶需要走90级台阶。
一流跨栏技术
中间共有10个栏，栏间距离为9米,请你 们算出从第一栏架到最后一个栏架有 多少米吗？
植树问题
一排同学之 间有7个间隔， 这一排有（ 8 ） 个同学。
活 学 活 用
林老师家里时钟 ５点敲响５下，每 下相隔２秒，敲完 ５下需要（８ ）秒。
活 学 活 用
广场上的大钟5时敲 响5下，8秒敲完。12 时敲12下，需要多长 时间？
8秒
8÷（5－1）＝2（秒） 2×（12－1）＝22（秒）
答：需要22秒。
活 学 活 用
小红住的楼房 每上一层要走20 个台阶，从一楼 到四楼要走（ 60 ） 个台阶。
活 老师从一楼开始一共走了72个台阶。 学 老师走到了第几层？ 活 72÷24＋1 用 =3＋1
=4（层）
学校教学楼每层楼梯有24个台阶，
活 学 起点站 12 千米 活 1千米 用 12÷1＝12（段）
5路公共汽车行驶路线全长 12千米，相邻两站的距离 是1千米。一共有几个车站？
终点站
12＋1＝13（个） 答：一共有13个车站。
BACK
点 一根10米长的木头，把它平均分 成5段，每锯下一段需要8分钟， 击 锯完一共需要多少分钟？ 生 活（5－1）×8＝32（分）
思考：
在一个周长为30米的花池周围，每隔5米 栽1株月季花，然后在相邻的两株之间放2盆 丁香花，花池周围月季花和丁香花各有多少？
二号院小学
刘里莉
学校计划在20米长的小路一边植树， 每隔5米栽一棵。一共需要栽多少棵树苗？
棵数=间隔数+1
棵数=间隔数
棵数=间隔数-1
封闭图形： 如果在一个20米长的圆形花坛周边，每隔 5米栽一棵树苗。一共需要栽多少棵树苗？
封闭图形：
棵数=间隔数
类型
关系
棵数=间隔数+1 棵数=间隔数 棵数=间隔数-1
小学奥数6-1-14 植树问题(二).专项练习及答案解析
1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用。
2．掌握空心方阵和实心方阵的变化规律．3．几何图形的设计与构造一、植树问题分两种情况：（一）不封闭的植树路线. ① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、解植树问题的三要素（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．三、方阵问题（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷41+”；（3）每向里一层每边棋子数减少2；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
知识点拨教学目标5-1-3.植树问题（二）例题精讲模块一、封闭图形的植树问题【例1】小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长1500是米，每隔3米栽种一棵树．问：共需树苗多少株？【考点】封闭图形的植树问题【难度】1星【题型】解答【解析】因为圆形池塘是一个封闭的模型，所以我们直接运用公式棵数＝段数＝周长÷株距，从而有树苗：1500÷3＝500（株）.【答案】500株【巩固】周叔叔家有一个长40米，宽30米的长方形鱼塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳树，需要栽多少棵柳树？【考点】封闭图形的植树问题【难度】1星【题型】解答【解析】40302140（）÷=（棵）．+⨯=（米），140528【答案】28棵【例2】在一个长345米、宽240米的长方形草坪四周等距离地栽一些松树，要求四个顶点和每边中点都正好栽一棵松树，则最少要买松树苗棵。
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圆形体育馆的一周全长是1500米， 如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯， 一共需要装几盏灯？
1500÷15=100（盏）
植树问题封闭图形植树问题
９个小朋友围成一圈做 游戏，每两个人之间的 距离是１米，这一圈的 长度是多少？
植树问题封闭图形植树问题
猜谜语
十九乘十九，黑白两对手， 有眼看不见，无眼难活久。
答：最外层一共有56名植学树生问题，封闭整图个形植方树问阵题一共有225名学生。
8×4－4 =32－4 =28（盆）
（8－1）×4 =7×4 =28（盆）
（8－2）×4＋4 =6×4＋4 =24＋4
规律
10
圆周种
15
20
5
2
5
3
5
4
植树问题封闭图形植树问题
2
）棵数和间隔数 之间有什么关系？
棵数= 间隔数
植树问题封闭图形植树问题
试一试
在一个周长30米的圆形熊猫馆外种植 一圈小树，每隔5米种一棵小树，能种多 少棵？
30÷5=6（棵） 答：能种6棵小树 。
植树问题封闭图形植树问题
（每边棋子数－1）×边数＝ 最外层的总数
植树问题封闭图形植树问题
围 棋 棋 盘 最 外 层 每 边 能 放
19
个 棋 子
植树问题封闭图形植树问题
例3
棋盘的最外层每边能放19个棋子,最外层 一共可以摆放多少棋子？
植树问题封闭图形植树问题
你
还
有
其
它
方
法
18×4＝72
吗 ？
试
试
看
！
植树问题封闭图形植树问题
植树问题封闭图形植树问题
上几节课我们探索并认识了不封闭的线路上 植树，间隔排列中物体个数和间隔 个数之间 的关系。这节课，我们在探讨封闭线路上间 隔排列中的简单规律。
像长方形、正方形、三角形、圆形等图形上都有封闭线路
植树问题封闭图形植树问题
点数是（３）， 点数是（ 4 ）， 间隔数是（３）。 间隔数是（ 4 ）。
方法二： 每边的个数×4边=可以摆放多少个
18 × 4 = 72（个） 方法三：
每边能放个数×4－重复的4个=可以摆放的棋子 19×4－4
=76－4
=72（个）
方法四:
17×4＋4
分析:每边看作17个,有4边, =68＋4
再加上四个角的4个.
=72（个）
植树问题封闭图形植树问题
19
围整 棋个 棋棋 盘盘 最一 外共 层能 每摆 边多 能少 放个
植树问题封闭图形植树问题
探究
最外层每边摆 3个，最外层 一共可以摆多 少个棋子？
8个
植树问题封闭图形植树问题
探究
最外层每边摆 4个，4角都摆 ，最外层一共 可以摆多少个 棋子？
请几个同学上来，每边站4个 ，站成一个正方形。
12个
植树问题封闭图形植树问题
探究
最外层每边摆 5个，4角都摆 ，最外层一共 可以摆多少个 棋子？
（打一棋类名称）
谜底：围棋
植树问题封闭图形植树问题
植树问题封闭图形植树问题
导入
同学们，你们有会下象棋 的吗？估计有的同学会下 ，可是，你会下围棋吗？ 可能有些同学不但不会下 ，连围棋是什么都不知道 ！今天就请同学们和老师 一起来下一盘特殊的围棋 ！左边就是围棋的棋盘。 它是由横竖各19条线段相 交而成的正方形。
棋 个子 棋？ 子
19×19＝361（个） 植树问题封闭图形植树问题
刚才我们探讨了封闭线路上, 间隔排列中的简单规律,解决 这类问题时,要注意不能算重了.
植树问题封闭图形植树问题
我会运用规律 一个四边形，每个顶点都摆一个，
1.如果最外层每边能放100个，最外层一 共可以摆放多少个棋子？（100-1）×4=396
点数是（ 6 ），
点数是（ 8 ），
间隔数是（ 6 ）。 间隔数是（ 8 ）。
植树问题封闭图形植树问题
点数是（8）， 间隔数是（8）。
我们发现的规律： （封闭图形）点数 = 间隔数
植树问题封闭图形植树问题
数一数
植树问题封闭图形植树问题
规律探究表
种树方案
路长（米）
每两棵树间 的距离（米）
间隔数
种树棵树
16个
植树问题封闭图形植树问题
探究
最外层每边摆 6个，4角都摆 ，最外层一共 可以摆多少个 棋子？
20个
植树问题封闭图形植树问题
探究
每边 放的 个数
每边 间隔 数
间隔数与个数 关系
边数
最外 层总
数
总数与间隔 数、边数关
系
3
2
3-1=2
4
8 （3－1）×4＝8
4
3
4-1=3
4
12 (4-1) ×4=12
19
17
19×2＋17×2＝72 17
植树问题封闭图形植树问题
19
19×4-4=72
植树问题封闭图形植树问题
分析:每边看作17个,有4边, 再加上四个角的4个.
17×4＋4 =68＋4 =72（个）
植树问题封闭图形植树问题
方法一： 黑色棋子＋白色棋子=可以摆的棋子
19×2 ＋ 17×2 =38＋34 =72（个）
分析： 每边插11面相当于有11棵树，也就有10个间隔，
封闭线路上有几个间隔就有几棵树。
所以：间隔数×4=棵数 间隔数×4=面数
或：每边看作11面，有4面重复 11×4－4
10×4= 40（面）
=44－4 =40（面）
两边有11面，两边有9面 四边看作9面，再加上四个角的4面
11×2＋9×2 =22＋18
2.如果最外层每边能放200个，最外层一 共可以摆放多少个棋子？（200-1）×4=796
3.如果一个五边形，怎么算？一个三角形 呢？
植树问题封闭图形植树问题
拓展思维
如果是一个三角形，或者是 五边形，你会怎么算？
● ● ● ● ●●●
●●●●
植树问题封闭图形植树问题
1、在一块正方形水泥地上玩游戏，水泥地四边插上彩旗 （每个角都要插上），每边插11面，一共要多少面彩旗？
5
4
65
5-1=4 6-1=5
4
16 （5-1）×4=16
4
20 （6-1）×4=20
……
…
……
…
19 18
19-1=18
每边的间隔数=每边的个数-1
4
72 （19-1）×4=72
我发现的规律：
最外层的总数=每边的间隔数×边数
植树问题封闭图形植树问题
我的发现
每边的棋子数-1＝ 每边的间隔数
每边的间隔数×边数＝ 最外层的总数
9×4＋4 =36＋4
=40（面）
=40（面）
植树问题封闭图形植树问题
你来解决
为迎接六一，学校举行团体操 表演。四年级学生排成方阵，最外 层每边站9个人，最外层一共有多 少名学生？ 整个方阵一共有多少名学生？
植树问题封闭图形植树问题
（1）15－1＝14（个） 14×4＝56（名）
（2）15×15 =225（名）