曲面及其方程ppt课件
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九节二次曲面-PPT课件
单叶双曲面图形
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
2.1.曲面及其方程ppt课件
z
圆
柱
l
面
oo
y
x
注意：在空间直角坐标系，缺项方程〔不完全方程〕的 图形是柱面.
:
18
z
(1) y 2 2 x 表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
o
(2) x y 0表示母线平行于
z 轴的平面.
x
z
(且 z 轴在平面上)
注意：描述柱面只须指出
其准线及母线.
o
x
准线
:
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
:
23
(1) 椭球面
z
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0
x
和y = 0去截割,分别得椭圆
x 2 a2
三元二次方程
椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
抛物面
椭圆抛物面
双曲抛物面
(p,q同号) x 2 y 2 z 2 p 2q
x2 y2 z
2 p 2q
双曲面 单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 a2
y2 b2
z2
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
dx2y2 |y1|
将 z z1 , y 1 x 2y2代入 f(y1,z1)0
:
10
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
得方程 f( x2y2, z)0.
高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程
0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50
03曲面及其方程、二次曲面
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
f( x2y2,z)0
2. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oy轴旋转得旋转曲面
f(y, x2z2)0
3.
xoy平面上的母线
C:
f (x,
z
0
y)
0
绕ox轴旋转得旋转曲面
x2 y2 z 2p 2q
( p与q同号 )
用截痕法讨论： 设 p0,q0
z
2019/10/17
o x
y
19
高等数学（下）主讲杨益民
（三）双曲面
（1）
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
z
o
y
o
y
x x
.
2019/10/17
20
高等数学（下）主讲杨益民
（2）
x2 a2
by22
f(x, y2z2)0
2019/10/17
7
高等数学（下）主讲杨益民
例6
求xoz坐标面的上双曲线C：
x2 a2
z2 c2
1
分别绕x轴和z轴
一周生成的旋转曲面的方程。 y 0
解：
绕 x轴 旋 转 x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕 z轴 旋 转x2a2y2 cz22 1
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
制造领域，如汽车、航空和船舶制造等。
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
.3曲面及其方程
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
二、柱面
z
引例. 分析方程
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
• 球面 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
• 柱面 如,曲面F ( x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
• 旋转曲面
如,
曲线
f ( y,z) x0
0
绕
z
轴的旋转曲面:
f ( x2 y2 , z) 0
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
曲面及其方程-PPT
则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形. ➢两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
求曲面方程. (2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状
F(x, y, z) 0
z S
oy x
(必要时需作图).
例1 求动点到定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) z
z
➢概念
一条平面曲线绕其平面上
C
一条定直线旋转一周 所形成的曲面.
M (x, y, z)
M1 (0, y1, z1 )
旋转曲线
母线
o y
定直线
轴
x
➢旋转曲面的方程
f ( x2 y2 , z) 0
给定yoz面上曲线C: f ( y, z) 0
在曲线C上任取一点M1(0,y1,z1)
曲线C绕z轴旋转
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
z
(1) 范围：
x
y
x a, y b, z c
(2) 在垂直坐标面的平面上的截痕：椭圆
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
z t
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
x t
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y t
(3) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
z
1. 椭圆锥
z
面
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt ) 2
1,
zt
o yy xx
曲面及其方程、二次曲面-PPT
8
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
曲面及其方程
z F(x, y,z) 0
S
xO
y
旋转曲面
定义 一条平面曲线C绕其平面上一条定直线 l 旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.
该定直线称为旋转轴 .oz面上曲线绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0 z 在曲面上任取一点 M( x, y, z) ,
x2
y2
a2 c2
(c2
z12 )
b2 c2
(c2
z12 )
1
z
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
o
的截痕也为椭圆.
x
y
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面;
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
或
x2 y2 z2 a2 c2 1
由看作椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z轴旋转而成．
当 a=b=c 时为球面：
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f ( y,z) 0 o
y x
f ( y, x2 z2 ) 0
例3 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程.
解 在yoz面上直线L 的方程为
z
绕z 轴旋转时,圆锥面的 方程为
L
M(0, y, z)
y
两边平方
x
z2 c2
1
(a, b, c 为正数)
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2
a
2
y2 b2
1,
y2
b
2
z2 c2
1,
z 0
x 0
z
x2 z2
a
S
xO
y
旋转曲面
定义 一条平面曲线C绕其平面上一条定直线 l 旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.
该定直线称为旋转轴 .oz面上曲线绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0 z 在曲面上任取一点 M( x, y, z) ,
x2
y2
a2 c2
(c2
z12 )
b2 c2
(c2
z12 )
1
z
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
o
的截痕也为椭圆.
x
y
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面;
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
或
x2 y2 z2 a2 c2 1
由看作椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z轴旋转而成．
当 a=b=c 时为球面：
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f ( y,z) 0 o
y x
f ( y, x2 z2 ) 0
例3 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程.
解 在yoz面上直线L 的方程为
z
绕z 轴旋转时,圆锥面的 方程为
L
M(0, y, z)
y
两边平方
x
z2 c2
1
(a, b, c 为正数)
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2
a
2
y2 b2
1,
y2
b
2
z2 c2
1,
z 0
x 0
z
x2 z2
a
三维曲面.ppt
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 , y1 x2 y2 代入
f ( y1, z1 ) 0
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将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
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x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p 0, q 0
z
图形如下：
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
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练习题
一、填空题：
1、与Z 轴和点 A(1 , 3 ,1) 等距离的点的轨迹方程是
_____________；
2、以点O(2 ,2 , 1)为球心，且通过坐标原点的球面
截得抛物线
x2 2 pz
y 0
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与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 , y1 x2 y2 代入
f ( y1, z1 ) 0
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将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
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x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p 0, q 0
z
图形如下：
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
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练习题
一、填空题：
1、与Z 轴和点 A(1 , 3 ,1) 等距离的点的轨迹方程是
_____________；
2、以点O(2 ,2 , 1)为球心，且通过坐标原点的球面
截得抛物线
x2 2 pz
y 0
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与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
《曲面及其方程》PPT课件
x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 () 其特点是：平方项系数相等，交叉项系数为零．
方程 (*) 称为球面的一般式方程， 经配方后可化为球面的标准方程．
中值定理与导数的应用
4
特别地：球心在坐标原点时， 球面方程为 x2 y2 z2 R2
中值定理与导数的应用
5
例2 求与原点O 及点 M0(2,3,4)的距离之比为1 : 2 的点的全体所组成的曲面方程．
1
双曲柱面 母线//z
轴
其在 xoy 面上的准线为
x2
a
2
y2 b2
1.
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 母线//y 轴
其在 zox 面上的准线为
x2 2 pz
.
y 0 中值定理与导数的应用
19
椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
母线 // z 轴，
其在 xoy 面上的
准线是椭圆
x2
母线平行于 y 轴的柱面，
其在
zox
面上的准线方程是
H ( x, z) y0
0 .
注意 x2 y2 0的图形是什么？ z 轴．
中值定理与导数的应用
18
例如
y2 z2 b2 c2 1
椭圆柱面
母线 //x 轴
其在 yoz 面上的准线为
y2
b2
z2 c2
1.
x 0
x2 a2
y2 b2
而生成的旋转面方程 f ( y, x2 z2 ) 0.
例如 yoz 面上的圆 y2 z2 R2 绕 z 轴旋转生成
球面 ( x2 y2 )2 z2 R2，即 x2 y2 z2 R2 .
一般地 xoy 面上的曲线 g( x, y) 0绕 x 轴旋转一周
高等数学7.4曲面及其方程
设柱面的准线方程：F（x, y) 0, z 0,母线 / / z轴，求柱面方程
z
解：柱面上M ( x, y, z)，则准线上M（0 x0 , y0 , z0 )，
M
使得MM0 / / z轴 ，从而x x0 , y y0
由于F（x0 , y0 ) 0,从而F（x, y) 0
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
x
2
a2
柱面
例3
以曲
线
x a
2 2
z2 c2
1
为母线,
y 0
绕 z 轴旋转而成的曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1，
即
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1 ——
旋 转 单 叶双曲面
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
例3
以曲线
x2 a2
z2 c2
1 为母线,
y 0
o
的点都在S上;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
曲面方程
旋转曲面
柱面
《曲面及其方程》课件
02
常见曲面及其方程
平面
总结词：二维平面
详细描述：平面是一种常见的曲面，它在三维空间中表现为一个无限延展且没有 厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面，它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式，它通过引 入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应 的坐标表达式组成，例如，平面上的圆心为 $(h, k)$，半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰 地表达曲面的形状和大小，并且可以通过调 整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面，它可以由多种方式形成，如旋转、平移、 拉伸等。根据形成方式的不同，曲面可以分为多种类型，如球面、锥面、柱面 等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示，其中 两个参数（u和v）用于描述曲面 上的点。通过参数方程，可以方 便地研究曲面的几何性质和变换
方法。
7.3曲面及其方程
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
y z l2
y x
z l3
x
y
三、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
x2 y2 R2 表示圆柱面
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
第三节 曲面及其方程
在平面上: F (x,y)=0 或 y = f(x) 1--1
平面曲线
y x2
《曲面及方程》课件
7. 曲面的切向量与切线方程
⇢⇠
8. 曲面的法向向量与法线方程⇑⇓
9. 曲面的曲率及主曲率
10. 可视化表示曲面
11. 曲面的翻转与旋转
12. 曲面的投影与裁剪⇩⇧
13. 三维曲面的交点⚡
14. 曲面的梯度、散度、旋度⚙️
15. 曲面的高斯曲率与平均曲率⚖️
16. 曲面的最小曲面与最小旋
转曲面
17. 曲面的拓扑结构
18. 曲面的曲线包络与曲面包络⭕
19. 曲面的偏微分方程
20. 曲面的应用与发展趋势
《曲面及方程》PPT课件
从曲面的定义和特点开始，逐步深入探讨曲面的方程表示、参数化曲面以及
其切平面、法向量等概念，包括曲面的曲率、可视化表示以及应用与发展趋
势。
1. 什么是曲面？
2. 曲面的分类及特点✨
3. 曲面的方程表示
4. 参数化曲面的定义及优点
ห้องสมุดไป่ตู้
5. 常见的参数化曲面
6. 曲面的切平面与法向量⏩⏪
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
曲面的应用领域
物理学：研究曲面形状对 物理现象的影响
计算机图形学：用于创建 三维模型和动画
地质学：用于描述地球表 面的形态
生物学：用于研究生物体 的表面结构
工程学：用于设计各种曲 面形状的物体，如汽车车 身、飞机机翼等
数学：用于研究曲面的性 质和结构，以及解决相关 的数学问题
06
曲面方程的解题技 巧与注意事项
同济版高等数学第 六版课件第八章第 五节曲面及其方程
单击此处添加副标题
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目录
添加目录项标题 曲面方程的求解方法 曲面方程的拓展知识
曲面及其方程的基本概念
曲面方程的应用实例 曲面方程的解题技巧与注 意事项
01
添加章节标题
02
曲面及其方程的基 本概念
曲面的定义和分类
曲面的定义：曲面是连续但不光滑的二维图形，由一条或多条曲线组成
04
曲面方程的应用实 例
球面方程的应用
定义：球面方程是描述球面形状的数学方程 应用实例1：计算球面上的点到球心的距离 应用实例2：确定球面上点的坐标 应用实例3：绘制球面图形
柱面方程的应用
定义：柱面方程是 平面与空间直线或 平面相交形成的曲 面
应用实例1：在计 算机图形学中，柱 面方程可以用来描 述三维图形的旋转 和扭曲
总结：通过对解题思路的总结，可以更好地掌握曲面方程的解题技巧 和注意事项，提高解题效率。
感谢观看
汇报人：PPT
解题技巧
熟练掌握曲面方 程的基本形式和 性质
灵活运用代数运 算技巧，简化方 程
掌握常见的曲面 方程的解题方法
注意方程的适用 范围和限制条件
注意事项
理解曲面方程的 基本概念和性质
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x
z
00
P
M点到原点的距离
M点到坐标面的距离
M点到坐标轴的距离
到z轴: d1 x 2 y2
到x轴: d2 z 2 y 2
d1
M (x,y,z) 到y轴: d3 x2 z2
d3
d2
Q
y
N
. . .
8.
1. 空间直角坐标系
z
00
(-x,-y,-z) R
x
Q
(x,-y,-z)
x
M点的对称点
关于xoy面:
因此，三矢 a, b, c共面 其混合积 [abc] = 0
ab
h
c
b
a
.
16
5. 一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
z 曲面S上每一点都满足方程；
母线
x F( x,y )=0 准线 z= 0
M (x,y,z) 0
S
y
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
P M
Sz
o
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
y1
y
.
x
24
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
ff (y11,,zz11))==00 .
S
(x,y,z) (x,y,-z)
关于x轴:
(x,y,z) (x,-y,-z)
M(x,y,z)
y
P
(x,y,-z)
关于原点:
(x,y,z) (-x,-y,-z)
.
9
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
c
B A
A´
B´
c´
u
10
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量录( 1— 30 )
1 空间直角坐标系
2 两矢量和在轴上的投影
3 矢量积的分配律的证明
4 混合积的几何意义
5 一般柱面 F(x,y)=0
6 一般柱面 F(y,z)=0
7 椭圆柱面
8 双曲柱面
9 抛物柱面
10 旋转面的方程
11 双叶旋转双曲面
12 单叶旋转双曲面
13 旋转锥面
.
x
z
0
y
27
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
.
x2 a2
y2 z2 b2
1
x
z
0
y
.
28
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
y
o
a
x
29
| a
| cos(
)
2
| a | sin a c0
将矢量a一投一转（转900）， 得a2
c
c0
a
证毕
a2
a1
12
3. 证明矢量积的分配律:
| c | (a c 0 ) a c | c | (b c0 ) b c
| c | [(a b) c 0 ] (a b) c
由矢量和的平行四边形法则，
2
28 作出曲面x2 y 2 a， 2 x2 z 2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体 图形
29 作出曲面 z 1 x2 y2 和 x2 y2 z 1 所围立体图形 30 平面 x a, y a, z a, x y z a 在第一卦限所围立体图形
.
(a+b)c=(a c)+(b c)
得证
a c0
(a+b)c=(a c)+(b c)
将平行四边形一投一转
c
a+b
b
c0
a
b1 b1
ac
(a b) c0
bc0
a 1a 1
bc
.
a1 b1
a1 b1
(a+b)c 13 .
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
14 旋转抛物面
15 环面
16 椭球面
17 椭圆抛物面
18 双曲抛物面
19 双曲面的渐近锥面
20 单叶双曲面是直纹面
21 双曲抛物面是直纹面
22 一般锥面
23 空间曲线——圆柱螺线
24 空间曲线在坐标面上的投影
25 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
26 空间曲线作为投影柱面的交线(2)
27 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的立体图形
曲面S外的每一点都不满足方程17
6. 一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
F( y, z )=0
x= 0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
18
7. 椭圆柱面
z
x2 y2 1
a2 b2
o
y
x
19
8. 双曲柱面 z
x2 z2 a2 b2 1
o
x
y
20
9. 抛物柱面
ab
h
c
b
S=|a b|
a
14
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
ab
h
c
b
a
.
15
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
z
y 2 2 px
o
y x
21
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
C
o
y
22
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
.
C
o
y
x
23
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
3
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
x
4
1. 空间直角坐标系
八个卦限
zБайду номын сангаас
0
.
x
y
5
1. 空间直角坐标系
八个卦限
点的坐标
Ⅳ
Ⅲ
z z
Ⅱ
Ⅰ
M (x,y,z)
M (x,y,z)
0
y
y
.
x
N
x
Ⅵ
Ⅷ
Ⅴ
6
1. 空间直角坐标系
z
坐标和点
z
(x,y,z) M
M (x,y,z)
00
y
y
x
N
x
.
7
1. 空间直角坐标系
Pr j AB AB
c
Pr j BC BC
B A
Pr j AC AC
A´
B´
c´
u
.
AB BC AC
.
Pr j AB Pr j BC Pr j AC
11
3. 证明矢量积的分配律: (a+b)c=(a c)+(b c)
引理 a c a2
证明 两矢方向: 一致；引入
|a2|= |a1|
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
S：f ( x 2 y 2 , z) 0.
x
z
P M
z
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
o
y1
y
.
25
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
x
0
y
26
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
z
00
P
M点到原点的距离
M点到坐标面的距离
M点到坐标轴的距离
到z轴: d1 x 2 y2
到x轴: d2 z 2 y 2
d1
M (x,y,z) 到y轴: d3 x2 z2
d3
d2
Q
y
N
. . .
8.
1. 空间直角坐标系
z
00
(-x,-y,-z) R
x
Q
(x,-y,-z)
x
M点的对称点
关于xoy面:
因此，三矢 a, b, c共面 其混合积 [abc] = 0
ab
h
c
b
a
.
16
5. 一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
z 曲面S上每一点都满足方程；
母线
x F( x,y )=0 准线 z= 0
M (x,y,z) 0
S
y
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
P M
Sz
o
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
y1
y
.
x
24
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
ff (y11,,zz11))==00 .
S
(x,y,z) (x,y,-z)
关于x轴:
(x,y,z) (x,-y,-z)
M(x,y,z)
y
P
(x,y,-z)
关于原点:
(x,y,z) (-x,-y,-z)
.
9
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
c
B A
A´
B´
c´
u
10
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量录( 1— 30 )
1 空间直角坐标系
2 两矢量和在轴上的投影
3 矢量积的分配律的证明
4 混合积的几何意义
5 一般柱面 F(x,y)=0
6 一般柱面 F(y,z)=0
7 椭圆柱面
8 双曲柱面
9 抛物柱面
10 旋转面的方程
11 双叶旋转双曲面
12 单叶旋转双曲面
13 旋转锥面
.
x
z
0
y
27
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
.
x2 a2
y2 z2 b2
1
x
z
0
y
.
28
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
y
o
a
x
29
| a
| cos(
)
2
| a | sin a c0
将矢量a一投一转（转900）， 得a2
c
c0
a
证毕
a2
a1
12
3. 证明矢量积的分配律:
| c | (a c 0 ) a c | c | (b c0 ) b c
| c | [(a b) c 0 ] (a b) c
由矢量和的平行四边形法则，
2
28 作出曲面x2 y 2 a， 2 x2 z 2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体 图形
29 作出曲面 z 1 x2 y2 和 x2 y2 z 1 所围立体图形 30 平面 x a, y a, z a, x y z a 在第一卦限所围立体图形
.
(a+b)c=(a c)+(b c)
得证
a c0
(a+b)c=(a c)+(b c)
将平行四边形一投一转
c
a+b
b
c0
a
b1 b1
ac
(a b) c0
bc0
a 1a 1
bc
.
a1 b1
a1 b1
(a+b)c 13 .
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
14 旋转抛物面
15 环面
16 椭球面
17 椭圆抛物面
18 双曲抛物面
19 双曲面的渐近锥面
20 单叶双曲面是直纹面
21 双曲抛物面是直纹面
22 一般锥面
23 空间曲线——圆柱螺线
24 空间曲线在坐标面上的投影
25 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
26 空间曲线作为投影柱面的交线(2)
27 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的立体图形
曲面S外的每一点都不满足方程17
6. 一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
F( y, z )=0
x= 0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
18
7. 椭圆柱面
z
x2 y2 1
a2 b2
o
y
x
19
8. 双曲柱面 z
x2 z2 a2 b2 1
o
x
y
20
9. 抛物柱面
ab
h
c
b
S=|a b|
a
14
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
ab
h
c
b
a
.
15
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
z
y 2 2 px
o
y x
21
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
C
o
y
22
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
.
C
o
y
x
23
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
3
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
x
4
1. 空间直角坐标系
八个卦限
zБайду номын сангаас
0
.
x
y
5
1. 空间直角坐标系
八个卦限
点的坐标
Ⅳ
Ⅲ
z z
Ⅱ
Ⅰ
M (x,y,z)
M (x,y,z)
0
y
y
.
x
N
x
Ⅵ
Ⅷ
Ⅴ
6
1. 空间直角坐标系
z
坐标和点
z
(x,y,z) M
M (x,y,z)
00
y
y
x
N
x
.
7
1. 空间直角坐标系
Pr j AB AB
c
Pr j BC BC
B A
Pr j AC AC
A´
B´
c´
u
.
AB BC AC
.
Pr j AB Pr j BC Pr j AC
11
3. 证明矢量积的分配律: (a+b)c=(a c)+(b c)
引理 a c a2
证明 两矢方向: 一致；引入
|a2|= |a1|
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
S：f ( x 2 y 2 , z) 0.
x
z
P M
z
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
o
y1
y
.
25
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
x
0
y
26
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周