人教版数学九年级上册教学案：24.1.2垂直于弦的直径
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径教学设计
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学设计一、教学目标1.理解垂线、垂足、垂直平分线、相交于垂足的两条线段互为垂直。
2.掌握垂直平分线的性质和应用。
3.学会用垂直平分线求直径。
二、教学重难点1.理解垂线、垂足、垂直平分线的定义和性质。
2.通过垂直平分线求直径，需要掌握数学计算方法。
三、教学过程1. 导入让学生在纸上画一个圆并标记圆心、半径，引出“弦”的概念。
通过学生们的互动，让他们理解弦是圆上任意两点之间的线段。
2. 自主学习让学生自己研究什么是垂直平分线，特别是24.1.2题目中所述的垂直于弦的直径是如何求得的。
学生可以结合自己的理解和常识，得出一些初步的结论。
3. 合作探究将学生分成若干小组，每组成员之间相互讨论，举一反三，尝试解决一些类似的问题。
为了使学生更好地理解，可以在板书上示意图，或在黑板上画出一幅图形，引导学生进行讨论。
4. 指导讲解在学生讨论之后，老师进行正式的讲解，着重讲解垂足、垂线和垂直平分线的性质，并解释直径是如何通过垂直平分线来求得的。
5. 练习巩固让学生进行巩固训练，可以把一些类似的题目给学生进行练习，根据不同程度的学生做出相应的安排和调整，以及针对学生的问题进行讲解和指导；也可以让学生在课堂上完成这些题目，检验学生的掌握程度。
例如：已知圆O的直径AB，通过直线CD（平行于AB）构造两条弦EF、GH，其中EF=9cm，GH=7.5cm，请问EF和GH的中垂线上的某点到圆心的距离是多少？6. 总结归纳在巩固训练之后，对项目进行总结归纳，在课堂上梳理本课内容，使学生对本课内容有一个深入的理解。
此外，还要通过本教学的方式来告诉学生，数学并不是枯燥无味的，也充满了趣味和乐趣。
四、教学评价教学方法：•通过讨论和示例引导学生，促进他们的思维和创造力。
•通过现代媒介如电子白板和计算机等来优化整个教学流程。
教学效果：•从学生的态度和反应来看，这种教学方式能够轻松使学生更好地理解课程内容。
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 教案
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．二、教学重点及难点重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规。
四、相关资源《赵州桥》图片．五、教学过程【合作探究，形成知识】探究圆的对称性1．学生动手操作问：大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．2．探索得出圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．师生活动：学生总结操作结论，教师强调圆的对称轴是直径所在的直线．3．问：圆有几条对称轴？师生活动：学生回答，教师强调圆有无数条对称轴．4．你能证明这个结论吗？师生活动：四人一小组，小组合作交流，尝试证明．让学生注意要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上．教师板书分析及证明过程．设计意图：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法．探究垂径定理按下面的步骤做一做，回答问题：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂足为点M；第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B，如图1．图1 图2问题1在上述操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，得出结论，看哪个小组做得又快、又好，记入今天的英雄榜．最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解决本节课的又一难点——垂径定理的证明，此时再板书垂径定理及其推理的过程．证明：如上图2所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB，即OA=OB．因为CD⊥AB，所以△OAM与△OBM都是直角三角形．又因为OM为公共边，所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM．又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称，所以A点和B点关于直线CD对称．所以当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=BM，AC=BC．同 ．理可得AD BD垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．问题2 你能用符号语言表达这个结论吗？师生活动：学生尝试将文字转变为符号语言，用数学符号表达定理的逻辑关系．教师更正并板书．符号语言表达：AM MB CD O AC BC CD AB M AD BD=⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩，是圆的直径，，于点⇒ 设计意图：增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学知识最深刻的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力．【例题应用 提高能力】例1 如图，AB 所在圆的圆心是点O ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ．若CD =4 m ，弦AB = 16 m ，求此圆的半径．师生活动：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形．在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．解：设圆的半径为R ，由题意可得OD =R －4，AD =8 m ．在Rt △ADO 中，222AO OD AD =+，即222(4)8R R =-+．解得R =10（m ）．答：此圆的半径是10 m ．设计意图：增加一道引例，是基础应用题，为课本例题的实际应用作铺垫，有过渡作用，不但让学生掌握了知识，又增加了学习数学的兴趣，更体会到成功的喜悦．例2如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
人教版九年级数学上册说课稿：24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自人教版九年级数学上册第24章1.2节，主题为“垂直于弦的直径”。这一节内容在整个课程体系中具有重要地位，它既是圆的相关知识的延伸，也是培养学生空间想象能力和推理能力的重要环节。在之前的课程中，学生已经学习了圆的基本概念、圆的性质以及圆的方程等知识。在此基础上，本节课将引导学生探索垂直于弦的直径的性质，进一步理解圆的相关定理。
二、学情分析导
（一）学生特点
本节课面向的是九年级的学生，这个年龄段的学生正处于青春期，思维活跃，具有一定的独立思考和自主学习能力。他们在认知水平上，已经具备了基本的几何知识和一定的逻辑推理能力，能够理解并运用圆的相关性质。此外，学生对新鲜事物充满好奇，对数学学科的兴趣也日益浓厚，但学习习惯尚需进一步培养。
2.教学难点：理解并证明垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
对于教学重点，教师要引导学生通过观察、思考、实践等方法，掌握垂直于弦的直径的基本概念和性质。对于教学难点，教师要提供适当的引导和提示，帮助学生理解并证明这一性质，从而培养学生的推理能力。同时，教师还要注意关注学生的学习过程，鼓励学生积极参与，提高他们的空间想象能力和解决问题的能力。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生已经掌握了圆的基本概念、圆的性质以及圆的方程等前置知识。然而，他们在学习过程中可能存在以下障碍：1.对垂直于弦的直径的概念理解不够深刻，容易与其他概念混淆；2.在证明垂直于弦的直径平分弦以及平分弦所对的两条弧的过程中，可能缺乏严密的推理能力；3.在实际问题中，学生可能难以将所学知识灵活运用。
作业的目的是让学生通过练习，进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力，培养数学素养。同时，关注学生的个体差异，使每个学生都能在作业中得到有效的提升。
24.1.2垂直于弦的直径 教案 人教版数学九年级上册
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教学目标：1.知识与技能：（1）通过观察以及动手操作,理解圆的轴对称性。
（2）掌握垂径定理的内容及几何语言。
（3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题。
2.过程与方法：（1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力。
（2）经历探究垂径定理的过程,体会和理解研究几何图形的多种方法。
3.情感态度与价值观：（1）通过探究垂径定理的活动, 并引入实际问题，使学生知道数学在实际生活中的用处，激发学生探究、发现数学问题的兴趣。
（2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验。
教学重难点：【重点】垂径定理及其应用【难点】探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题。
教学准备：多媒体课件、自制圆形纸片、导学案、作图工具一、情境引入我校总务处的李师傅遇到一件麻烦事，因我校一处圆形下水道破裂，他准备更换新管道，但只知道污水面宽60cm，水面至管道顶部10cm ，你能帮李师傅计算一下他应准备内径多大的管道吗？二、实践探究1.活动1: 我们在学轴对称的时候已经学过圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，验证圆的这一特性。
课本中有证明圆是轴对称图形的方法，课前已经让大家预习过了，现在大家再来看一下，进行巩固。
2.活动2: 在圆形纸片上操作：①找出圆心，记作O②作出一条直径，与⊙O交于C、D③在⊙O上的任意找一点A，过点A作一条弦AB使AB⊥CD, 交⊙O于点B，垂足为E。
沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？观察发现：点A与重合，AE与重合,弧AC与重合，弧AD与重合。
相等的线段: ，相等的弧: .思考：如果AB是⊙O的一条直径呢？以上结论还会成立吗？【证明定理】动手操作之后，我们现在来进行理论证明。
学生用自己的方法证明，之后同学之间分享方法。
人教版(2012)九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径 教案
24.1.2 垂直于弦的直径③你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
④你能用几何方法证明这些结论吗？⑤你能用符号语言表达这个结论吗？3.火眼金睛：判断下列图形，能否使用垂径定理。
归纳：定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
练习：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
3.垂径定理推论①把条件和结论中的CD⊥AB，AE=BE互换，结论成立吗？平分弦（非直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；②你能证明这个推论吗？③条件中的非直径可以去掉吗？能不能举个例子说明④你能用符号语言表达这个结论吗？4.“知二推三”并进行练习。
（1）若CD⊥A B, CD是直径,________,_________._______（2）若 CD是直径，AE=BE，则________,_________._______（3）若CD⊥AB,AE=BE，则________,_________._______（4）若CD是直径，弧AC=弧BC，则________,_________._______灵活应用提高能力简单应用例1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．反思：从此题的解决过程中，你得到什么启示？归纳：1、两条辅助线：连半径、作弦心距2、一个Rt△：半径、半弦、弦心距3、两个定理：垂径定理、勾股定理此题由学生独立思考,并讲解思路，教师可让学生自己进行评判.并让学生板演。
此题属于基本应用，让学生了解弦心距、半弦、半径组成的直角三角形是圆中常用的直角三角形，更深入的研究在下节课中研究。
本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。
小结升华与达标训练 小结升华（1）本节课你学到了哪些数学知识？（2）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？达标测试：1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊙AB于E，则下列结论中不成立的是（）A、⊙COE=⊙DOEB、CE=DEC、OE=AED、弧BD=弧BC第1题第2题2、如图，OE⊙AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=_____cm。
24.1.2 垂直于弦的直径-人教版九年级数学上册教教案(学生版 教师版)
24.1.2 垂直于弦的直径-人教版九年级数学上册教教案（学生版教师版）引言本教案是针对人教版九年级数学上册中第24章《圆》中的1.2节“垂直于弦的直径”进行的教学设计。
通过本节课的学习，学生将会了解什么是垂直于弦的直径以及它们的性质和应用。
教学目标•理解垂直于弦的直径的概念；•掌握垂直于弦的直径的性质；•能够应用垂直于弦的直径解决相关问题。
教学准备•教师：教案、黑板、粉笔、教材；•学生：教材、笔、纸。
教学过程1. 导入（5分钟）通过提问的方式引入本节课的内容：•请问在一个圆中，什么是弦？•是否有些弦与圆的直径有什么特殊的关系？2. 知识点讲解（10分钟）对垂直于弦的直径的概念进行讲解，并结合教材中的相关例题进行示范。
理解垂直于弦的直径的概念垂直于弦的直径指的是与弦相交且交点在弧上的直径。
垂直于弦的直径的性质•垂直于弦的直径等分弦；•过圆心与弦的交点作弦的垂直平分线，可得到垂直于弦的直径。
3. 案例分析（15分钟）选择一些示例进行案例分析，让学生运用所学知识解决问题。
案例1：如图所示，O为圆心，AD为一条弦且BD垂直于弦AD，若AB=6cm，BD=3cm，求AD的长。
A---B| |O---D解析：由于BD垂直于弦AD，根据垂直于弦的性质可得BD等于BA的一半，即BD=3cm，而AB=6cm，所以AD=AB+BD=6cm+3cm=9cm。
案例2：如图所示，O为圆心，AB为一条直径，且C为弦上任意一点，若BC=4cm，AC=5cm，求AB的长。
A---C\t | /|/O解析：由于C为弦上任意一点，根据垂直于弦的性质可得OC垂直于AC，而OC 为半径，所以CO=OA=OB，即CO=OC=OA+AC。
又因为OC是直径，所以OC=2×OA，即CO=2×OA。
根据已知BC=4cm，AC=5cm，可得OC=OA+AC=(OB-OB+AC)=OB+BC。
根据等式CO=2×OA，可得OB+BC=2×OB。
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》一. 教材分析《垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的一部分。
本节课主要内容是让学生掌握垂径定理，理解并证明圆中的一些特殊性质。
通过学习，学生能够运用垂径定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。
但部分学生对圆的性质理解不够深入，对圆中特殊位置关系的判断和证明能力较弱。
因此，在教学过程中，要注重引导学生发现圆中的垂直关系，培养学生动手操作和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握垂径定理，学会运用垂径定理解决圆中的问题。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高动手操作和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习圆的性质的兴趣，培养学生团队协作和积极参与的精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。
2.难点：圆中特殊位置关系的判断和证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物演示、图形展示等手段，引导学生发现圆中的垂直关系。
2.问题驱动法：设计一系列问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和探究，培养学生的团队协作能力。
4.讲授法：教师讲解垂径定理及相关性质，引导学生理解和掌握。
六. 教学准备1.准备相关图形和实物，如圆、弦、直径等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物或图形，展示圆中的垂直关系，引导学生关注垂直于弦的直径。
提问：你们发现了吗？垂直于弦的直径有什么特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的内容，并用多媒体展示垂径定理的证明过程。
让学生理解并掌握垂径定理。
3.操练（10分钟）设计一系列练习题，让学生运用垂径定理解决问题。
教师引导学生思考和探究，解答学生的疑问。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆(教案)24.1.2 垂直于弦的直径教案
24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE,AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O 的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB 于D，DC＝2cm，求半径OC 的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB 于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x 2=42+(x-2)2，∴8AE ===cm.1184(cm)22AD AB ==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证:四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=12AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222a r d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.1034.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥ 11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,O C C F O F =+()22230090.R R =+-解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
初中数学人教版九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计(表格式)
垂直于弦的直径教学设计【观察思考】赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶. 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m你能求出州桥主桥拱的半径吗？教师PPT展示赵州桥的图片，并提出问题，引导学生思考.注意：这里只提出问题，学生暂时还不解答.【证明】教师引导学生发现，要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称的对称点也在圆上即可.如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.证明：过点A作AA'⊥CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'在△OAA'中，∵OA=OA'∴△OAA'是等腰三角形又∵AA'⊥CD∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线.教师可在圆上任取若干个点进行说明，进一步验证前面得到的结论.在刚刚的证明过程中，你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗？预设答案：AM=A'M，AC A C'=，AD A D'=教师再次动态展示折纸的过程，让学生观察，并在此基础上得出结论.并尝试让学生用语言描述所到的结论，教师引导并补充完善.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.教师带领学生分析垂径定理的题设，结论.并试着结合图形把文字语言转化为数学语言.【想一想】下列图形是否具备垂径定理的条件？预设答案：（1）（3）满足；（2）（4）不满足.教师提出问题，学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形，引导学生说出原因，并追问：怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？预设答案：教师带领学生观察修改后的图片，引导学生总结：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两弧.其中，直径并不是必要条件，只要满足过圆心即可.当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CD⊥AB?教师提出问题，引导学生仿照前面的证明方法证明.并用文字语言描述所得结论，得出垂径定理的推论：垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.教师追问：为什么强调“不是直径”呢？预设答案：圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直.【想一想】【典型例题】通过这节课的学习，现在你能解决课程一开始的问题了吗？教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适点拨，最终教师展示答题过程.例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).解：如图AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为足，OC与AB相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知：AB=37，CD=7.23，∴AD=12AB=12⨯37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2=AD2+OD2，即：R2=18.52+(R-7.23)2解得：R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解1.在⊙O中，若CD⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是( )A.AC AD=B.BC BD=C. AM=OMD. CM=DM答：C2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于M，OM=3，则CD=.答：8.3.在⊙O中，弦CD⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径为.答：13.4.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD.由垂径定理可得：BM=12AB=12cm，DN=12CD=5cm又∵OB=OD=13cm在Rt△OBM，Rt△ODN中，由勾股定理得：OM=5cm，ON=12cm∴AB和CD之间的距离MN=OM-ON=7cm 或MN=OM+ON=17cm思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第83页练习第1、2题.。
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径(教案)
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂直于弦的直径性质以及它在解决问题中的应用。对于难点部分，我会通过图示和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂直于弦的直径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示垂直于弦的直径如何平分弦及所对的两条弧。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便习，我们了解了垂直于弦的直径的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂直于弦的直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-将垂直于弦的直径性质与已学的圆的其他性质（如圆周角定理、弦切角定理）结合使用。
举例解释：
-对于“平分”概念，通过动态演示或实物操作，让学生直观感受直径对弦及所对弧的平分作用；
人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将注重布局的合理性、内容的精炼性和风格的简洁性。板书将包括本节课的主要知识点，如垂径定理的推理过程、圆的性质和垂径定理的应用。在教学过程中的作用是辅助学生理解和记忆知识点，提供清晰的视觉辅助工具。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将注重以下几点：
3.学生分享：邀请一名学生在课堂上分享自己在前置知识中所了解到的垂径定理，以此引发学生对垂径定理的兴趣和思考。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我计划按照以下步骤逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.垂径定理的推理过程：通过几何画板软件，动态展示垂径定理的推理过程，让学生直观地感受和理解垂径定理的得出。
1.课堂练习：设计一些相关的课堂练习题目，让学生在课堂上进行练习，及时巩固所学知识。
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，选取一些实际问题，让学生运用垂径定理进行解决，培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。
3.个人研究项目：布置一个个人研究项目，让学生选择一个与垂径定理相关的问题进行深入研究，培养学生的独立思考和问题解决能力。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我计划采取以下方式引导学生自我评价，并提供有效的反馈和建议：
1.学生自我评价：让学生对自己在课堂上的学习表现进行自我评价，反思自己在学习中的优点和不足。
2.同伴评价：组织学生进行同伴评价，让学生互相评价对方的学习表现和解答过程，提供反馈和建议。
3.教师评价：教师对学生的学习表现和解答进行评价，给予肯定和鼓励，并提出改进的建议。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题；
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例
4.成长记录：鼓励学生建立数学学习成长记录，记录学习过程中的点滴进步，培养他们的自主学习能力和反思能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入：通过展示一幅圆形花园的图片，提问：“同学们，你们知道圆形花园中隐藏的数学秘密吗？”激发学生的好奇心。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解垂径定理，我们将从生活实际出发，创设富有启发性的教学情境。通过展示实际生活中含有垂径定理元素的场景，如古建筑中的拱桥、圆形花园的布局等，引导学生感受数学与生活的紧密联系。同时，利用多媒体手段，如动画、图片等，形象地呈现垂径定理的基本原理，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
1.教学反思：在教学过程中，教师需密切关注学生的学习状态，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的问题。课后，教师应认真反思教学设计、教学方法和教学效果，不断调整教学策略，以提高教学质量和效果。
2.学生评价：采用多元化的评价方式，包括自评、互评、小组评价和教师评价。评价内容涵盖知识掌握、技能运用、合作态度等方面。通过评价，激发学生的学习积极性，培养他们的自信心和自我认知能力。
3.小组交流：各小组分享自己的探究过程和结果，互相学习、借鉴，提高解决问题的能力。
（四）总结归纳
1.教师总结：对本节课的重点知识进行梳理，强调垂径定理的原理、证明方法及其应用。
2.学生总结：鼓励学生发表自己对垂径定理的理解和感悟，提高他们的概括和表达能力。
3.知识体系：将垂径定理与圆的其他性质相结合，构建完整的知识体系，为后续学习打下基础。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理优秀教学案例
人教版九年级数学上册教案：24.1.2垂直于弦的直径
课题24.1.2垂直于弦的直径课时第9周课型电教课教学目标知识与技能1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问过程与方法通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.情感与态度1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.民族团结教育我国民族平等的特征权利义务的一致性教学重点及教学难点教学重点垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.教学难点垂径定理及其推论.1教学方法及学习方法教学方法提问法，引导，指导，提示，鼓励，总结学习方法回顾，观察，思考，分析，探究活动，互相讨论，动手做题教学用具多媒体课件，圆，三角板一、情境导入，初步认识你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中心点到弦的距离）为7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图：课本第82页图24.1-7）【教学说明】赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课.二、思考探究，获取新知1.圆的轴对称性问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？23【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.2.垂径定理及其推论问题2 请同学们完成下列问题：如右图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD.使CD ⊥AB ，垂足为E. （1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由.【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）.数学语言：如上图，在⊙O 中，AB 是弦，直径CD 垂直于弦AB. ∴AE=BE..AC BC AD BD ==问（1）一条直线满足：①过圆心.②垂直于弦，则可得到什么结论？【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解.问（2）已知直径AB ，弦CD 且CE=DE （点E 在CD 上），那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图）提示：分E 点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即：CD 是直径或CD 是除直径外的弦来讨论.结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？【教学说明】问题（2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，注意条件，加深印象.3.利用垂径定理及推论解决实际问题问题3 如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高，AB=37.4，CD=7.2，则AD=1/2AB=1/2×37.4=18.7，OD=OC-CD=R-7.2.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.即：R2=18.72+(R-7.2)2解得R≈27.9(m)∴赵州桥主桥拱半径约为27.9m.45三、运用新知，深化理解1.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，根据圆的轴对称性可得：CE=______，BC =______；AC =______.2.如图，在⊙O 中，MN 为直径，若MN ⊥AB ，则______，______，______， 若AC=BC ，AB 不是直径，则______，______，______. 四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？1.布置作业：练习册24.1.2例1-10【板书设计】24.1.2垂直于弦的直径【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，根据圆的轴对称性可得：CE=______，BC =______；AC =______.【教学反思】：【组长意见】6。
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教学设计
难点：学生在解决具体问题时，能够将垂径定理与所学知识综合运用，形成系统的解题思路。
3.重点：培养学生的几何直观和空间想象能力。
难点：如何设计教学活动，使学生在探索圆的性质过程中，提升几何直观和空间想象能力。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
在教学开始时，通过展示生活中的圆形物体，如硬币、圆桌等，引导学生观察并思考其中所包含的几何性质。在此基础上，提出本节课要探讨的问题：垂直于弦的直径有哪些性质？
3.注重培养学生的几何直观和空间想象能力，帮助他们将几何知识与实际图形相结合，更好地理解和运用垂径定理。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，分享解题思路和经验，提高他们的合作能力和交流能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：垂直于弦的直径的性质及其应用。
难点：如何引导学生发现并理解垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧这一性质，并能灵活运用该性质解决相关问题。
4.布置课后作业，要求学生运用垂径定理解决实际问题，巩固课堂所学。
5.教师对本节课的教学进行反思，为下一节课做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的垂径定理及其应用，特此布置以下作业：
1.请同学们完成课本第24.1.2节后的习题1、2、3，并尝试用垂径定理解决实际问题。
2.设计一道关于垂径定理的应用题，要求包含弦长、圆心角等元素，并尝试自己解答。
3.结合生活中的圆形物体，观察并思考其中可能涉及的垂径定理问题，将观察到的现象和问题记录下来，下节课与同学们分享。
4.针对本节课的学习内容，撰写一篇学习心得，内容包括：你对垂径定理的理解、学习过程中的困难与收获、对今后学习的期望等。
5.预习下一节课的内容，提前了解圆中其他相关性质，为课堂学习做好准备。
人教版数学九年级上册教案：24.1.2 垂直于弦的直径
24.1.2 垂直于弦的直径教案一、【教材分析】教学目标知识技能1.使学生理解圆的轴对称性 .2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算问题.过程方法1.经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.2.在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法，锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活.情感态度让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现.教学重点垂径定理、推论及它们的应用.教学难点对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.二、【教学流程】教学环节问题设计师生活动二次备课情景创设请大家观察教材上的图片并思考问题：你知道赵州桥吗？你能给大家介绍一下有关它的历史及构造吗？创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣了解我国古代人民的勤劳与智慧.自主探究问题一用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？让学生动手操作，观察、思考、交流，归纳得出圆的特性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在（或过培养学生动手、动脑、动口探究问题的能力问题二1、观察、思考并回答：（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系怎样？（2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？(3)猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（4）思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？2、你能给上题中这条特殊的直径命名吗？这条特殊的直径有哪些性质？请用一句话概括出来.垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.问题三圆心）的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条.教师提出问题，学生画图、思考，并回答提出的问题.教师参与小组活动，指导帮助学生，鼓励学生大胆试验、猜想，并共同给出验证过程.小组交流，根据直径的特征，容易给出直径的名字——垂直于弦的直径，师生共同归纳出特殊直径的性质，并给出教师出示图形，学生独立思考、解答，说出哪些图形能使用垂径定理?教师出示题目，学让学生积极参与探究知识的整个过程，更有利于对知识点的理解与掌握.给学生足够的发挥空间，利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解.强化结论的命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”这个命题正确吗？画图说明.如果不正确，错在哪里？你认为应该怎样修改？生画图探究说明命题不正确，通过交流、修改，进一步得出垂径定理的推论.使用条件：平分非直径弦的直径.尝试应用1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.2、已知：如图1，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点.求证：AC＝BD.变式1：隐去（图1）中的大圆，连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD.变式2：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD（写出答案，不证明）3、请用所学知识解决求赵州桥拱半径的问教师出示题目，学生独立思考、解答学生解答完毕后，小组交流后以小组为单位展示小组的成果.教师巡视，帮助学习有困难的学生，并适时指导、点拨，不断提升、总结.学生交流，师生互动.对于第2题的解答，要求学生一题多解:法1：连接OA、OB、OC、OD，证△OAC≌△OBD法2：作OE⊥CD，垂足为E，利用垂径定理证明.要求：（1）正确画通过问题的训练，加深学生对垂径定理的理解及应用，同时强调辅助线的作法的重要性.经过一题多解、变式训练，锻炼学生发散思维及举一反三、触类旁通解决问题的能力.题.出图形，连接半径，构造直角三角形；（2）利用垂径定理的知识解决问题.补偿提高1、已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上任意一点，求OP的取值范围.2、见教材第90页习题24.1第9题教师出示题目，学生练习时，教师巡视、辅导，进一步了解学生的掌握情况.学有余力的学生选做，达到培优的目的.小结与作业小结：通过这节课的学习，你有什么收获？作业：1、必做题教材第83页练习1，2题2、选做题教材第90页习题24.1第10题教师提出问题，学生独立回答，教师在学生总结后进行补充，并根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.教师布置作业，动员分层要求.学生按要求课外完成，通过课后作业巩固本节知识.供学生课后探讨、研究.使学生能够回顾、总结、梳理所学知识.三、【板书设计】24.1.2 垂直于弦的直径四、【教后反思】本节课从介绍赵州桥的历史及构造入手，引起学生的学习兴趣和本课主题.再结合折纸、观察圆的对称性、利用对称性质验证一系列的过程，形象直观地抓住了定理，降低了单纯介绍定理的难度，同时让学生经历观察、思考、探索、交流、归纳的全过程，感受成功的喜悦.然后让学生通过对命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”的判断与修改，进一步得出垂径定理的推论，并强化结论的使用条件，为推论的正确理解和应用打好基础，锻炼了学生的思维的严密性和逻辑思维能力.最后让学生就赵州桥的半径计算问题，建立数学模型，添加辅助线构造直角三角形，利用垂径定理进行计算，真正让学生体会到学会数学的重要性.。
人教版数学九年级上册24.1.2垂径定理教学设计
3.分层教学，因材施教：针对学生的个体差异，设计不同难度的练习题，使每位学生都能在原有基础上得到提高。对基础薄弱的学生，进行个别辅导，帮助他们克服学习难点；对优秀生，提供拓展题，培养他们的创新思维。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课的教学内容，设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
2.学生独立完成：要求学生在规定时间内独立完成练习题，检验自己的学习效果。
3.解答与评价：教师对学生的练习情况进行解答和评价，指出学生的优点和不足，激发学生的学习积极性。
（五）总结归纳
1.学生自评：让学生回顾本节课的学习过程，总结自己在理解垂径定理、解决问题的方法等方面的收获和不足。
3.方法总结：总结证明垂径定理的方法，强调观察、分析、推理等几何证明的基本技能。
（三）学生小组讨论
1.划分学习小组：将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在能力、性格等方面的互补性。
2.布置讨论任务：给出几个与垂径定理相关的实际问题，让学生分组讨论如何运用垂径定理解决问题。
3.指导与反馈：在学生讨论过程中，教师巡回指导，及时解答学生的疑问，引导学生深入思考。
人教版数学九年级上册24.1.2垂径定理教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解垂径定理的概念，知道圆的直径垂直于弦，并且平分弦。
2.学会通过画图、观察、推理等方法，证明垂径定理。
3.能够运用垂径定理解决与圆相关的几何问题，如求弦长、半径等。
4.掌握垂径定理在实际问题中的应用，如园林设计、建筑设计等。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学素ห้องสมุดไป่ตู้，为学生的终身发展奠定基础。
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学设计
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学设计一、教学目标知识目标1.掌握圆的相关知识，包括圆心、半径、直径，弧，弦等基本概念；2.理解并掌握垂直于弦的直径性质和推导公式。
能力目标1.能够正确应用圆的相关概念，解决与其有关的问题；2.能够发现和解决具有一定难度的问题。
情感目标1.建立正确的学习态度，养成积极认真的态度；2.培养自我学习能力，加强在解决问题中的自信心。
二、教学重点及难点教学重点1.理解垂直于弦的直径性质；2.掌握垂直于弦的直径公式。
教学难点1.能够灵活运用垂直于弦的直径性质解决具体问题；2.能够对不同情况运用垂直于弦的直径公式，正确地解决问题。
三、教学过程预习环节要求学生预习第24章《圆》第1节中的垂直于弦的直径性质，并预习垂直于弦的直径公式。
老师可以让学生自学教科书或在线课程的视频，或者布置课外阅读任务。
拓展探究环节1.引入老师对垂直于弦的直径性质做一个简单的介绍，并设置一个问题引导学生探究垂直于弦的直径公式。
2.探究让学生在小组内讨论，并列举出一些圆垂直于弦的直径的情形，以此探究垂直于弦的直径公式。
3.思考让学生思考：如果两点不在圆上，能否确定它们之间的弦及它们所确定的圆上的弧？如果可以，请说明理由。
4.翻转课堂老师带领学生学习在线课程的视频讲解和实例演练，并回答学生关于学习内容的问题。
课堂演练环节1.背景设计假设有一些题目需要学生用垂直于弦的直径公式解决，邀请学生上台，演示出答案解决的过程。
2.师生互动老师可以针对学生在演练过程中出现的错误或者疑惑进行讲解和答疑，同时发散思维，加深学生对知识点的了解。
课后练习环节老师按照一定难度和数量的比例，布置课后练习任务，让学生巩固所学知识，并建议适当拓展。
四、教学评估1.拓展探究环节学生的讨论和思考，以及翻转课堂环节学生对在线课程所提问和答疑情况评分；2.课堂演练环节和课后练习成绩评分；3.收集学生的作业，对学生掌握情况进行评估。
五、教学反思此次教学设计强调了通过拓展探究环节和翻转课堂环节积极建设信息化学习环境，扩大学生的知识获取渠道，同时培养学生自主探究能力和主动思考能力。
九年级数学(人教版)上册教案：24.1.2 垂直于弦的直径
24. 1. 2垂直于弦的直径教学目标知识技能1．通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性．2．掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关证明与计算问题．数学思考与问题解决经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．情感态度1. 结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透．2. 激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望．重点难点重点：垂径定理、推论及其应用．难点：发现并证明垂径定理．教学设计活动一：复习引入(投影)①什么是轴对称图形？轴对称图形有哪些性质？什么是中心对称图形？②什么是弧、弦、直径、半径、等弧？(教师出示问题．学生复习回忆．教师补充校正．)设计意图：通过有针对性的复习，为本节课学习扫清障碍．活动二：实验发现1．用纸剪一个圆(课前布置学生做好)，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？通过“演示实验—观察—感性—理性”引出圆的轴对称性，进一步引出垂径定理．2．验证垂径定理3．探究垂径定理及其推论的使用格式组织学生剖析垂径定理的条件和结论：⎭⎪⎬⎪⎫CD 为⊙O 的直径CD ⊥AB ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EB ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝DB ︵.(教师引导学生实验观察、分析、发现和提出问题．让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性．根据图形用符号语言表示：已知：在⊙O中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为E.求证：AE ＝BE ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵.引导学生运用圆是轴对称图形这一性质进行简单证明．)设计意图：让学生亲自动手实验、探究、得出结论，激发兴趣，加深对垂径定理的理解． 活动三：利用垂径定理解决问题1．例题见教材第82页，求赵州桥主桥拱的半径问题．2．你能平分一条弧吗？你能解决作拱高的问题吗？(学生根据垂径定理画出图形，引导学生把圆的问题转化为直角三角形的问题来解决．学生通过练习，总结垂径定理的应用：过圆心作垂直于弦的直径、半径、垂线段、直线都可以使用垂径定理．)设计意图：结合赵州桥资料的介绍，向学生进行爱国主义教育和美育渗透．进一步体验数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．活动四：巩固练习1．已知在⊙O 中，弦AB 的长为8 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，求⊙O 的半径．2．已知：在半径为5 cm 的⊙O 中，两条平行弦AB ，CD 分别长8 cm 、6 cm.求两条平行弦间的距离．(教师引导，组织练习，巡回辅导，点拨方法、总结规律，重点问题进行强化，共性问题做好补教．学生独立思考解决问题．)设计意图：通过引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．通过练习，帮助学生熟练掌握垂径定理的内容，并能熟练应用垂径定理解决问题，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．活动五：师生小结1．垂径定理及其应用．2．将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题．3．学习圆中经常作辅助线——半径、弦的垂线解决问题的思路与方法，勇于探索，不畏学习中的困难．布置作业：1．教材第83页练习第1、2题．2．教材第90页习题24.1第9题．(教师点评，总结方法．圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a三个量之间存在什么关系？r2＝d2＋(a2)2.学生总结发言．学生按要求课外完成．)设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系．加强教、学反思，进一步提高教、学效果．板书设计垂直于弦的直径一、复习引入二、实验发现1．圆的轴对称性2．验证垂径定理3．探究垂径定理及其推论的使用格式三、利用垂径定理解决问题例题四、巩固练习五、师生小结。
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24.1.2垂直于弦的直径（新授总课时）
教学目标：
1.研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论
教学重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
教学难点：垂径定理及其推论的运用。
教学过程
一．课前预习
1.下列判断正确的是（）
A.平分弦的直径垂直于弦
B.平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
2.圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB，
CD的距离是
3.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，
拱的半径为13米，则拱高CD为
4.如图,AB为圆O直径,E是弧BC中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,
则AC=
第3题第4题
二．课堂研讨
（一）重点研讨
1.在半径为1的圆O中，弦AB=√3，AC=√2，则∠BAC的度数为____.
2.如图，⊙O过点B、C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，
OA=1，BC=6，则⊙O的半径为
3.如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，
OM：OC=3：5，则弦AB的长为．
第2题第3题教师活动
学情分析：检查预习情况：导语：
精讲点拨：
课堂小结：
板书设计：
教学札记：
（二）深化提高
1.已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，
以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离和
EF的长
（三）达标检测
1.已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径
作⊙O，交AN于D、E两点，设AD为x．
（1）如图1，当x为何值时，⊙O与AM相切；
（2）如图2，当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且
∠BOC=90度．
三.课后巩固
1.如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高为18米，
当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4
米，即PN=4米时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施？。