正交变换在解析几何中的应用

面相 交成 圃 的 具 体 的 倾 斜 方 向 ． 关 键 词 二 阶 非 定 常 线 性 微 分 方 程 ；一 致 稳 定
中 图分 类 号 Ｏ１５２．２
文 献 标 识 码 Ａ
文 章 编 号 １００８—１３９９（２０１８）０４—００４７—０４
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｏ ｒｔｈｏｇｏｎａｌ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｔｉｏｎ ｉｎ Ａｎａｌｙｔｉｃ Ｇｅｏｍ ｅｔｒｙ
正交 变换作 为代 数 中 的一 种线 性 变换 ［１— ２］， 不 仅 在数 学 学 科 的理 论 方 面 得 到 了众 多 的研 究 ［３ — ７］，而 且 在 图 像 处 理 、计 算 机 以及 石 油 勘 测 技 术 等实 际应 用 方 面也 有 着 重 要 的应 用 Ｅ８— １０３．本 文 主要研 究 了正 交变换 在 判断 曲线 形状 方面 的应 用．
赵 春 娥 ，闫 统 江 ，赵 旭 波
（中 国 石 油 大 学 （华 东 ） 理 学 院 ，山 东 青 岛 ２６６５８０）
摘 要 本 文 首 先 利 用 矩 阵 与 其 特 征 值 的 关 系分 析 平 面 内二 次 曲 线 的 形 状 ；进 而利 用 正 交 变 换 的 方 法 将 圆柱 面 与
ＺＨＡＯ Ｃｈｕｎｅ，ＹＡＮ Ｔｏｎｇｊｉａｎｇ，ａｎｄ ＺＨＡＯ Ｘｕｂｏ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ ，Ｑｉｎｇｄａｏ ２６６５８０，ＰＲＣ）
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Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｓｈａｐｅ ｏｆ ａ ｑｕａｄｒｉｃ ｃｕｒｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｘｙ－ｐｌａｎｅ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｍ ａ— ｔｒｉｘ ａｎｄ ｉｔｓ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ．Ｕ ｓｉｎｇ ｔｈｅ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ，ｗｅ ｌｉｓｔ ｔｈｅ ｅｘａｃｔ ｆｏｒｍｕｌａ，ｔｗｏ ｓｅｍｉ－ａｘｅｓ，ｔｗｏ ｆｏｃａｌ ｐｏｉｎｔｓ，ａｎｄ ｆｏｕｒ ｖｅｒｔｅｘｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｌｉｐｓｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｙｌｉｎｄｅｒ ａｎｄ ａｎ ｉｎｃｌｉｎｅｄ ｐｌａｎｅ． Ａｌｓｏ，ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｉｓ ｄｅｔｅｒｍ ｉｎｅｄ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓｌａｎｔ ｐｌａｎｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｓ ａｎ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｃｙｌｉｎｄｅｒａｔ ａ ｃｉｒｃｌｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｍａｔｒｉｘ，ｅｌｌｉｐｓｅ，ｃｉｒｃｌｅ
第 ２１卷 第 ４期 ２０１８年 ７月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ ＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ ＬＬＥＧ Ｅ Ｍ ＡＴ Ｈ ＥＭ ＡＴ ＩＣＳ
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１８．０４．０１４
Ｖｏ１．２１。Ｎｏ．４ Ｊｕｌｙ，２０１８
正 交变 换 在 解 析 几 何 中的应 用
平面斜交产生椭 圆的经验结论从数 学本 身的严谨 性 出发 给 出确 切 的公 式说 明 ，并给 出椭 圆的两个 半轴 长，焦 点及 顶 点 坐标 的 具 体表 达 式 ；最后 针 对 椭 圆 柱 面 与 平 面斜 交 可 以 产 生 圆 的 问题 进 行 剖 析 ，从 而 找 出能 使 平 面 与 椭 圆柱
师 教 学 改 革 项 目（ＱＮ２Ｏ１６２２）
作 者 简 介 ：赵 春 娥 （１９８１一 ），女 ，山东 省 临 清 市 人 ，博 士 ，讲 师 ，从 事
代 数 学 、密 码 学 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：ｚｈａｏｃｈｕｎｅ１９８１＠ １６３．ｃｏｒ ｎ
单平 移 的方 法就 无法 判断 其形 状． 由于正 交变 换 不 改 变 图形 的形 状 ．本 文首 先 用
在 ｘｏｙ平 面 内 ，二 次方 程 ａｘ。＋ｂｙ ＋ＣＸ＋ｄｙ斗 ｅ：０所 对 应 的 曲线 形 状 可 以利 用 坐 标 轴 的简 单 平 移化 为标 准型 的方 法 来 判 断 ，例 如 ｚ ＋２ｙ。一２ｘ＋ ４ 一５— ０可 以 化 为 （ｚ一１） ＋ ２（ ＋１） ＝＝＝８，坐 标 平 移 化为 标 准 型 ＋２ｙ 一８从 而 判 断 曲线 为椭 圆．但 是 当二 次项 中含 有 交叉 项 ｘｙ的时 候 ，再 用 简
正交 变 换 的方法 来对 形 如
ａｘ。＋ ２ｂｘｙ＋ ｃｙ。一 ｄ （口， ＞ ０）
的方 程 表示 的 曲 线 形 状 做 出 正 确 的判 断．其 次 ，在 空 间解 析几 何 中 ，诸 如 圆柱 面 与 平 面斜 交 产 生 椭 圆 之类 的结论 往往 是 经 验 之谈 ，缺 乏 数 学 的严 谨 性 与 确 切性 ．本 文将 利用 正 交 变 换 的思 想 以平 面 为 坐标 平 面建 立 新 的 坐 标 系 ，然 后 在 新 的 坐 标 系 中 ，将 曲 线 表示 为 坐标平 面 与 其 投影 柱 面 的交 线 ，根据 曲线 的方程 特 点 来 判 断 其 形 状．最 后 ，椭 圆 柱 面 与 平 面 相 交 ，直觉 上 应 该 是 垂 直 相 交 产 生 椭 圆 ，斜 交 可 能 是 椭 圆 ，也 可 能 是 圆．那 么 平 面 到 底 沿 哪 些 方 向倾 斜可 以相 交 产 生 圆 呢 ？ 本 文 继 续 利 用 正 交 变 换 的 方 法解 决 这一 问题 ．
收 稿 日期 ：２０１７一Ｏ７—１３
修 改 日期 ：２０１７—０９—０５
基 金 项 目 ：山 东 省 自然 科 学 基 金 （ＺＲ２０１６ＦＬ０１），青 岛 市 科 技 计 划 项
目（１６—５—１—５一ｊｏｈ），中 国 石 油 大 学 （华 东 ）自 主 创 新 科
研 计 划 项 目（１６ＣＸ０２０１３Ａ），中 国石 油 大 学 （华 东 ）青 年 教