23薛定谔方程习题解答

2. 在有心引力势场k/r中运动的粒子的定态薛定谔方程为
2 2m k ( E ) 0 。 2 r
3.粒子在一维无限深势阱中运动，其基态波函数(x, t)为
Ψ ( x, t ) 2 a sin πx a e
2 2 2 = x , t U x , t x , t 2x 2 1 x, t U x, t ( x, t ) 2m x 2 m U ( x, t ) 2 2x 2 1 m


令上两式相等，得势函数
1
第二十三章
薛定谔方程
一 选择题 1. 已知粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为
x
1 a cos 3πx 2a
a ≤ x ≤ a
那么粒子在x=5a/6处出现的概率密度为 （ A ） A. 1/(2a) B. 1/a C. 1 / 2a D. 1 / a 2. 关于量子力学中的定态，下面表述中错误的是 （ B ） A. 系统的势函数一定与时间无关 B. 系统的波函数一定与时间无关 C. 定态具有确定的能量 D. 粒子在空间各点出现的概率不随时间变化 二 填空题 1. 设粒子的定态波函数为(x,y,z)，则在x(x+dx)范围内找到粒子的概率表达式 为 wx dx
t 2 2 x, t U x, t x, t ，势 2m x 2
2
解：将波函数为 x, t A exp( x 2 i t ) 代入方程的左边，得到
i x, t x, t t
将波函数为 x, t A exp( x 2 i t ) 代入方程的右边，得到
4. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：
n x 2 a sin nπx a
0 x a
试求：粒子处于n =1和n =2的状态时，在0 < x < a / 3区间内找到该粒子的概率。 解：粒子的定态概率密度分布为 w ( ) sin 2 x内出现的概率
dP dx 2 a sin 2 nπx a dx
E
2 2 2 p 2 px p y pz h2 2 2 (nx n2 y nz ) 2 2m 2m 8ma
E2= E122=150.8 eV E100= E11002=3.77105 eV E101= E11012=3.85105 eV 当a=1.0cm时， E1=37.71016 eV E2= 150.81016 eV E100 = 3.771011 eV E101 = 3.851011 eV 即各能量值是第一种情况的1016倍，各能级可看成是连续的。 3. 试计算在宽度为a=21010m的一维无限深势阱中，电子由n=3的能级跃迁到n =1的能级时所发出的光波波长。 解： 电子由n=3的能级跃迁到n=1的能级时，发出的光波波长满足下列关系
2 2 2
n 1, 2, 3, … …
即
En n 2 h 2 /(8ma 2 ), n 1, 2, 3, ……
4
6. 假设一个微观粒子被封闭在一个边长为a的正立方盒子内，试根据驻波概念 导出粒子的能量为
En h2 8ma 2
2 2 (n x n2 y nz )
其中nx、ny、nz是相互独立的正整数。 解：本题中的粒子可看成是在三维无限深势阱中运动，由于边界条件的限 制，在盒壁处波函数为零，粒子在盒子内形成三维驻波。与在一维无限深势阱 中运动的粒子一样，每个方向上势阱宽度a必须等于该方向上德布罗意波长 半波长的整数倍，在x轴方向 nx x/ 2 = a 或 x = 2a / nx 式中nx是正整数。根据德布罗意波长公式x = h / px，则有px = h nx / ( 2a ) 。类似地py = h ny / ( 2a )，pz = h nz / ( 2a )。 故在盒子中运动的粒子能量


2. 试计算在宽度为0.1nm的一维无限深势阱中，处于能量量子数n=1,2,100,101的 各定态的电子能量。如果势阱宽度为1.0cm，结果又如何？ 解：根据电子定态的本征能量公式
En h2 2 n 8ma 2 n 1, 2, 3,
当a=0.1nm时，
E1 (6.626 10 34 ) 2 37.7 eV 8 9.1 10 31 (0.1 10 9 ) 2 1.6 10 19
hc

E3 E1
根据电子定态的本征能量公式
En h2 2 n 8ma 2 n 1, 2, 3,
3
得到
hc

(32 1)
h2 h2 8ma 2 ma 2
因此

mca 2 9.1 10 31 3.0 108 (2.0 10 10 ) 2 1.65 10 8 m h 6.626 10 34
p2 。） 2m
（提示：非相对论的动能和动量关系为 E 解：依题意，有如下关系
n/ 2 = a 或 = 2a / n 根据德布罗意波长公式 = h / p，则有p = h n / ( 2a ) 。 故在一维无限深势阱中运动的粒子能量 E n 2 h 2 /(8ma 2 ),
E p n h 2m 8ma 2
2
2
2 a
nπx ，因此在d a
粒子在0 < x < a / 3范围内出现的概率
P dP


a/3 0
2 nπx ( ) sin 2 dx a a
a/3
2 x a 2nπx ( sin ) a 2 4πn a 0

1 1 2nπ sin 3 2πn 3
若n =1，概率 P
1 3
1 3 1 1 3 0.195 ；若n =2，概率 P 0.402 。 2π 2 3 4π 2
5. 在一维无限深势阱中运动的粒子，由于边界条件的限制，势阱宽度a必须等于 德布罗意波长半波长的整数倍。试利用这一条件导出能量量子化公式
En n 2 h 2 /(8ma 2 ), n 1, 2, 3, ……
i 2 ma 2
2
t
。
4. 在电子能量E小于势垒高度U0的情况下，电子透过势垒的概率随着电子能量 的增大而增大；随着势垒宽度的增大而减小。 三 计算题 1. 设体系的波函数为 x, t A exp( x 2 i t ) ，式中A, , 均为正实数。为使波函数满足方程 i x, t 函数应该是怎样的形式？ （提示：将波函数代入题中方程。）