电路分析 第八章

uC (0-) = U0（不为零） t
其中 = RC 全解： uC = US + Ae 由初始值来确定A：uC (0+ ) = A + US = U 0 A = U 0 - US
稳态解 暂态解
所以：
uC = uC + uC = US + (U0 - US )e
-
t τ
t 0
2、全响应：非零初始状态的电路受到外加激励时电路中产 生的响应，称为全响应。
4、一阶电路零状态响应解的一般公式
一阶电路的零状态响应是由激励引起的响应，它实质
上是动态元件的储能由零逐渐增长到某一定值的过程。
uCZS ( t ) = uC ( )(1 - e iLZS ( t ) = i L ( )(1 - e
-
t τ
)
-
t τ
)
（1）τ体现了一阶电路的固有特性，衰减快慢取决于时间 常数τ。RC电路τ = ReqC , RL电路τ = L/Req。 （2） uC ( ) 称为电容电压稳态值 可由稳态值 电路求取
uC = Ae
-
t RC
变化规律由电路参数和结构决定。
t RC
全解： uC = uC + uC = US + Ae
由初始条件 uC (0+) = 0确定积分常数 A
uC (0+ ) = A + US = 0 A = -US
uC ( t ) = US - US e
-
t RC
= US (1 - e
二、一阶电路的零状态响应
1、零状态响应：电路在储能
元件零初始条件下由外施激 励引起的电路响应。 + US S(t= 0) 2 1 R iC(t)
+ uR -
C
+ uC(t) -
2、RC电路的零状态响应
t < 0时，开关S在位置1，处于稳态，即： uC (0-) = 0 t = 0时，开关S打向位置2，列方程：
即：WC = WR
讨论：
（1）时间常数τ的大小反映了电路过渡过程时间的长短。 uC U0 τ大
τ大 过渡过程时间的长
τ小 过渡过程时间的短 当电压初值一定：
0
τ小
t
C 大（R不变） R 大（C不变）
W = 0.5Cu2 i = u/R
储能大
放电时间长
放电电流小
3、RL电路的零输入响应
求电感电压uL(t)和电流i(t)。 解： di L + Ri = 0 dt R1 US R i + S(t=0) L
i L ( )
称为电感电流稳态值
四、一阶电路的全响应
1、一阶电路的全响应及其两种分解方式 引例： S(t = 0) R US +u –
R
i
duC RC + uC = U S dt
+ uC –
τ
t τ
C
（非齐次微分方程）
解答为：uC = uC' + uC'' 特解 ： uC' = US
通解： uC = Ae
uL (0+ ) = -2 4V = -8V
-
1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和iL(0-)。 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
例2
iL + uL L S(t = 0) R C
iC +
求 iC(0+)，uL(0+)。 解： –
IS
uC
iL (0+ ) = iL (0- ) = IS
i
+ uC' –
+
+ u – R
uC (0-) = 0 零状态响应
例8-5
§8-3 一阶电路的三要素法
一、三要素法：以一阶RC电路全响应说明：
uC ( t ) = U S + (U 0 - U S )e
-t
时间 常数
τ
稳态分量，t 电容 电压，uC()。
电容电压初 值uC(0+)
上式可写成： uC ( t ) = uC ( ) + uC (0 + ) - uC ( ) e
第八章一阶电路分析
换路定则与初始条件
一阶电路零输入响应
一阶电路零状态响应
一阶电路的全响应和三要素法
一阶电路的阶跃响应
§8-1 换路定律和初始值的确定
一、动态电路
1.定义：由电容或电感等动态元件构成的电路称为动 态电路。 2. 描述方程：当电路含有电感L或电容C时，电路方程
是以电流或电压为变量的微分方程。
uL
–
t0
特征方程 Lp + R = 0
R 特征根 p = L
由初始值i(0+) = I0确定积分常数A。
US i (0+ ) = i (0- ) = = I0 R1 + R
i ( t ) = Ae pt
A = i (0 + ) = I 0
R - t L
得 i (t ) = I 0e pt = I 0e
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成 2.电路结构发生变化 支路接入或断开；参数变化 换路
四、稳态分析和动态分析的区别
稳态
换路发生很长时间 iL、uC随时间不变 代数方程组描述电路
动态
换路刚发生
iL 、 uC随时间变化
微分方程组描述电路
3.换路定则
用uC(0-)，uC(0+) 分别表示换路前、后瞬间电容两端 的电压；而用iL(0-)、iL(0+)分别表示换路前、后瞬间电感 中的电流，则换路定律的数学表示形式为：
uC (0+ ) = uC (0- ) i L (0+ ) = i L (0- )
条件：必须保证电路在换路瞬间电容电流、电感电压
为有限值。
例1
1
（t = 0） S
4
L iL
+
uL
t = 0时闭合开关S，求 uL(0+)
10V
-
解：
0+等效电路 1 4
+
10V 求初始值的步骤 2A uL
iL (0+ ) = iL (0- ) = 2A
duC RC + uC = U S dt
一阶常系数非齐次线性微分方程
对应的齐次方程的通解
解答形式为： uC = uC + uC
对应非齐次方程的特解
uC ：特解（稳态分量）
uC = U S
与输入激励的变化规律有关
uC ：通解（自由分量）
duC 齐次方程 RC + uC = 0 的解 dt
若令：τ = RC（τ称为一阶RC电路的时 间常数：time constant）。
t uC ( t ) = U 0e 则RC一阶电路 的响应可写为： U 0 - t i(t ) = - e R
( t 0+ )
t
0
t τ
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τ
2τ
3τ
-2
5τ
-3
uC = U 0e
U0 U 0e - 1
-t
τ
在直流激励下，电路的任意一个全响应可用f(t)表示，则：
f (t ) = f () + [ f (0+ ) - f ()]e
-
t
例4 2 + uC -
S(t = 0) 1
已知 t = 0时合开关S， 求换路后的uC(t)。 uC (V)
1A
3F
解： uC (0+ ) = uC (0- ) = 2V
t 0
i ( t ) = I 0e
-
R t L
= I 0e
-
t L/R
(t 0)
(t 0)
i I0 0 uL t -RI0 t
t di uL ( t ) = L = - RI 0e L/R dt
令τ = L/R , 称为一阶RL电路时间常数
L 亨 韦 伏秒 [ ] = [ ] = [ ] = [ ]=[ ] = [秒] R 欧 安欧 安欧
uC
US
U0 0 U0- US
uC'
uC
t
稳态响应 全响应
uC''
暂态响应
3 全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
由上页推导可知：
uC (t ) = US + (U0 - US )e
t τ
-
t τ
(t 0)
t τ
uC(t)又可表示为： uC (t ) = US (1 - e
零状态响应
) + U 0e
特征方程： RCs + 1 = 0
特征解
S(t= 0) + U0 2 1
R
i (t) C + uC(t) -
+ uR -
s=-
1 RC
通解
u c t = Ke st
uc t = Ke
-
t RC
由换路定则：
得
uC (0+ ) = uC (0- ) = U 0
K = U0
所求uC和i为：
1 t RC (t 0+ ) uC ( t ) = U 0e 1 duC U 0 RC t i ( t ) = C =e ( t 0+ ) dt R
U 0e
U 0e
U 0e - 5
0.007 U0
U0 0.368 U0 0.135 U0
0.05 U0
工程上认为 , 经过 3τ ～ 5τ , 过渡过程结束。 1τ ：电容电压衰减到初始电压36.8%所需的时间。
（2）能量关系： 设uC(0+) = U0
1 2 电容放出能量：WC = CU 0 2 t U 0 RC 2 1 2 电阻吸收能量： R = i Rdt = ( - e W ) Rdt = CU 02 0 0 R 2
-
t RC
)
( t 0)
强制分量（稳态）
t duC U S - RC iC ( t ) = C = e dt R
自由分量（暂态）
( t 0)
US R
uC US
0
uC'
t
iC
iC t
-US
uC"
0 uC
3、RL电路的零状态响应
S(t = 0)
US
R iL + uR – + L uL –
已知
iL(0-) = 0， 求电感电流iL(t)。
2
0.667 0
-t τ
uC = uC ( ) + [uC (0+ ) - uC ( )]e
21 uC ( ) = 1V = 0.667V 2+1 2 = ReqC = 3s = 2s 3
t(s)
= 0.667 + (2 - 0.667)e -0.5 t V = 0.667 + 1.33e -0.5 t V ( t 0)
0+等效电路 IS + uL – iC + R IS –
uC (0+ ) = uC (0- ) = RIS uL (0+ ) = - RIS
RIS iC (0+ ) = IS =0 R
R
§8-2 一阶电路的动态响应
一、一阶电路的零输入响应
一个动态电路的响应是各种能量来源共同作用的结果。
作用于电路的能量来源于两个方面： 一是由外施激励（即独立电源）输入的； 二是由电路中储能元件（C、L）储存的。 零输入响应：动态电路没有外施电源激励，仅由动态元件 的初始储能引起的电路响应。
例如一个工作状态(稳态)到另一个工作状态(稳
态)中的过渡过程：
2（t =0）
i
R+ （1）S未动前（一个工作状态）：
C
· 1
US
S
uC
–
i = 0，uC = 0
这中间有个过渡过程
i
R + US
（2）S接通电源后很长时间（另一
个工作状态）：
C
uC
–
i = 0，uC = US
三、过渡过程产生的原因
1.电路内部含有储能元件：电感L 、电容 C
(t 0)
零输入响应
uC(t)
US
全响应
U0
零状态响应 零输入响应
0
t
用电路图表示：
S(t = 0) R + uR – i C + uC –
US
uC (0-) = U0
S(t = 0) R i + C uC" – uC (0-) = U0 零输入响应
S(t = 0) R US + uR – C
2、RC电路零输入响应 图示电路，求 uC(t)和 i(t)。 解： S(t= 0) R + uR C i (t) + uC(t) -
由图可知，uC (0-) = U0
+ U0 -
2 1
uC + uR = 0
(t 0+ )
duC + uC = 0 RC dt uC (0- ) = U 0
3. 一阶电路：由一阶微分方程描述的电路称一阶电路。
4.二阶电路：由二阶微分方程描述的电路称二阶电路。
二、电路的过渡过程
1.换路：将电路结构或参数进行改变，称为换路。 2.过渡过程：电路由一个工作状态转变到另一个工作状 态需要经历的一个过程，这个过程称为过 渡过程。 3.稳态：电路的结构或元件的参数不再发生变化，经 过一段时间后的工作状态称为稳态。
US R
iL
di L 解：L + Ri L = U S dt
US iL = iL + iL = + Ae R
iL (0+ ) = 0 A = US R
R - t L
0
uL
t
US 0
t
R R - t - t US diL iL (t ) = (1 - e L )，uL = L = U Se L ( t 0+ ) R dt
i(0+)一定： L大 R小 起始能量大 放电过程消耗能量小 放电慢 τ大
4、一阶电路零输入响应解的一般公式
一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的 响应，它们都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t ) = y(0+ )e
-
t τ
一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性 （1）τ体现了一阶电路的固有特性，衰减快慢取决于时间常 数τ。RC电路τ = RC , RL电路τ = L/R。 （2）同一电路中所有响应具有相同的时间常数。