中科院计算流体力学最新讲义CFD2011-第7讲-有限体积法1
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Copyright by Li Xinliang
UL
2
知识回顾2： LU-SGS
U f1 (U) f 2 (U) 0 t x y
U n 1 U n f1 (U n 1 ) f 2 (U n 1 ) 0 t x y
Q n U n 1 U n
VI k SI 1/2U I k
(k 1,0,1, 2)
1 L U IL1/2 S I 1/2VI 1/2 1 R U IR1/2 S I 1/2VI 1/2
先算出UI+1/2 (可用UI和UI+1的算术平均或Roe平均），再 利用该值算出SI+1/2
Copyright by Li Xinliang
U IR1/2 (2U I 5U I 1 U I 2 ) / 6
3阶MUSCL格式
minmod(a,b) : a,b符号 相反时取0， 符号相同 时取绝对值小的
UIL1/2 UI s1 / 4(1 s1 / 3)(UI UI 1 ) (1 s1 / 3)(UI 1 UI )
D U L ( D L ) D1 ( D U ) LD1U
aij Qij bij Qi 1, j cij Qi , j 1 dij Qi 1, j eij Qi , j 1 Rij
Step 1: 求解 d Q aij Q ij ij i 1, j eij Qi , j 1 R ij Step 2: 求解 aij Qij bij Qi 1, j cij Qi , j 1 aij Q ij
6
F n
物理含义： 单位时间内，无粘流动流过 垂直于n方向的单位面积的质量、动量和 能量
n
u u 2 vu u p n n F n F1nx F2 n y x uv v2 p x ( E p )u ( E p )v un uu pn n x un unx vny 法向速度 vun pn y ( E p )u n
在控制体上积分
U IJ 1 t IJ 1 F n ds IJ
粘性通量
Fv nds 0
U IJ
1 IJ
UdV
无粘通量
物理含义：
控制体内总质量/动量/能量的增加 = 穿过控制体边界流入 的净质量/动量/能量
Copyright by Li Xinliang
计算方法： 与差分法完全相同 各种差分格式，均可直接使用 也称为“差分格式”
该过程称为“重构”（很多文献中称为“插值”）
a 0: a 0:
ui 1/2 ...... ui 1/2 ......
有限体积与有限差 分共通之处, 可直 接使用差分格式
10
Copyright by Li Xinliang
Copyright by Li Xinliang 1
平均斜率
知识回顾： Roe 格式
U f (U) 0 t x U U A(U ) 0, t x A f(U) U
~ A(U R , U L )
线性化，以平均增长 率代替瞬时增长率 [j,j+1]区间内
f 1 ( f j 1/ 2 f j 1/ 2 ) x j x
3
§ 7.1 结构网格有限体积法
有限体积法主要优势： 处理复杂网格
差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x( , , ) y y ( , , ) z z ( , , )
ˆ V ˆ f ˆ f ˆ ˆ V ˆ V ˆ f U 1 2 3 1 2 3 t
~ A(U R , U L ) ~ A(U R , U L )
~ A(U, U) A(U)
1 1 1 f j 1/2 [f(U R ) f(U L )] S S (U R U L ) 2 2
( L R ) / 2 u ( L uL R uR ) / 2 ( H H )/2 H L L R R
方法1： 中心型有限体积法
U I 1/2, J
1 U I , J U I 1, J 2
人工粘性项
FI 1/2, J F(UI 1/2, J ) vis
Copyright by Li Xinliang
9
方法2： 迎风型有限体积法
Step 1: 利用（偏）左侧点及（偏）右侧点 的值，计算出I+1/2,J点的值
ˆ (U , U ) f j 1 j
ˆ (U , U ) 经常记为 f R L
U ~ U A 0 t x
~ A(U R , U L )
应当具有的性质 ~ f(UR ) f(UL ) A(U R , UL )(U R UL ) 连续，且 可通过相似变换对角化
UR
常系数方程的 Riemann解
计算流体力学讲义2011
第七讲 有限体积法（1）
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
有限体积法的基本概念 无粘通量及粘性通量的计算 多块网格
讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 http://cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public
12
u f (u) 0 t x
A. 有限差分法：
重要概念澄清： 重构与插值
fˆ j 1/ 2
切线
j
fˆ j 1/ 2
f ( x j 1/ 2 )
f x
j
ˆ ˆ f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
j-1
ˆ 注意：f 与 f 在xj+1/2点的值含义不同！ j 1 / 2
j-1/2 j+1/2
用周围几个点的值 f j 计算 fˆ j 1/ 2 的过程称为“重构”，不能理 解为用f j 来插值 f ( x j 1/ 2 )
f j 1/ 2 （称为数值流通量） 的含义
否则，最高只能 达到2阶精度了！
ˆ 更好些 记号 f j 1/ 2 确实容易混淆，让人容易联想起 f ( x j 1/ 2 ) 。记为 f j 1 / 2
(f1n 1 f1n ) (f 2n 1 f 2n ) f1n f 2n Q t[ ] t[ ] x y x y
n
Q n t[
AQ n BQn ] tRHS x y
Q ij [1
t * t * t t t t A B ] [ A i1, j Q i 1, j Bi , j 1Q i , j 1 ] [ A i1, j Q i 1, j Bi , j 1Q i , j 1 ] tRHS x y x y x y
UIR1/2 UI 1 s2 / 4(1 s2 / 3)(UI 2 UI 1 ) (1 s2 / 3)(UI 1 UI )
s1 2(U I U I 1 )(U I 1 U I ) (U I U11 )2 (U I 1 U I )2
常见的差分格式：
2阶NND格式
U IL1/2 U I 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I U I 1 ) U IR1/2 U I 1 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I 2 U I 1 )
3阶迎风 U IL1/2 (U I 1 5U I 2U I 1 ) / 6
s2 2(U I 1 U I )(U I 2 U I 1 ) (U I 1 U I )2 (U I 2 U I 1 )2
106
TVD, WENO, GVC, 保单调格式……
Copyright by Li Xinliang 11
重构方式： 原始变量、守恒变量及特征变量 以NND格式为例：
不足
差分离散与几何解耦，复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
Copyright by Li Xinliang
4
1. 基本概念
1） 控制体 节点（中心）型控制体与网格型控制体
Copyright by Li Xinliang
5
2） 积分型控制方程
U F1 (U) F2 (U) Fv1 (U) Fv 2 (U) t x y x y
L I 1/2
守恒变 量重构 原始变 量重构 特征变 量重构
U
U I 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I U I 1 )
U IR1/2 U I 1 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I 2 U I 1 ) qIL1/2 qI 1/ 2 min mod( qI 1 q I , qI qI 1 ) qIR1/2 qI 1 1/ 2 min mod( qI 1 q I , qI 2 qI 1 )
n
Copyright by Li Xinliang
7
3）有限体积法中物理量的含义
U IJ 1 IJ
UdV
含义： 控制体内的平均量 （平均质量密度、平均动量密度、 平均能量密度）
二阶精度 近似 控制体几何中心处的当地密度、 动量密度、能量密度
4） 残差
R IJ 1 IJ
Copyright by Li Xinliang
R /a Q 11 11 11 (R d Q Q
ij ij ij
i 1, j
eij Q i , j 1 ) / aij
Qmn Rmn / amn
b Q c Q ) / a Qij (aij Q ij ij i 1, j ij i , j 1 ij
UIL1/2, J g L (UI 1, J ,UI , J ,UI 1, J ) UIR1/2, J g R (UI , J ,UI 1, J ,UI 2, J )
u u a 0 t x
1 u ui 1/2 ui 1/2 x i x
ˆ J 1 ( f f f ) f 1 x 1 y 2 z 3
J 1
( x, y , z ) ( , , )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难 差分法 优点 有限体积法
简单、计算量小、易 本身包含几何信息， 于提高精度 易处理复杂网格
F nds
1 IJ
Fv nds
U IJ t
残差=净通量=右端项
Copyright Βιβλιοθήκη Baiduy Li Xinliang
8
2. 无粘通量的计算
F nds
常用方法 （流过AB边的通量）： a. 利用周围点的值，计算出(I+1/2,J)
点处的物理量； b. 利用该处的物理量，计算出流过 AB边的流通量
u U v E u q v p
VIL 1/2 VI 1/ 2 min mod(VI 1 VI , VI VI 1 ) V
R I 1/2
VI 1 1/ 2 min mod(VI 1 VI ,VI 2 VI 1 )
UL
2
知识回顾2： LU-SGS
U f1 (U) f 2 (U) 0 t x y
U n 1 U n f1 (U n 1 ) f 2 (U n 1 ) 0 t x y
Q n U n 1 U n
VI k SI 1/2U I k
(k 1,0,1, 2)
1 L U IL1/2 S I 1/2VI 1/2 1 R U IR1/2 S I 1/2VI 1/2
先算出UI+1/2 (可用UI和UI+1的算术平均或Roe平均），再 利用该值算出SI+1/2
Copyright by Li Xinliang
U IR1/2 (2U I 5U I 1 U I 2 ) / 6
3阶MUSCL格式
minmod(a,b) : a,b符号 相反时取0， 符号相同 时取绝对值小的
UIL1/2 UI s1 / 4(1 s1 / 3)(UI UI 1 ) (1 s1 / 3)(UI 1 UI )
D U L ( D L ) D1 ( D U ) LD1U
aij Qij bij Qi 1, j cij Qi , j 1 dij Qi 1, j eij Qi , j 1 Rij
Step 1: 求解 d Q aij Q ij ij i 1, j eij Qi , j 1 R ij Step 2: 求解 aij Qij bij Qi 1, j cij Qi , j 1 aij Q ij
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F n
物理含义： 单位时间内，无粘流动流过 垂直于n方向的单位面积的质量、动量和 能量
n
u u 2 vu u p n n F n F1nx F2 n y x uv v2 p x ( E p )u ( E p )v un uu pn n x un unx vny 法向速度 vun pn y ( E p )u n
在控制体上积分
U IJ 1 t IJ 1 F n ds IJ
粘性通量
Fv nds 0
U IJ
1 IJ
UdV
无粘通量
物理含义：
控制体内总质量/动量/能量的增加 = 穿过控制体边界流入 的净质量/动量/能量
Copyright by Li Xinliang
计算方法： 与差分法完全相同 各种差分格式，均可直接使用 也称为“差分格式”
该过程称为“重构”（很多文献中称为“插值”）
a 0: a 0:
ui 1/2 ...... ui 1/2 ......
有限体积与有限差 分共通之处, 可直 接使用差分格式
10
Copyright by Li Xinliang
Copyright by Li Xinliang 1
平均斜率
知识回顾： Roe 格式
U f (U) 0 t x U U A(U ) 0, t x A f(U) U
~ A(U R , U L )
线性化，以平均增长 率代替瞬时增长率 [j,j+1]区间内
f 1 ( f j 1/ 2 f j 1/ 2 ) x j x
3
§ 7.1 结构网格有限体积法
有限体积法主要优势： 处理复杂网格
差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x( , , ) y y ( , , ) z z ( , , )
ˆ V ˆ f ˆ f ˆ ˆ V ˆ V ˆ f U 1 2 3 1 2 3 t
~ A(U R , U L ) ~ A(U R , U L )
~ A(U, U) A(U)
1 1 1 f j 1/2 [f(U R ) f(U L )] S S (U R U L ) 2 2
( L R ) / 2 u ( L uL R uR ) / 2 ( H H )/2 H L L R R
方法1： 中心型有限体积法
U I 1/2, J
1 U I , J U I 1, J 2
人工粘性项
FI 1/2, J F(UI 1/2, J ) vis
Copyright by Li Xinliang
9
方法2： 迎风型有限体积法
Step 1: 利用（偏）左侧点及（偏）右侧点 的值，计算出I+1/2,J点的值
ˆ (U , U ) f j 1 j
ˆ (U , U ) 经常记为 f R L
U ~ U A 0 t x
~ A(U R , U L )
应当具有的性质 ~ f(UR ) f(UL ) A(U R , UL )(U R UL ) 连续，且 可通过相似变换对角化
UR
常系数方程的 Riemann解
计算流体力学讲义2011
第七讲 有限体积法（1）
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
有限体积法的基本概念 无粘通量及粘性通量的计算 多块网格
讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 http://cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public
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u f (u) 0 t x
A. 有限差分法：
重要概念澄清： 重构与插值
fˆ j 1/ 2
切线
j
fˆ j 1/ 2
f ( x j 1/ 2 )
f x
j
ˆ ˆ f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
j-1
ˆ 注意：f 与 f 在xj+1/2点的值含义不同！ j 1 / 2
j-1/2 j+1/2
用周围几个点的值 f j 计算 fˆ j 1/ 2 的过程称为“重构”，不能理 解为用f j 来插值 f ( x j 1/ 2 )
f j 1/ 2 （称为数值流通量） 的含义
否则，最高只能 达到2阶精度了！
ˆ 更好些 记号 f j 1/ 2 确实容易混淆，让人容易联想起 f ( x j 1/ 2 ) 。记为 f j 1 / 2
(f1n 1 f1n ) (f 2n 1 f 2n ) f1n f 2n Q t[ ] t[ ] x y x y
n
Q n t[
AQ n BQn ] tRHS x y
Q ij [1
t * t * t t t t A B ] [ A i1, j Q i 1, j Bi , j 1Q i , j 1 ] [ A i1, j Q i 1, j Bi , j 1Q i , j 1 ] tRHS x y x y x y
UIR1/2 UI 1 s2 / 4(1 s2 / 3)(UI 2 UI 1 ) (1 s2 / 3)(UI 1 UI )
s1 2(U I U I 1 )(U I 1 U I ) (U I U11 )2 (U I 1 U I )2
常见的差分格式：
2阶NND格式
U IL1/2 U I 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I U I 1 ) U IR1/2 U I 1 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I 2 U I 1 )
3阶迎风 U IL1/2 (U I 1 5U I 2U I 1 ) / 6
s2 2(U I 1 U I )(U I 2 U I 1 ) (U I 1 U I )2 (U I 2 U I 1 )2
106
TVD, WENO, GVC, 保单调格式……
Copyright by Li Xinliang 11
重构方式： 原始变量、守恒变量及特征变量 以NND格式为例：
不足
差分离散与几何解耦，复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
Copyright by Li Xinliang
4
1. 基本概念
1） 控制体 节点（中心）型控制体与网格型控制体
Copyright by Li Xinliang
5
2） 积分型控制方程
U F1 (U) F2 (U) Fv1 (U) Fv 2 (U) t x y x y
L I 1/2
守恒变 量重构 原始变 量重构 特征变 量重构
U
U I 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I U I 1 )
U IR1/2 U I 1 1/ 2 min mod(U I 1 U I ,U I 2 U I 1 ) qIL1/2 qI 1/ 2 min mod( qI 1 q I , qI qI 1 ) qIR1/2 qI 1 1/ 2 min mod( qI 1 q I , qI 2 qI 1 )
n
Copyright by Li Xinliang
7
3）有限体积法中物理量的含义
U IJ 1 IJ
UdV
含义： 控制体内的平均量 （平均质量密度、平均动量密度、 平均能量密度）
二阶精度 近似 控制体几何中心处的当地密度、 动量密度、能量密度
4） 残差
R IJ 1 IJ
Copyright by Li Xinliang
R /a Q 11 11 11 (R d Q Q
ij ij ij
i 1, j
eij Q i , j 1 ) / aij
Qmn Rmn / amn
b Q c Q ) / a Qij (aij Q ij ij i 1, j ij i , j 1 ij
UIL1/2, J g L (UI 1, J ,UI , J ,UI 1, J ) UIR1/2, J g R (UI , J ,UI 1, J ,UI 2, J )
u u a 0 t x
1 u ui 1/2 ui 1/2 x i x
ˆ J 1 ( f f f ) f 1 x 1 y 2 z 3
J 1
( x, y , z ) ( , , )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难 差分法 优点 有限体积法
简单、计算量小、易 本身包含几何信息， 于提高精度 易处理复杂网格
F nds
1 IJ
Fv nds
U IJ t
残差=净通量=右端项
Copyright Βιβλιοθήκη Baiduy Li Xinliang
8
2. 无粘通量的计算
F nds
常用方法 （流过AB边的通量）： a. 利用周围点的值，计算出(I+1/2,J)
点处的物理量； b. 利用该处的物理量，计算出流过 AB边的流通量
u U v E u q v p
VIL 1/2 VI 1/ 2 min mod(VI 1 VI , VI VI 1 ) V
R I 1/2
VI 1 1/ 2 min mod(VI 1 VI ,VI 2 VI 1 )