《概率论与数理统计》课程教学大纲

《概率论与数理统计》课程教学大纲
一、课程基本信息
二、课程教学目标
通过本课程的学习，使学生不但比较系统的掌握概率论与数理统计学的基础知识，而且使学生学到随机数学的基础研究技能，另外训练学生严密的科学思维及运用概率统计方法分析问题、解决问题的能力、为学生学习后继课打下良好的基础。

1．学好基础知识。

理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。

2．掌握基本技能。

能够根据法则、公式正确地进行运算。

能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。

能运用计算机按照一定的程序和步骤进行有关计算、查表或数据处理。

3．培养思维能力。

能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。

能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。

能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。

4．提高解决实际问题的能力。

能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。

能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。

三、教学学时分配
《概率论与数理统计》课程理论教学学时分配表
四、教学内容和教学要求
第一章概率论的基本概念（11学时）
（一）教学要求
1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；
2、理解概率、条件概率的定义，掌握概率的基本性质，会计算古典概型的概率；
3、掌握概率的加法公式，乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式；
4、理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算的方法；
5、掌握计算有关事件概率的方法。

（二）教学重点与难点
教学重点：概率的概念、概率的基本性质、古典型概率、加法公式、减法公式、乘公式、事件的独立性、独立重复试验；
教学难点：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式。

(三）教学内容
第一节样本空间与随机事件
1．随机试验与样本空间
2．随机事件及其关系和运算
第二节频率与概率
1．频率；概率的统计定义
2．概率的公理化定义；概率的性质
第三节古典概型
1．概率的古典概型及计算
第四节条件概率
1．条件概率及性质
2．乘法定理
3. 全概率公式和贝叶斯公式
第五节独立性
1．两个事件的独立性及其性质、计算
2．多个事件的独立性及其性质、计算
第六节案例分析
1. 至少两人生日在同一天
2. 对于凝难病症要进行综合检查
本章习题要点：古典概型计算、事件关系与运算、条件概率计算、乘法公式、全概率公式、Bayes公式使用与计算、独立性问题的计算
第二章随机变量及其分布（9学时）
（一）教学要求
1、理解随机变量及其概率分布的概念；
2、理解随机变量分布函数的概念及性质，会计算与随机变量有关的事件的概率；
3、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，理解独立重复试验的概率，掌握0-1分布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用；
4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系；
5、掌握正态分布，均匀分布和指数分布及其应用；
6、会求简单随机变量函数的概率分布。

（二）教学重点与难点
教学重点：离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率密度、常见随机变量的分布
教学难点：分布函数的概念及其性质、正态分布的应用、随机变量函数的分布
（三）教学内容
第一节随机变量
1．随机变量的概念
第二节离散随机变量及其分布
1．离散随机变量分布律及其性质
2．（0-1）分布
3. 伯努利实验、二项分布及泊松逼近定理
4. 泊松分布
第三节随机变量的分布函数
1．分布函数的概念和性质
2．离散随机变量分布函数的运算
第四节连续型随机变量及其概率密度
1．密度函数及其性质
2．均匀分布及其应用
3. 指数分布及其应用
4. 正态分布及其应用
第五节随机变量的函数分布
1．离散型随机变量函数的分布
2．连续型随机变量函数的分布
第六节案例分析
1. 选择题能考出真实成绩吗
2. 录取分数线及考生名次的确定
3. 公共汽车车门高度的确定
本章习题要点：离散型随机变量概率分布律及分布函数计算、连续型随机变量概率分布律及分布函数计算、泊松逼近定理应用、正态分布计算、连续型随机变量函数的分布的计算
第三章多维随机变量及其分布（8学时）
（一）教学要求
1、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布；连续型联合概率密度、边缘密度和条件
密度，会利用二维概率分布求有关事件的概率；
2、理解随机变量的独立性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的条件；
3、掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义；
4、会求两个独立随机变量的简单函数的分布，能运用分布函数法求简单二维随机变量函数的公布。

会运用各种卷积公式。

（二）教学重点与难点
教学重点：二维离散型随机变量的概率分布和边缘分布、二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度、随机变量的独立性、可加性
教学难点：分条件分布、条件密度、二维正态分布、两个及两个以上随机变量的函数分布、卷积公式
（三）教学内容
第一节二维随机变量
1.二维随机变量的定义
2.联合分布函数及其性质
3.边缘分布函数
第二节二维离散随机变量及其分布
1．二维离散随机变量联合分布律及其性质
2．二维离散随机变量的分布函数
3. 二维离散随机变量边缘分布
4. 二维离散随机变量条件分布
第三节二维连续随机变量及其分布
1．二维连续型随机变量及其联合概率密度
2．二维连续型随机变量的边缘分布
3. 二维连续型随机变量的条件分布
4. 二维均匀分布及二维正态分布
第四节相互独立的随机变量
1．随机变量的独立性
2．二维离散型随机变量的独立性
3. 二维连续型随机变量的独立性
第五节两个随机变量的函数的分布
1．离散型随机变量函数的分布
2．连续型随机变量函数的分布（和、积、极大和极小）
本章习题要点：联合、边缘和条件概率分布律或概率密度的计算、二维随机变量落在某区的概率计算、和、极大和极小分布函数、概率密度的计算
第四章随机变量的数字特征（8学时）
（一）教学要求
1、理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差，相关系数）的概念；并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征；
2、掌握常用分布的数字特征的概念意义和实际背景；
3、会根据随机变量X的概率分布求其函数的数学期望；
4、会根据随机变量X和Y的联合概率分布求其函数的数学期望；
5、掌握随机变量独立性与相关系数的相互关系；
6、掌握协方差矩阵的性质；
7、理解契比雪夫不等式。

（二）教学重点与难点
教学重点：数学期望（均值）、方差、协方差、相关系数及其性质、常用分布的数字特征、随机变量函数的数学期望
教学难点：二维随机变量的函数的数学期望、随机变量的独立性和不相关性的关系。

（三）教学内容
第一节数学期望
1．数学期望的概念和性质
2. 离散型随机变量的数学期望
3. 连续型随机变量的数学期望
4. 随机变量函数的数学期望
第二节方差
1．方差的定义和性质
2．方差的计算
3. 契比雪夫不等式
第三节协方差及相关系数
1．协方差的定义、性质和运算
2．相关系数的定义、性质和运算
第四节矩、协方差矩阵
1．矩的定义及其运算
2．协方差矩阵的定义、性质及运算
3.n维正态随机变量的性质
4. 正态分布及其应用
第五节案例分析
1.综合投资决策模型
本章习题要点：期望、方差、协方差、相关系数和矩的计算
第五章大数定律及中心极限定理（3学时）
（一）教学要求
1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律，理解依概率收敛和弱收敛的定义，并能进行判断；
2．了解独立同分布随机变量的大数定理成立的条件及结论；
3．了解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛--拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

（二）教学重点与难点
教学重点：伯努利大数定律、辛钦大数定律、独立同分布的中心极限定理
教学难点：棣莫弗-拉普拉斯定理、列维-林德伯格定理。

（三）教学内容
第一节大数定律
1．依概率收敛的定义
2. 伯努利大数定律
3. 切比雪夫大数定律
4. 辛钦大数定律
第二节中心极限定理
1．独立同分布的中心极限定理
2．棣莫佛--拉普拉斯定理
3. 李雅普诺夫定理
第三节案例分析
1.大数定律在保险中的应用
本章习题要点：独立同分布中心极限定理的应用
第六章样本及抽样分布（5学时）
（一）教学要求
1、理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本
矩的概念，掌握直方图、箱线图，了解经验分布函数；
χ分布，t分布和F分布的定义及性质，了解分位数的概
2、掌握正态分布，了解2
念并会查表计算；
3、了解正态总体的某些常用抽样的分布教学重点与难点。

（二）教学重点与难点
教学重点：总体、个体、简单随机样本、常用统计量、上侧α分位数
χ变量、t变量、F变量的典型模式、正态总体的抽样分布定理教学难点：2
（三）教学内容
第一节随机样本
1．总体与个体
2. 简单随机样本
第二节直方图、箱线图
1．直方图
2．箱线图
第三节抽样分布
1．统计量的定义及常用统计量
2．经验分布函数
χ分布，t分布和F分布
3. 2
4．正态总体的分布
第四节案例分析
1. 统计数据的整理与加工
χ分布，t分布和F分布
本章习题要点：样本容量的计算、2
第七章参数估计（10学时）
（一）教学要求
1、了解参数的点估计、估计量与估计值的概念；
2、掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法；
3、了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性：
4、掌握建立未知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间
（二）教学重点与难点
教学重点：矩估计法、最大似然估计法、单个正态总体参数的区间估计
教学难点：两个正态总体的均值差和方差比的区间估计、（0-1）分布参数的区间估计（三）教学内容
第一节点估计
1．参数的点估计、估计量与估计值的概念
2. 矩估计法
3. 最大似然估计法
第二节估计量的评选标准
1．估计量的无偏性
2．估计量的有效性（最小方差性）
3. 估计量的一致性（相合性）
第三节区间估计
1．置信区间的定义及求解方法
2．单正态总体的均值与方差的置信区间
3. 双正态总体的均值与方差的置信区间
第四节（0-1）分布参数的区间估计
1．（0-1）分布参数的区间估计
第五节单侧置信区间
1.单侧置信区间的基本概念
2.单（双）正态总体参数置信区间的计算
第六节案例分析
1. 如何预测水稻总产量
2. 如何估计湖中黑、白鱼的比例
本章习题要点：矩估计和极大似然估计法、判断或证明无偏性、置信区间的计算、单侧置信区间的计算
五、教学方法或手段
1. 教学方法：讲授法、启发式、讨论式、案例式、探究式、互动式、学导式、自学辅导式、网上助学式和合作式学习方式。

2. 教学手段：多媒体、MOOC示范项目等。

六、考核方式及评价要求
课程教学严格按照理论课程教学大纲、实验课程教学大纲课程教学进程安排进行日常教学，采取课堂讲授、课堂讨论、课外自主实践等多种形式完成教学任务。

课程总评成绩由以下四部分构成，各部分分数分布情况如下：
1.平时分（20%）：包括课堂测验、平时课堂出勤率、作业及笔记情况情况等
2.期中测验等（20%）：平时小测验、期中测验等
3.期末理论考试（60%）：闭卷考试
七、教材及教学主要参考书
推荐教材：
《概率论与数理统计》，盛骤谢式千潘承毅主编，高等教育出版社，2012年12月第4版。

参考书目：
1. 盛骤谢式千潘承毅编.概率论与数理统计.第四版.高等教育出版社.2012年
2. 峁诗松等编.概率论与数理统计教程.第四版.高等教育出版社.2011年
3. 周国利等编.概率论与数理统计教程.第三版.南京大学出版社.2014年。