高二数学复习讲义二

高二数学复习讲义（2）

——《圆锥曲线与方程》<知识点>

1．椭圆的性质

2．双曲线的性质

3．抛物线中的常用结论

①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件

是y1y2＝－p2

③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是

直线AB恒过定点(2p，0)

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，

是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．

4．直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离

c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性

(2).a.求弦所在的直线方程

b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所

在的直线方程

(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或

者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）

5．二次曲线在高考中的应用

二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。

(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。

(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

<练习题>

一、填空题

1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是________．

2．(椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆方程为________．

3．以双曲线x 29－y 2

16

＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是

________．

4．双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，若P 为双曲线上任意

一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围为________．

5．若双曲线x 2m －y 2

n

＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x

的焦点重合，则mn 的值为________．

6．设A 、B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，OA ⊥OB ，A 点的横坐标是－1，则B 点的横坐标为________．

7．已知双曲线的方程是x 28－y 29

＝1，则以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的

标准方程是________，抛物线的准线方程是________．

8．方程x 2m 2＋

y 2

m －12

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围

是________．

9．若双曲线x 2

4＋y 2

k ＝1(k ≠0)的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是

________．

10．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2

b

＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点

F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是________．

11．设P 是双曲线x 2a 2－y 2

9

＝1上一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －2y

＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则△F 1PF 2的周长为________．

12．点P 是椭圆x 225

＋y

216

＝1上一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，△PF 1F 2的

内切圆半径为3

2

，则当点P 在x 轴上方时，点P 的纵坐标为________．

13．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C .若CB →＝2BF →，则直线AB 的斜率为________． 14．过原点的直线与椭圆x 28＋y 2

4

＝1交于A ，B 两点，F 1，F 2为椭圆的焦点，

则四边形AF 1BF 2的面积的最大值是________．

二、解答题(．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M 、N

两点，MN 中点的横坐标为－2

3

，求此双曲线的方程．

16．椭圆x 216＋y 2

9

＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交于A ，B

两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．

17．抛物线y ＝－x 2

2

与过点M (0，－1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直

线OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．

18．已知椭圆的两个焦点分别为F 1(0，－22)，F 2(0,22)，离心率e ＝22

3

.

(1)求椭圆方程；

(2)一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的中点的横

坐标为－1

2，求直线l 的倾斜角的取值范围．