海南中学数学几何模型压轴题单元测试卷 (word版,含解析)

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海南中学数学几何模型压轴题单元测试卷 (word 版,含解析)

一、初三数学 旋转易错题压轴题(难)

1.已知:如图①,在矩形ABCD 中,AB =5,203

AD =

,AE ⊥BD ,垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点,连接AF 、BF .

(1)求AE 和BE 的长; (2)若将△ABF 沿着射线BD 方向平移,设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度).当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时,求出相应的m 的值; (3)如图②,将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的ABF 为A BF '',在旋转过程中,设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ,与直线BD 交于点Q ,若△DPQ 为等腰三角形,请直接写出此时DQ 的长.

【答案】(1)4;3 (2)3或

163 (3)2512525310103243-、、103 【解析】

【分析】

(1)由矩形的性质,利用勾股定理求解BD 的长,由等面积法求解AE ,由勾股定理求解BE 即可,

(2)利用对称与平移的性质得到:AB ∥A′B′,∠4=∠1,BF =B′F′=3.当点F′落在AB 上时,证明BB′=B′F′即可得到答案,当点F′落在AD 上时,证明△B′F′D 为等腰三角形,从而可得答案,

(3)分4种情况讨论:①如答图3﹣1所示,点Q 落在BD 延长线上,证明A′Q =A′B ,利用勾股定理求解',,F Q BQ 从而求解DQ ,②如答图3﹣2所示,点Q 落在BD 上,证明点A′落在BC 边上,利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案,③如答图3﹣3所示,点Q 落在BD 上,证明∠A′QB =∠A′BQ ,利用勾股定理求解,BQ ,从而可得答案,④如答图3﹣4所示,点Q 落在BD 上,证明BQ =BA′,从而可得答案.

【详解】 解:(1)在Rt △ABD 中,AB =5,203AD =, 由勾股定理得:222025533BD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭

. 11,22

ABD S BD AE AB AD =⋅=⋅.

25

3

20

5

3 4.

AB AD

AE

BD

∴===

在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,

由勾股定理得:BE=3.

(2)设平移中的三角形为△A′B′F′,如答图2所示:

由对称的性质可知,∠1=∠2.

由平移性质可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.

①当点F′落在AB上时,

∵AB∥A′B′,

∴∠3=∠4,

∴∠3=∠2,

∴BB′=B′F′=3,即m=3;

②当点F′落在AD上时,

∵AB∥A′B′,∴∠6=∠2,

∵∠1=∠2,∠5=∠1,∴∠5=∠6,

,

AB AD

∴A′B′⊥AD,

'''',

B F D B DF

∴∠=∠

∴△B′F′D为等腰三角形,

∴B′D=B′F′=3,

2516

3

33

BB BD B D

''

∴=-=-=,即

16

3

m=.

(3)DQ的长度分别为

2512525

31010

3243

、、或

10

3

.在旋转过程中,等腰△DPQ依次有以下4种情形:

①如答图3﹣1所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ,∴∠2=2∠Q,

∵∠1=∠3+∠Q ,∠1=∠2,

∴∠3=∠Q ,

∴A′Q =A′B =5,

∴F′Q =F′A′+A′Q =4+5=9.

在Rt △BF′Q 中,由勾股定理得:222293310BQ F Q F B ''=+=+=.

253103

DQ BQ BD ∴=-=-; ②如答图3﹣2所示,点Q 落在BD 上,且PQ =DQ ,∴∠2=∠P ,

∵∠1=∠2,∴∠1=∠P ,∴BA′∥PD ,

∵PD ∥BC ,∴此时点A′落在BC 边上.

∵∠3=∠2,∴∠3=∠1,

∴BQ =A′Q ,∴F′Q =F′A′﹣A′Q =4﹣BQ .

在Rt △BQF′中,由勾股定理得:'2'22,BF F Q BQ +=

即:2223(4),BQ BQ +-= 解得:258

BQ =, 25251253824

DQ BD BQ ∴=-=-=; ③如答图3﹣3所示,点Q 落在BD 上,且PD =DQ ,

∴ ∠3=∠4.

∵∠2+∠3+∠4=180°,∠3=∠4,149022∴∠︒

∠=﹣. ∵∠1=∠2,149012

∴∠=︒-∠. 149012

A Q

B ∴∠'∠︒∠==﹣, 118019012

A BQ A Q

B ∴∠'︒∠'∠︒∠=﹣﹣=﹣, ∴∠A′QB =∠A′BQ ,∴A′Q =A′B =5,

∴F′Q =A′Q ﹣A′F′=5﹣4=1.

在Rt △BF′Q 中,由勾股定理得:223110BQ =+=,

25103

DQ BD BQ ∴=-=-; ④如答图3﹣4所示,点Q 落在BD 上,且PQ =PD ,

∴ ∠2=∠3.

∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3,

∴∠1=∠4,

∴BQ =BA′=5,

2510533

DQ BD BQ ∴=-=-=. 综上所述,DQ 的长度分别为2512525310103243

--、、或103.

【点睛】

本题是几何变换压轴题,涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识

点.第(3)问难度很大,解题关键是画出各种旋转图形,依题意进行分类讨论;在计算过程中,注意识别旋转过程中的不变量,注意利用等腰三角形的性质简化计算.

2.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点(与点A 、B 、C 不重合),且始终保持BP BQ =,AQ QE ⊥,QE 交正方形外角平分线CE 于点E ,AE 交CD 于点F ,连结PQ .

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