海南中学数学几何模型压轴题单元测试卷 (word版,含解析)
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海南中学数学几何模型压轴题单元测试卷 (word 版,含解析)
一、初三数学 旋转易错题压轴题(难)
1.已知:如图①,在矩形ABCD 中,AB =5,203
AD =
,AE ⊥BD ,垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点,连接AF 、BF .
(1)求AE 和BE 的长; (2)若将△ABF 沿着射线BD 方向平移,设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度).当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时,求出相应的m 的值; (3)如图②,将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的ABF 为A BF '',在旋转过程中,设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ,与直线BD 交于点Q ,若△DPQ 为等腰三角形,请直接写出此时DQ 的长.
【答案】(1)4;3 (2)3或
163 (3)2512525310103243-、、103 【解析】
【分析】
(1)由矩形的性质,利用勾股定理求解BD 的长,由等面积法求解AE ,由勾股定理求解BE 即可,
(2)利用对称与平移的性质得到:AB ∥A′B′,∠4=∠1,BF =B′F′=3.当点F′落在AB 上时,证明BB′=B′F′即可得到答案,当点F′落在AD 上时,证明△B′F′D 为等腰三角形,从而可得答案,
(3)分4种情况讨论:①如答图3﹣1所示,点Q 落在BD 延长线上,证明A′Q =A′B ,利用勾股定理求解',,F Q BQ 从而求解DQ ,②如答图3﹣2所示,点Q 落在BD 上,证明点A′落在BC 边上,利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案,③如答图3﹣3所示,点Q 落在BD 上,证明∠A′QB =∠A′BQ ,利用勾股定理求解,BQ ,从而可得答案,④如答图3﹣4所示,点Q 落在BD 上,证明BQ =BA′,从而可得答案.
【详解】 解:(1)在Rt △ABD 中,AB =5,203AD =, 由勾股定理得:222025533BD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
. 11,22
ABD S BD AE AB AD =⋅=⋅.
25
3
20
5
3 4.
AB AD
AE
BD
⨯
⋅
∴===
在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,
由勾股定理得:BE=3.
(2)设平移中的三角形为△A′B′F′,如答图2所示:
由对称的性质可知,∠1=∠2.
由平移性质可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.
①当点F′落在AB上时,
∵AB∥A′B′,
∴∠3=∠4,
∴∠3=∠2,
∴BB′=B′F′=3,即m=3;
②当点F′落在AD上时,
∵AB∥A′B′,∴∠6=∠2,
∵∠1=∠2,∠5=∠1,∴∠5=∠6,
,
AB AD
⊥
∴A′B′⊥AD,
'''',
B F D B DF
∴∠=∠
∴△B′F′D为等腰三角形,
∴B′D=B′F′=3,
2516
3
33
BB BD B D
''
∴=-=-=,即
16
3
m=.
(3)DQ的长度分别为
2512525
31010
3243
、、或
10
3
.在旋转过程中,等腰△DPQ依次有以下4种情形:
①如答图3﹣1所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ,∴∠2=2∠Q,
∵∠1=∠3+∠Q ,∠1=∠2,
∴∠3=∠Q ,
∴A′Q =A′B =5,
∴F′Q =F′A′+A′Q =4+5=9.
在Rt △BF′Q 中,由勾股定理得:222293310BQ F Q F B ''=+=+=.
253103
DQ BQ BD ∴=-=-; ②如答图3﹣2所示,点Q 落在BD 上,且PQ =DQ ,∴∠2=∠P ,
∵∠1=∠2,∴∠1=∠P ,∴BA′∥PD ,
∵PD ∥BC ,∴此时点A′落在BC 边上.
∵∠3=∠2,∴∠3=∠1,
∴BQ =A′Q ,∴F′Q =F′A′﹣A′Q =4﹣BQ .
在Rt △BQF′中,由勾股定理得:'2'22,BF F Q BQ +=
即:2223(4),BQ BQ +-= 解得:258
BQ =, 25251253824
DQ BD BQ ∴=-=-=; ③如答图3﹣3所示,点Q 落在BD 上,且PD =DQ ,
∴ ∠3=∠4.
∵∠2+∠3+∠4=180°,∠3=∠4,149022∴∠︒
∠=﹣. ∵∠1=∠2,149012
∴∠=︒-∠. 149012
A Q
B ∴∠'∠︒∠==﹣, 118019012
A BQ A Q
B ∴∠'︒∠'∠︒∠=﹣﹣=﹣, ∴∠A′QB =∠A′BQ ,∴A′Q =A′B =5,
∴F′Q =A′Q ﹣A′F′=5﹣4=1.
在Rt △BF′Q 中,由勾股定理得:223110BQ =+=,
25103
DQ BD BQ ∴=-=-; ④如答图3﹣4所示,点Q 落在BD 上,且PQ =PD ,
∴ ∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴BQ =BA′=5,
2510533
DQ BD BQ ∴=-=-=. 综上所述,DQ 的长度分别为2512525310103243
--、、或103.
【点睛】
本题是几何变换压轴题,涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识
点.第(3)问难度很大,解题关键是画出各种旋转图形,依题意进行分类讨论;在计算过程中,注意识别旋转过程中的不变量,注意利用等腰三角形的性质简化计算.
2.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点(与点A 、B 、C 不重合),且始终保持BP BQ =,AQ QE ⊥,QE 交正方形外角平分线CE 于点E ,AE 交CD 于点F ,连结PQ .