用数学归纳法证明命题的基本步骤是

的乘积 a1 a2 , an 1 那么它们的和 a1 a2 . an nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4、在从n=k到n=k+1的推证过程中，要注 意项的增减变化，以及对式子进行灵活变形， 凑出 “归纳假设”的结论。
基础练习：
1、已知
f
(n)
1
1 2
1 3
1 2n
1
(n
N
)
则当n=1时，f (n)
；
则当n=k+1时，
f (k 1) f (k)
。
基础练习：
2、在用数学归纳法证明
1 1 1 1 1 1 1
求证：an
3n 1 2
【例3】用数学归纳法证明:
n3 5n (n N )能够被6整除.
【练习】用数学归纳法证明:
n2 n (n N ) 能够被2整除.
【例4】用数学归纳法证明:
x2n y2n (n N )能够被 x 整y除.
【练习】用数学归纳法证明:
34n2 52n1(n N )能够被14整除.
2、第一步证明中的初始值一定是使命题成 立的可取的最小的值，具体是多少要视具 体情况而定，并不一定都取1。
注意：
3、用数学归纳法证明命题时，关键在第二 步，即在“假设n=k时，命题成立”的前 提下，推出 “n=k+1时，命题成立”，在 推证过程中，必须用到“归纳假设”的结 论，否则这个证明则不是数学归纳法。
【例1】用数学归纳法证明：
12＋22＋32＋ ＋n2 n(n 1)(2n 1) 6
【练习】用数学归纳法证明：
1 4＋27＋ ＋n (3n 1) n(n 1)2
【例2】已知数列{an满}足 Sn 2，n an
求证：an
2
1 2n1
【练习】已知数列 {a满n }足：
a1 1, an an1 3n1(n 2)
234
2n 1 2n n 1
1 1
n2
2n
过程中，当n=1时，
左式=
；
右式=
。
基础练习：
3、已知 f
(n)
1 n 1
1 n
2
1 2n
(n N )
则当n=1时，f (n)
；
则当n=k+1时，
f (k 1) f (k)
。
数学归纳法的应用：
1、证明恒等式； 2、证明数列问题； 3、证明整除问题； 4、证明几何问题； 5、证明不等式。
【例5】平面上有n(n N , n个点3,)
其中任何三点不共线,过这些点中任意两
点作直线,这样的直线的条数记为 f (,n)
求证: f (n) n.(n 1) 2
【练习】平面内有n条直线，其中任意两
条都相交，任意三条不共点，证明:这n条
直线被分成 n2 n段 .2 2
【例6】用数学归纳法证明:
n2 2n (n N , n 5)
【例7】用数学归纳法证明:
| sin n | n | sin | (n N )
【例8】用数学归纳法证明:
(1 x)n 1 nx (x R, x 1, x 0, n N, n 2)
此不等式称为贝努利不等式.
【例9】证明:如果n(n为正整数)个正数
用数学归纳法证明命题的基本步骤是：
(1)证明当n取第一个初始值 n时0 ，命题正确.
(2)假设当n=k(k N且k时,n结0)论正确，证明 n=k+1结论也正确.
在完成这两个步骤后，就可断定命题对从
n=n0开始的所有的自然数n都正确.
注意：
1、用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺 一不可。第一步证明了n取初始值成立，第 二步证明了一个递推关系成立。