第三章 恒定电场

第三章 恒定电场

习题3.1

已知球形电容器的内外半径分别为R 1、R 2，中间的非理想介质的电导率为γ，已知内外导体间的电压为U 0，求非理想介质中各点的电位与电场强度。

2

R 1

R γ

U 0

图3.1

题意分析

电容器采用非理想介质，介质中存在漏电流，根据欧姆定律的微分形式J E γ=可知，在非理想介质中存在一个恒定电场。由于系统具有球对称性，电流密度沿径向方向，且只与r 坐标有关，因此可以假设一个电流，求得介质中的电流密度J 与电场强度E ，根据内外导体间的边界条件，可以解得假设的电流。 解：

选用球坐标系，坐标原点位于球心。

设两导体球之间的漏电流为I ，由于系统具有球对称性，电流密度J 沿径向，且只与r 有关，因此可得 2

4r I J e r π=

（1）

2

/4r

I E J e r γπγ==

（2）

以外导体球的电位零电位，则非理想介质内任一点的电位

212

2

)1

1(44)(2R R R R r I

dr r

I r R r

≤≤-==⎰

πγπγϕ

（3）

根据已知的内外导体球之间的电压为0U ，可得

)1

1(

442

12

022

1

R R I

dr r

I r d E U R r

R R -==⋅=⎰

⎰

πγπγ

（4）

因此 210

21

4R RU I R R πγ=

-

所以非理想介质中的电位为：

21012212

11()() R RU r R R R R R r R ϕ=

-≤≤- （5）

电场强度为： 210

2

21()r R RU E e R R r =

-

（6）

习题3.2

有两块不同电导率的薄钢片构成一导电弧片，如图 3.2所示，若71 6.510S/m γ=⨯，

72 1.210S/m γ=⨯。R 2=45cm ，R 1=30cm ，厚度为2mm ，电极间电压U =30V ，且γ电极>>γ1 。

1

γ2

γ4

π

4

π

1

R 2

R

图3.2

求:

（1）弧片内的电位分布（设x 轴上的电极电位为零）；

（2）总电流I 和弧片的内电阻R ；

（3）在分界面上D 、J 、E 是否发生突变； （4）分界面上的电荷面密度。 分析题意：

环形均匀薄钢片上施加了30V 的恒定电压，将在其中产生恒定电场，流过分布仅与环形均匀薄钢片半径r 相关的恒定电流，设定圆柱坐标系，则环形薄钢片上的电位仅与角度坐标ϕ相关。计算恒定电场的方法有2种： （1）利用恒定电场的边值问题进行求解。 目标场的求解区域为： 12,02

R R π

ρφ≤≤≤≤

（2）假定环形均匀薄钢片上的电流I ，根据欧姆定律的微分形式得出电场强度E ，结合导电媒质分界面条件，计算边界电位，根据已知边界电位条件计算出电流I ，从而得出电场强度E 与ϕ的分布。

解：坐标系的选用：考虑到J 是沿着e φ的方向，E 也是沿着e φ的方向。因此选用圆柱坐标系，z 轴正方向为垂直于纸面向外的。建立如图3.3所示的坐标系。

1

γ2

γ4

π

4

π

O

1

R 2

R e φ

e ρ

图3.3

因为γ电极>>γ1，电极表面可以视为等位面，由对称性分析，电流密度J 是沿着e φ方向，即垂直于电极表面，而等位线垂直于E 线（及J 线），因此只与坐标φ有关，而与坐标ρ无关。

方法一：

（1）计算电位。将系统分为两个均匀的导电媒质区域，其边值问题为：

22

111222

22

2212

2212

20124

4

1

21

2

4

4

10 (,)42

10 (,0)4

0R R R R U

πφφππ

φφπ

π

φφϕππ

ϕρφρφϕπϕρφρφϕϕϕϕϕϕγγφ

φ

=====

=

∂∇==<<<<∂∂∇==<<<<∂===∂∂=∂∂

（1）

方程（1）的通解形式为：

112

234

C C C C ϕφϕφ=+=+

（2）

利用边界条件，可计算得到系数分别为：

2

1124 5.95()U C γπγγ=

=+

（3）

12212()

20.65()

U C γγγγ-=

=+

（4）

3

312432.26()

U C γπγγ=

=+

（5）

40C =

（6）

因此可得弧片内的电位分为：

12 5.9520.65 V

32.26 V

ϕφϕφ=+=

（7）

（2）计算电流与电阻

根据导电媒质没界面的衔接条件

12n n J J =

（8）

因为J 只有法向分量，因此令12J J J ==