第一章 集合与函数的概念 章末复习【教师版】

高中数学必修1

第一章集合与函数的概念章末复习

考点一集合知识的综合应用

例1已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}.

(1)若(∁R A)∪B＝R，求a的取值范围；

(2)是否存在a使(∁R A)∪B＝R且A∩B＝∅？

考点交并补集的综合问题

题点与交并补集运算有关的参数问题

解(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，

∴∁R A＝{x|x<0或x>2}.

∵(∁R A)∪B＝R，(如图)

a≤0，

∴－1≤a≤0.即a的取值范围是[－1,0].

a＋3≥2，

(2)由(1)知当(∁R A)∪B＝R时，

－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，

则A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾.

即这样的a不存在.

反思感悟借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反.跟踪训练1已知全集U＝{x||x|≤5}，集合A＝{x|－2＜x＜1}，集合B＝{x|－3＜x≤3}，求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.

考点交并补集的综合问题

题点无限集合的交并补运算

解由题意知U＝{x|－5≤x≤5}，把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来.如图，

所以∁U A＝{x|－5≤x≤－2或1≤x≤5}，

A∩B＝{x|－2＜x＜1}，

∁U(A∩B)＝{x|－5≤x≤－2或1≤x≤5}，

(∁U A)∩B＝{x|－3＜x≤－2或1≤x≤3}.

考点二抽象函数的单调性与奇偶性问题

命题角度1抽象函数的奇偶性的判断

例2若定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，求证：f(x)＋1为奇函数.

证明令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)＋1，

所以f(0)＝－1，

令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，

即－1＝f(x)＋f(－x)＋1，

所以f(x)＋1＝－f(－x)－1

＝－[f(－x)＋1]，所以f(x)＋1为奇函数.

反思感悟抽象函数奇偶性的判断，关键是通过赋值探究f(x)与f(－x)的关系.

跟踪训练2已知函数f(x)不为0，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y).

求证：f(x)是偶函数.

证明令x＝y＝0，

则f(0)＋f(0)＝2f(0)·f(0)，

又f(0)≠0，

∴f(0)＝1.

令x＝0，y∈R，

则f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y)，

∴f(y)＝f(－y)，

∴f(x)是偶函数.

命题角度2抽象函数的单调性的判断

例3已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f f(x)－f(y)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性.

解(1)令y＝x，

则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.

>1，

(2)设x1，x2∈(0，＋∞)且x1

x1

∴f，

∴f f(x2)－f(x1)<0，

∴f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数.

反思感悟抽象函数单调性的判断，是根据条件合理赋值，转化成函数单调性定义的形式.其关键是合理赋值.

跟踪训练3设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.

(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值与最小值.

(1)证明令x＝y＝0，

则f(0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0.

令y＝－x，

则f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＝－f(－x)，

∴f (x )是奇函数.

(2)解设x 1，x 2∈R 且x 1

则x 2－x 1>0，

∴f (x 2－x 1)<0.

令x ＝x 2，y ＝－x 1，

则f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)

＝f (x 2)－f (x 1)<0，

∴f (x 1)>f (x 2)，

∴f (x )是R 上的单调减函数，

∴f (x )max ＝f (－3)＝－f (3)＝－3f (1)＝6，

f (x )min ＝f (3)＝－f (－3)＝－6.

考点三

函数性质的综合应用例4已知函数f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若对于任意的m ，n ∈[－1,1]有f (m )＋f (n )m ＋n

>0.(1)判断函数的单调性(不要求证明)；

(2)解不等式

f

f (1－x )；

(3)若f (x )≤－2at ＋2对于任意的x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围.

考点

函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用题点奇偶性、单调性及最值的综合问题

解(1)函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数.

(2)由(1)知函数f (x )在区间[

－1,1]上是增函数，

由f

f (1－x )，

1≤x ＋12

≤1，1≤1－x ≤1，

＋12

<1－x ，解得0≤x <

14

.所以不等式f

f (1－x )

|0≤x <1

4(3)因为函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数，且f (1)＝1，

要使得对于任意的x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]都有f (x )≤－2at ＋2恒成立，只需对任意的a ∈[－1,1]，－2at ＋2≥1恒成立.

令y ＝－2at ＋1，此时y 可以看作a 的一次函数，且在a ∈[－1,1]时，y ≥0恒成立.