第六章、数学公理化方法

§5.3 使用RMI方法的条件

从前述各例，我们可以归纳出正确使用RMI方法的条件。

（1）映射ϕ须是两类数学对象之间的一一对应关系；

（2）所采用的映射ϕ须是可定映的，即目标映象能通过确定的有限多个数学手续从映象关系结构系统中寻求出来；

ϕ必须具有能行性，即通过目标映象能将目标原象的某种（3）相对的逆映射（反演）-1

需

要的性态经过有限步骤确定下来。

以上几点也从另一角度说明，RMI方法并非是处处适应的万能法则。

正确有效地应用RMI方法的关键显然在于引进合乎要求的映射，这就要求使用者在如下方面去努力：一是理解原象关系结构系统的能力；二是抽象分析的能力；三是运用数学手段的能力；四是掌握常用的方法与变换的能力；五是寻求反演公式与手段的能力。

ϕ的可定映射ϕ，谁数学史的发展表明，谁能巧妙地引进非常有效且具有能行性反演-1

就对数学的发展作出贡献。反之，正因数学自身的发展（特别是它的现代发展），不断产生了一些新的重要的映射工具，也就为RMI方法的运用展示了更广阔的前景。

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第六章数学公理化方法

数学公理化方法是一种演绎的方法，当一个理论体系达到充分发展，需要以演绎的形式来表达它的基本范畴之间，原理、原则之间的关系，形成逐渐演进和发展时，公理化方法是最为有力的手段。可以说，它对各门数学分支学科都产生着巨大的影响，即使在数学教育中，也起着重要的作用。

§6.1数学公理化方法的意义

所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公理、公社）出发，按照逻辑规则推到出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。

数学发展的历史有力地表明公理化方法在数学方法中有着重要的意义。我们可以归纳出如下几点：

1．总结性：恩格斯说：“数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。”这种方法将数学知识的概念、命题的形式进行了分析和总结，凡是得了公理化结构形式的数学，均可在已形成的逻辑关联中去使用。这不仅使其运用很方便，同时也促进了数学理论的发展。如概率论开始形成时，实践性很强，后来公理化了，理论就大大提高了一步；法国布尔巴基学派在三大结构基础上，建立了各种各样的公理化体系，对促进数学发展起了极大地作用。

在近、现代，由于在各门数学中广泛采用公理化方法。形成了一批有影响的具有一定权威性的数学专著。如代数学中的范德瓦尔登所著

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《近世代数》（1930—1931年德文版，1948年英文版），作者在序言中认为，近世代数的扩大主要是由于公理化方法，应用此方法“产生了一系列新的概念，揭露了至今还未发现的内部联系，并且得到了许多有深远意义的成果，特别是在域论、理想数论、群论和结合代数方面”；在拓扑学中，如西尔品斯基《拓扑学》（1952年英文版），作者认为，用公理发研究拓扑学，除了叙述简洁之外，还可以培养抽象思维和逻辑证明的能力。因此，作者从弗雷舍（Frechet）空间出发得出其它具有更进一步规定的空间，然后逐步引入新的公理。这种方法类似于几何学中，从绝对几何出发，来逐步引入新的公理的方法；在集合论中，如贝尔奈斯和弗兰克尔的《公理集合论》，作者为消除集合论悖论，采用公理来限制集合概念，提出了现代的公理集合论系统——集合论的形成系统。弗兰克尔称：“几乎所有数学和逻辑的分支与某些物理学以及其它科学的分支，从20世纪开始，都经过了公理方法的分析研究”；还有数学分析中迪多内的《现代分析基础》（1960年英文版，1964年俄译本），作者在序言中就提出，该书的目的之一，就是要使读者熟练使用当代最基本的数学方法——公理化方法。因此，该书的一个显著特点就是严格地按照公理化方法，系统地使用向量空间概念，从集合论、实数理论开始，引申出度量空间、正规空间和希尔伯特空间等更一般的观点。

2．示范性：这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的鉴作用。例如，本世纪40年代波兰的巴拿赫曾完成了理论力学的公理化。物理学家还把相对论表述为公理化形式等等。因此，它在科学方法论上有示范作用和普遍意义，诚如希尔伯特所说：“任何能成为科学思想追索的对象，一旦理论上成熟，就会处于公理方法的主宰之下，因而就间接地处在数学的主宰之下。

在17世纪，牛顿不是把他之前众多物理学家（如哥白尼，伽利略、开普勒等）研究的力学知识看成互不关联的经验知识，而是采用欧几里得的公理方法把力学定理组成一个有机的整体，把它们排列成逻辑的体系，从少数几条公理（牛顿三大运动定律）出发，按照数学的逻辑推理把力学定律逐个地必然地引申出来。如下是欧几里得的《几何原本》与

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牛顿的《自然哲学的数学原理》的逻辑结构比较，读者不难看出它们的异曲同工之处。

《几何原本》

（1）从一些概念的定义开始：

定义1点没有部分。

定义2 线有长度没有宽度。

定义3线的界限是点。

定义4直线是这样的线，它对于它的所有各个点都有同样的位置。

定义5面只有长度和宽度。

……

（2）引进公社和公理，即不加证明而采用的命题：

公社Ⅰ从每个点到每个别的点必定可以引直线。

公社Ⅱ每条直线都可以无限延长。

……

公理Ⅰ等于同量的量相等。

公理Ⅱ等量加等量得到等量。

……

（3）根据公社和公理进行证明：

定理1……

《自然哲学的数学原理》

定义1物质的量是用它的密度和体积一起来量度的。

定义2运动的量是用它的速度和质量一起来

定义3 ……

定义4外加力是一种为了改变一个物体的静止或等速直线运动状态而加于其上的作用力。

规律1每个物体继续保持其静止或沿一直线作等速运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。

规律2运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在所加的力的那个直线方向上。

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规律3每一个作用力总是有一个相等的反作用和它相对抗。

定理1……

3．简洁性：由极少量的原始定义和公理，可以演绎出内容浩繁的理论体系，从此意义上看，只有用公理法才能把握住庞大理论体系的“脉搏”。早在300多年前，牛顿就由衷赞曰：“几何的辉煌之处就在于只用很少的公理而能得到如此之多的结果。”

4．系统性：由于公理方法是靠逻辑演绎形成的，故由它处理的数学知识成为一个有序理论体系，这种系统性形成了一定的知识结果，促进了知识的运用与发展。

5．可比较性：公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促进和推动理论的创立。

§6.2 数学公理化方法的产生与发展

公理化方法的历史，大致可分五个阶段，即：公理化方法的萌芽阶段、实质公理化的产生阶段、潜形式公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段。

一、公理化方法的萌芽——亚里士多德三段论体系

公理化方法是从数学和逻辑学的发展中产生的。

早在公元前7世纪，爱奥尼亚学派的创始人哲学家泰勒斯的学生，古希腊的毕达哥拉斯（公元前585—497年）及其门徒继承并发展了其老师的证明思想，开创了把几何学作为证明的演绎科学来进行研究得方向。古希腊的欧多克斯（公元前408—355年）处理不可公度比时，建立了以公理为依据的演绎法，至此，古希腊人已清楚地认识到这一点，公理本身可以无须证明，重要的是根据所选取的公理按演绎法作出推理。显然这是公理思想的萌芽。

大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里士多德(公元前384—322年)总结了古代积累起来的逻辑知识，在其专事探讨演绎证明理论的巨著《分析篇》①中，以演绎证明的科学（主要是数学）为实例，把完全三段论作为公理，在历史上提出了第一个公理体系——三段论体系，这就为公理方法的产生奠定了基础。

二、实质公理化方法的产生——欧几里得几何公理体系