函数值域求法大全

e 1 例3 求函数y x e 1
x
的值域.
解：变形可得
1 y ( y 1)e 1 y, y 1, e 0 1 y y＋1 即 0 ( y 1)( y 1) 0, 故－1<y<1. y-1
x x
∴函数的值域为(-1,1)。
例5 求下列函数的值域：
B(-3,2) P
o
x A1(1,-3)
≥ 0,
注意到y2>0得y2-4≤0
即有√2≤y≤2, ∴y∈[√2,2].
即0<y2≤4而y2-2≥0
(2)解：由y x 3 5 x 得定义域为x [3， 5] y x - 3在[3， 5]上是单调增函数 y 5 - x 在[3， 5]上也是单调增函数 y x -3 5 x 在[3， 5]上是单调增函数
1 当2 y 1 0即 y 时, 代入方程， 2 1 1 左边 3 1 0故 y 2 2
1 当2 y 1 0即y 时，因x R，必有 2 2 （2 y 1） （ 4 2 y 1）（3 y 1） 0
3 1 得： y 10 2 3 1 综上所述，原函数的值域为y [ ， ） 10 2
A(1,3)
o
x A1(1,-3)
如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3) 连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求， 可证明 2 2 PA PB BA1 最小， BA1 (1 3) (3 2) 41.
y A(1,3)
所以原函数值域 的为 y∈[√41,+∞).
当x 3时，y min 2 当x 5时，y max 2 故原函数的值域为 y [ 2 , 2 ]
例6 求下列函数的值域：
(1)
y2
x2 2 x
;
(2)
y log 1 ( x 2 x 1).
2 2
分析：求复合函数的值域，利用函数的单调性 采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函 数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注 意内层函数的定义域的取值范围。
解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈ 〔-1,+∞),则y=2u≧2-1=1/2； 故值域是y ∈〔1/2,+∞).
2 2 (2)令u=-x +2x+1=-(x-1) +2≦2,
且u>0, 故y=log1/2u的定义域为（0，2]上的 减函数， 即原函数值域的为y ∈〔-1,+∞)。
求函数值域方法很多，常用方法有：
（1） 配方法 （3）判别式法
（2） 换元法
（4）不等式法 （5）反函数法、 （6）图像法（数形结合法） （7）函数的单调性法(导数） （8）均值不等式法
这些方法分别具有极强的针对性，每一种方 法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值 域的方法，下面就常见问题进行总结。
分析：本题是求二次函数在区间上的值 域问题，可用配方法或图像法求解。
y
1 例1 求函数 y x x (1 x 1)的值域。 2
2
1 2 3 解：y ( x ) , x 1,1 , 2 4 1 3 3 x= ，ymin , x 1, ymax , 2 4 2
-1
3/2 o 1/2 1 -3/4
如图， ∴y∈[-3/4,3/2].
xБайду номын сангаас
例2 求函数
x x 1 y= 2 的值域。 2x 2x 3
2
分析：函数是分式函数且都含有 二次项，可用判别式和单调性法 求解。
x x1 例2求函数y 的值域 2 2x 2x 3
2
解法1：由函数知定义域为 R，则变形可得： (2 y 1) x 2 (2 y 1) x (3 y 1) 0
例11
求函数
y=√x2-2x+10+√x2+6x+13的值域。
y
分析：本题求函数 的值域可用解析几 何与数形结合法解 之。
A(1,3) B(-3,2) x A1(1,-3)
P
o
解：函数变形为 y=√(x-1)2+(0-3)2+√(x+3)2+(0-2)2.
y
将上式可看成为x轴上点P(x,0) 与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。B(-3,2) 即在x轴上求作一点P与两定点 P A,B的距离之和的最值，利用解 析几何的方法可求其最小值。
(1) y 5 x 3 x 1;
分析：带有根式的函数，本身求值 域较难，可考虑用换元法将其变形， 换元适当，事半功倍。
例5 求下列函数的值域：
(1) y 5 x 3 x 1;
解：（1）令t= 3x-1 0,有
1 2 1 3 2 65 于是y=5- (t +1)+t=- (t- ) + , 3 3 2 12
3 65 65 t ymax , 故y ( , ] 2, 12 12
1 2 x= (t +1), 3
例7 求下列函数的值域：
(1) y (2) y
x 3 5 x x 3 5 x
分析：本题求值域看似简单，其实有 其技巧性，变形适当事半功倍。 (1)可用配方法或判别式法求解; （2）可用单调有界性解之。
例7 求下列函数的值域：
(1) y
x 3
5 x
解法1：不难看出y≥0,且可得定 义域为3≤x≤ 5,原函数变形为：
解法2：(判别式法).
两边平方移项得:y2-2=2√(x-3)(5-x),
再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≥ 0,
y看成常数,方程有实根的条件是 △ =162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4)