高中数学：第三章 直线与方程 (30)

课时跟踪检测（二十） 点到直线的距离、两平行线间的距离

A 级——学考水平达标

1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53 C ．1

D.22

解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×(－1)－2|02＋32

＝5

3，选B.

2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3

D ．0或3

4

解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|

m 2＋1＝3，解得m

＝0或m ＝3

4

，选D.

3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5

D ．6

解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝1

2

|AB |·h .|AB |＝

(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －3

1－3＝x －1

3－1，即x ＋y －4

＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×5

2

＝5.

4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为5

5

，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)

D ．(1,1)

解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2

＝5

5，

整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.

5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A.42

3

B.823 C ．4 2

D ．2 2

解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a (a －2)－3＝0，

2a －6(a －2)≠0，

解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的

方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋2

3

＝0，∴l 1，l 2间的距离是

⎪⎪⎪

⎪6－2312＋(－1)

2

＝823.

6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|

52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，

∴k ＝－3，或k ＝17

3.

-=答案=-：－3或

173

7．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0间的距离相等，则直线l 的方程是________．

解析：由题意可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋(－1)2

＝

|c ＋1|

22＋(－1)2

，即|c

－3|＝|c ＋1|.∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.

-=答案=-：2x －y ＋1＝0

8．直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点________，P (1，1)到直线l 的距离的最大值为________．

解析：直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R)，即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧

y －3＝0，

x ＋2＝0，解得

⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－2，

y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．不妨记Q (－2,3)，则P (1,1)到直线l 的距离的最大值为|PQ |＝

(－3)2＋22＝13.

-=答案=-：(－2,3) 13

9．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．

解：法一：∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k . 又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0. 由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等， 得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝1.

∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.

法二：当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等．∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)，

∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 的距离相等．∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0，∴直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2.

10.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2

的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程．

解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .

梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，

由梯形的面积公式得2＋2b 2×b －1

2

＝4， ∴b 2＝9，b ＝±3.

又b >1，∴b ＝3.从而得直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.

B 级——高考能力达标

1．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( ) A ．4

B.10

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