第三章——旋转椭球的斯托克斯(Stokes)问题

第三章 旋转椭球的斯托克斯（Stokes ）问题
地球的大地水准面接近旋转椭球，旋转椭球有两个参数．它的赤道半径和极半径或扁率。

选择参数适当的旋转椭球，使得大地水准面相对椭球面起伏的平方在旋转椭球面上的积分最小。

这种旋转椭球称为参考椭球。

实践表明．当参考椭球的赤道半径取为6378147m 、扁率的倒数取为298.26时，大地水准面相对参考椭球面的起伏的幅度不超过110m ．即起伏的幅度约为参考椭球赤道半径的10-5量级。

本章讨论旋转椭球的斯托克斯问题，即讨论如何计算以固定旋转角速度旋转的旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力场。

3.1 斯托克斯定理
斯托克斯定理表述为：假若有一物体以一定的旋转角速度ω绕固定在物体内部的旋转轴O Ω旋转，则此物体的总质量M 、旋转角速度ω和外部重力等位面的形状∑，唯一地确定此物体在其表面上和物体的外部空间产生的重力场。

这一定理是斯托克斯于1849年导出的。

在数学上，根据物体的总质量M 、绕固定轴旋转轴旋转角速度ω和其外重力等位面的形状∑这三个条件，计算此物体在其表面上和外部空间产生的重力场称为求解此物体的斯托克斯问题。

现将斯托克斯定理证明如下。

如图3.1.1所示，假若总质量M 、旋转角速度ω和外部重力等位面形状∑给定的某一物体在其表面上和外部空间产生两个不同的重力位12(),()W W r r ，若能证明12(),()W W r r 在物体的表面上和外部空间恒等，则斯托克斯定理得到了证明。

物体的重力位由它的引力位和
离心力位两部分组成；用12(),()V V r r 分别表示重力位12(),()W W r r 中的引力位部分，因为物体在某点的离心力位只决定于物体的旋转角速度和该点在物体上的位置，因而两个重力位
12(),()W W r r 中的离心力位部分相同。

用()Q r 表示它们的离心力位，则根据斯托克斯定理
的三个条件，有
12,C C 为两个不同的常数，且
其中，12,ρρ分别为与12,W W 相对应的物体内部的密度分布。

用()T r 表示重力位1()W r 和重力位2()W r 的差，则根据（3.1.1）~（3.1.3）式，有
只要能够证明函数()T r 在∑上和它的外部恒等于0，也就证明了斯托克斯定理。

为此，
引入矢量函数()a r ，令
将上式代入下述格林公式
得
其中，τ为曲面S 包围的体积，n 为曲面S 的外单位法线矢量。

考虑到
在（3.1.6）式中，令曲面S 为物体的外重力等位面∑和包围∑的半径为R 的球面R S ，即
R S S =∑+，将（3.1.7）式代入（3.1.6）式，得
首先计算（3.1.8）式右侧曲面∑上中的积分，根据（3.1.4）式，在曲面∑上，()T r 等于常数12C C -，因而此曲面积分为
对物体所占据的空间1τ应用格林公式
考虑到在物体的内部1τ，物体的引力位满足泊松方程，将（3.1.4）式代入上式的左侧，有
因而（3.1.9）式的左侧等于0，即
现在计算等式（3.1.8）式右侧球面R S 上的积分。

当R →∞时，根据麦柯拉夫公式（2.2.13）式，有
当r →∞时，等式（3.1.8）式右侧球面R S 上的积分变为
将（3.1.11）式、（3.1.13）式代入（3.1.8）式，得
其中，τ为物体的外重力等位面∑以外的无界空间。

根据（3.1.14）式，有
因而有
C 为待定常数。

根据（3.1.12）式，当r →∞时，()0T =r ，因而（3.1.15）式中的待定常
数C 等于0，即在物体外重力等位面∑以外的整个空间()T r 恒等于0.考虑到()T r 为两个重力位12(),()W W r r 的差，因而它们两个恒等，即
这样，斯托克斯定理得到了证明。

3.2 椭球坐标系中的拉普拉斯算符表达式
解旋转椭球的斯托克斯问题时，采用椭球坐标系比较方便。

本节给出椭球坐标系中的拉
普拉斯算符表达式。

引入椭球坐标系，空间任一点P 的三个椭球坐标(1,2,3)i
x i =分别代表
选取笛卡尔直角坐标系123O x x x ，将O 点置于旋转椭球的中心，并令3O x 轴沿着旋转椭球的旋转轴；此时空间任一点P 的三个椭球坐标与它的三个直角坐标的关系为
如图3.2.1所示，u、E分别为P点所在子午椭圆的极半径和焦距，
θ为P点的改化余纬，
τ
λ为子午椭圆所在平面的精度。

图3.2.2为椭球坐标系的示意图，从（3.2.1）式可以看出，
θ=的坐标面是共焦距的旋转双曲面，=的坐标面是共焦距的旋转椭球面，com st
u cons
t
τ
λ=的坐标面是子午平面。

const
考虑到P点径矢r的微分()
r等于
d P
其中，
g为椭球坐标系的坐标基矢量，根据（3.2.1）式，有
i
考虑到
其中
e为笛卡尔直角坐标系的坐标基矢量，将（3.2.4）式代入（3.2.3）式，有
i
根据（3.2.6）式，可以得出
（3.2.7）式表明，椭球坐标系构成一个正交曲线坐标系。

用,,r
u θλe e e 分别表示沿椭球坐标
系的坐标基矢量123,,g g g 的单位矢量，则有
上式中的i h 为椭球坐标系的三个拉梅系数，根据（3.2.6）式，它们为
考虑到椭球坐标系是一个正交曲线坐标系，已知它的三个拉梅系数后，根据（1.3-2.4）式
可以求出它在椭球坐标系中的拉普拉斯算符表达式。

将（3.2.9）式代入上式，化简得
因而椭球坐标系中的拉普拉斯方程为
解释3.2-1 地心纬度、改化纬度以及它们之间的关系
在椭球坐标系中有时使用地心纬度0ϕ或改化纬度r ϕ给出地面点的一个坐标。

如图
3.2-1.1所示，P 为子午椭圆上的任一点，a 、c 分别为它的赤道半径和极半径，13O x x 为子午椭圆所在的子午面，则地心O 至P 点的径矢r 与水平轴1O x 之间的夹角0ϕ称为P 点的地心纬度。

它与P 点的直角坐标1x 、3x 之间的关系为
'P P 平行于3O x 轴，它与子午椭圆赤道半径a 为半径的半圆弧相交于'P 点，则'O P 与
水平轴1O x 之间的夹角称为P 点的改化纬度。

PQ 平行于水平轴1O x ，Q 为PQ 与以子午椭圆极半径c 为半径的半圆弧'''A C B 的交点。

从图3.2-1.1中可以看出，P 点的改化纬度和它的直角坐标1x 、3x 之间的关系为
根据（3.2-1.1）、（3.2-1.2）式，可以求出P 点的地心纬度0ϕ和改化纬度r ϕ之间的关系，它为
当子午椭圆的赤道半径a 和极半径c 非常接近时，P 点的地心纬度和改化纬度之间的差别很小，可以根据（3.2-1.3）式，按下述方法求出它们之间的关系
则有
当y x -很小时，根据（3.2-1.5）式，有
根据（3.2-1.6）式，可以把地心纬度0ϕ和改化纬度r ϕ之间的关系（3.2-1.3）式写成
3.3 旋转椭球的斯托克斯问题
假若给定一个总质量为M 、以角速度ω绕极轴旋转、赤道半径为a 、极半径为c 的旋转椭球，且其外表面（旋转椭球面）同时是它的重力等位面，则根据斯托克斯定理，此旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力场是唯一的。

本节给出旋转椭球斯托克斯问题的解。

选取笛卡尔直角坐标系123O x x x ，3O x 轴沿旋转椭球的极轴，12O x x 在它的赤道平面内，
引入椭球坐标u 、θ、λ，它们与笛卡尔直角坐标之间的关系如（3.2.2）式所示，其中τθ为
改化纬度，λ为子午椭圆所在平面的经度，E 椭球面的方程为u c =。

用()V r 表示此旋转椭球在其表面上和外部空间产生的引力位，考虑到物体的引力位在其外部空间满足拉普拉斯方程，根据拉普拉斯方程在椭球坐标系的表达式（3.2.11）式，有
用分离变量法求解方程（3.3.1），令
将（3.3.2）式代入（3.3.1）式，化简得
令
将（3.3.4）式代入（3.3.3）式，得
对方程（3.3.5）式进行变量分离，得
有
在方程（3.3.6）式中作变量置换，令
有
此时方程（3.3.6）式变为
在方程（3.3.9）式中作变量置换，令
有
此时方程（3.3.9）式变为
椭球坐标系中的拉普拉斯方程（3.3.1）式经变量分离后，旋转椭球的引力位()V r 由三个分离变量函数R 、Θ、Λ构成，它们分别满足二阶常微分方程（3.3.9）、（3.3.11）、（3.3.4）。

方程（3.3.4）的本征值m 为正整数，它的本征函数是cos m λ和sin m λ。

旋转椭球的引力位在其外部空间（当u c ≥时）应是有界的，所以n 阶m 次勒让德方程（3.3.9）式的本征值n 、m 应为正整数，且0m n ≤≤；此时，它的本征函数为第二类n 阶m 次伴随勒让德函数
()m
n Q z 。

在01τθ≤≤的条件下，二阶常微分方程（3.3.11）的本征值n 、m 应为正整数，
且0m n ≤≤；与其对应的本征函数为x 的n 阶m 次伴随勒让德多项式()m n P x 。

这样，二阶常微分方程（3.3.9）、（3.3.11）、（3.3.4）的本征函数分别为
根据（3.3.2）式，方程（3.3.1）的通解为
上式中的,m m
n n a b 为待定常数。

用()U r 表示旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力位，它由旋转椭球的引力位
()V r 和由于旋转椭球绕其极轴旋转产生的离心力位()Q r 两部分组成，根据（1.4.4）式，离
心力位为
因而旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力位()U r 等于
根据边界条件可以求出（3.3.14）中的待定常数,m m
n n a b 。

在旋转椭球面u c =上，旋转椭球
的重力位应等于常数0U ，根据（3.3.14）式，当u c =时，有
从上式可以看出，除00a 、02a 外，其余全部系数都等于0，而00a 、02a 分别等于
将（3.3.15）式中的系数0
0a 、0
2a 代入（3.3.14）式，得出旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力位()U r ，它等于
其中，0()Q z 、2()Q z 分别为z 的第二类0阶和2阶勒让德函数，根据（2.3-1.12）式，它们等于
（3.3.16）式表明，旋转椭球在其表面上进而外部空间产生的重力位()U r 只与旋转椭球面
的位置即变量u 和改化余纬τθ有关，与租屋椭圆所在平面位置即经度λ无关，同时()U r 是改化纬度τθ的偶函数，即喜欢转椭球在其表面上和外部空间的重力位与赤道面对称。

将u z i
E
=代入（3.3.17）式，得
考虑到
有
将（3.3.18）式代入（3.3.16）式，得
（3.3.20）式中的前两项为旋转椭球在其表面上和外部空间产生的引力位V ，即
当r 趋近于无穷时，根据（2.1.16）式，旋转椭球的引力位()V r 应为
其中，M 为旋转椭球的总质量。

根据（3.2.2）式，有
从上式可以看出，u 随着r 的增加而增加，当r 趋近无穷时，u 趋近于r ；此时有
根据（3.3.21）式，当r 趋近无穷时，旋转椭球的引力位应等于
对比（3.3.22）式和上式，得
将（3.3.24）式代入（3.3.20）和（3.3.21）式，得出旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力位U 和引力位V 的表达式，它们分别为
从（3.3.25）式可以看出，旋转椭球在其表面上产生的重力位等于常数0U ，
（3.3.25）式表明，正如斯托克斯定理所述，旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力位完全由旋转椭球的总质量M 、它的旋转角速度ω以及它的外重力等位面的形状（旋转椭球面）这三个参数确定。

解释3.3-1 第二类勒让德函数 二阶常微分方程
的两个线性无关的特解1y 、2y 构成的行列式
称为二阶常微分方程（3.3-1.1）的朗斯基行列式。

可以证明二阶常微分方程（3.3-1.1）的朗斯基行列式()x ∆可以由方程（3.3-1.1）的系数()p x 求出，不必知道它的两个线性无关的特解1()y x 、。

事实上，用1y 、2y 分别乘2y 、1y 二阶常微分方程（3.3-1.1）的两侧，将所得结果相减，并顾及到（3.3-1.2）式得
对由（3.3-1.2）式表示的朗斯基行列式求微分，得
将（3.3-1.4）式代入（3.3-1.3）式，得朗斯基行列式的一阶常微分方程
它的解是
其中c 为任意常数。

因为二阶常微分方程的朗斯基行列式是由该方程的两个线性无关的特解构成的，则根据二阶常微分方程的系数求出它的朗斯基行列式后，可以根据它的一个特解求出方程的第二个特解。

假若已求出二阶常微分方程的一个特解1y ，用2y 表示它的第二个未知特解，考虑到
将（3.3-1.5）式表示的朗斯基行列式()x 代入（3.3-1.6）式，略去任意常数c ，得出二阶常微分方程第二个与1y 线性无关的特解2y ，即
勒让德方程
是一个二阶常微分方程，n 阶勒让德多项式()n P x 是它的一个特解，与其线性无关的勒让德方程的第二个特解称为第二类n 阶勒让德多项式()n Q x ，按照（3.3-1.7）式可以根据n 阶勒让德多项式()n P x 求出与其相应的第二类n 阶勒让德多项式()n Q x 。

将勒让德方程写成（3.3-1.1）的形式，则有
将（3.3-1.9）式代入（3.3-1.7）式，得出由n 阶勒让德多项式()n P x 表示的第二类n 阶勒让德多项式()n Q x ，即
考虑到
因而有
当||1x ≤时，根据（3.3-1.10）式求出的012Q (),Q (),Q ()x x x 为
式中tanh ar x 为x 的反双曲正切。

当||1x ≤时的第二类0阶、1阶、2阶勒让德函数
012Q (),Q (),Q ()x x x 的图形如3.3-1.1所示。

当||1x 或为复数时，第二类0阶、1阶、2阶勒让德函数
其中coth ar x 为x 的反双曲余切。

用()m n Q x 表示
()m
n Q x 称为第二类伴随勒让德函数，它是伴随勒让德方程与n 阶m 次伴随勒让德多项式()m n P x 线性无关的另外一个特解。