解线性方程组的数值解法

3.1 高斯消元法
设线性方程组
a11x1 a12 x2 ...... a1n xn b1
a21x1
a22 x2
...... ......
a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 ...... ann xn bn
简记 AX=b
高斯消元法
其中
a11 a12 A a21 a22
an1 an2
a1n
a2n
(aij
) nn
ann
x b x1 x2 xn T , b1 b2 bn T
高斯消元法
Gramer法则：xi
Di D
i 1,2,...,n，其中
D det(A) 0，Di det(Ai )，Ai是A的第
i列用b代替所得。
克莱姆法则在理论上有着重大意义，但 在实际应用中存在很大的困难，在线性 代数中，为解决这一困难给出了高斯消 元法。
第3章 解线性方程组的数值解法
引言
在自然科学和工程技术中很多问题的解决 常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的 网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数 问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问 题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限 元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都 导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常 归结为求解大型线性方程组。
2x3
6
(5)
回代得：x=[1,2,3]T
3.1.1 高斯顺序消元法
下三角形方程求解
设
l11x1
b1
l21x1 l22 x2
......
b2
ln1x1 ln2 x2 ... lnn xn bn
其中，lii 0,i 1,2,...,n
（1）
高斯顺序消元法
由（1）得
线性代数方面的计算方法就是研究求解线 性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特 征值及特征向量的数值方法。
引言
关于线性方程组的数值解法一般有两类。
直接法：经过有限步算术运算，可求得方程 组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍 入误差）
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方 程组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单， 原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但 存在收敛性及收敛速度等问题
例题
例1.用消元法解方程组
x1
x2
x3
6
(1)
4x2 x3 5
(2)
2x1
2x2
x3
1
(3)
例题
第一步：-2 x（1）+(3)得
x1
x2
x3
6
(1)
4x2
x3
5
(2)
4x2 x3 11
(4)
例题
第二步：1 x（2）+（4）
x1
x2
x3
6
(1)
4x2 x3 5
(2)
a(k) nk
...
a(k) nn
b(1) 1
b(2) 2
...
bk(k )
...
bn(k )
高斯顺序消去法
则第k次消元:
令lik
a(k) ik
ak(k )
,i
k
1, . . . ,n
则有
a(k 1) ij
a(k) ij
lik ak(kj ) , i
k
1,...,n;
j
k
1,...,n
高斯顺序消去法
设第k-1次消元得A(k)x=b(k) 其中
a1(11) [ A(k) b(k ) ]
a (1) 12
...
...
...
a (1) 1n
a(2) 22
...
...
...
a(2) 2n
... ... ... ...
a(k) kk
...
a(k) kn
... ... ...
... ... ... ...
a(k) kk
...
a(k) kn
...
bk(k )
... ... ...
...
...
...
a(n) nn
j i 1
x
j
)/uii
i n 1,...2,1
上三角方程组的解法
(2)式可简写成 Ux b，其中
u11 U
u12 u22
u1n u2n
unn
高斯顺序消去法
设 Ax=b. 记A(1)=A b(1)=b
1、第一次消元。设 aii 0
第一行
(
a (1) i1
)
第i行（i
2，3，...,n）
2、x1 b1 / l11
j 1,2, ,i);
3、For i 2 to n do
s 0;
For j 1 to i 1 do
s s lij x j ; xi (bi s) / lii ;
高斯顺序消元法
(1)式可简写成 Lx b，其中
l11
A l21 l22
ln1 ln2
......
b(2) n
]T
高斯顺序消去法
a(2) ij
a (1) ij
li1a1(1j)
a (1) ij
a a (1) (1) i1 1 j a (1) 11
bi(2) bi(1) b1(1)li1
bi(1)
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a (1) i1
a (1) 11
.b1(1)
(i 2,...,n; j 2,...,n) (i 2,...,n)
lnn
上三角方程组的解法
设
u11x1 u12 x2 ...... u1n xn b1
u22 x2 ...... u2n xn b2 (2)
......
unn xn bn
其中，uii 0,i 1,2,...,n
由（2）式回代得
xn
xi
bn /unn
n
(bi uij
a (1) 11
令li1
a (1) i1
a (1) 11
,i
2,3,...,n
a1(11)
A（1）
A(2)
a (1) 11
a(2) 22
...... ......
a (1) 1n
a(2) 2n
......
a(2) n2
......
a(2) nn
b(1) b(2) [b1(1)
b(2) 2
x1
b1 l11
x2 (b2 l21 x1 ) / l22
......
xn
(bn
n 1
lni xi ) / lnn
i 1
即
x1
b1 / l11
xi
(bi
i 1
lij x j ) / lii
j 1
i 2,3,...,n
该法称为向前代入法。
高斯顺序消元法
算法：
1、赋初值lij ,bi (i 1,2, , n
b(k 1) i
bi(k )
lik bk(k ) , i
k
1,...,n
k 1,2,...,n 1
高斯顺序消去法
最后
a1(11)
a (1) 12
a(2) 22
... ...
... ...
...
a (1) 1n
...
a(2) 2n
b1(1) b2( 2 )
[ A(n) b(n) ]