2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟数学(理)试题Word版含解析

2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟
数学（理）试题
一、选择题
1．已知x R ∈，则“1x <”是“21x <”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件 【答案】B
【解析】()()()()2
1,111,11,,11,1x x x x <∴+-<∴-<<∴-∞⊇- , 1x ∴< 时， 21x <的必要不充
分条件，故选B.
2．若复数z 为纯虚数且()1i z a i +=-（其中i 是虚数单位， a R ∈），则a z += （ ）
【答案】A
【解析】()()()()()1i i,1i 1i 1i i z a z a +=+∴-+=-+ , ()211i,z a a ∴=+-- 因为复数z 为纯虚数,
所以10,1,,a a z i +==-= 则1+|a z i +==
，故选A.
3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为3，3，则输出v 的值为（ ）
A. 16
B. 18
C. 48
D. 143 【答案】C
【解析】初始值3,3n x == ，程序运行过程如下表所示： 1,i=2v = ，满足条件i 0≥ ，执行循环体，
1325,1v i =⨯+== ；满足条件i 0≥ ，执行循环体， 53116,0v i =⨯+== ；满足条件i 0≥ ，执行
循环体， 163048,1v i =⨯+==- ，不满足条件i 0≥，退出循环，输出v 的值为48 ，故选C. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
4．已知非零向量,,a b c 满足0a b c ++=，向量,a b 的夹角为120°，且2b a =，则向量a 与c 的夹角为 （ ）
A. 180°
B. 150°
C. 120°
D. 90° 【答案】D
【解析】0a b c c a b ++=⇒=-- ，设a 与c 的夹角为θ ，则根据向量的数量积可得
()
2···c o s ···a a b a a b a c a c a a b a a b
θ----===
--+
，根据
a
与
b
关系，
()
2
2
··cos120,a b a b a a b a b ==-+=
--
2
2
2?3a b a b a ++= ，代入可得cos 0θ= ，则
为两向量垂直，夹角为90 ，故选D.
5．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，且125,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A. 36 B. 49 C. 64 D. 81
【答案】C 【
解
析
】
1252,6a a
a a =-=
+ ,
()()
2
2152226a a a a a ∴==-+ , 解得
218
87
3,1,82642
a a S ⨯===+⨯= ，故选C. 6．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为 （ ）
A. 88
B. 98
C. 108
D. 168
【答案】A
【解析】
由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱高为4 ，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6 ，高为4 ，所以腰长为5 ，所以底面三角形的周长为55616++= ，所以几何体的表面积
()1264556
4246488
2
S =⨯⨯⨯+++⨯=+= ，故选A. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视
图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2014年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据： lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30≈≈≈ ）（ ） A. 2017年 B. 2018年 C. 2019年 D. 2020年 【答案】D
【解析】设经过年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得()13010.12200x
+=，则
1.12
20
log 13
x =，即lg20lg131lg21lg1.30.3011194lg1.12lg1.120.055x -+---=
===≈，故201642020+=，应选答案D 。

8．若6
x π
=
是函数()cos f x x x ωω=+图象的一个条对称轴，当ω取最小正数时（ ）
A. ()f x 在,36ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
上单调递减 B. ()f x 在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增
C. ()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减
D. ()f x 在0,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增 【答案】D
【解析】()c o s 26f
x s i n x x s i n x πωωω⎛
⎫=
+=+ ⎪⎝
⎭ , 所以函数()f x 图象的对称轴方程：
()2Z 6
2
x k k π
π
ωπ+
=
+∈ ，
6
x π
=
是()f x 图象的一条对称轴， 26
6
2
k π
π
π
ω
π∴+
=
+ 得，
()26,Z k k ωπ=+∈ . 当0k = 时， ω 取最小正数2 ，此时()()2,6
f x x f x π⎛⎫
=+∴ ⎪⎝
⎭
的单调增区
间为,36k k ππππ⎛⎫
-
++ ⎪⎝⎭
单调减区间为2,63k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ，对照ABCD 各选项，可知只有D 符合题意，故选D.
9．在如图所示的锐角三角形空地中，有一内接矩形花园（阴影部分），其一边长为x （单位： m ）.将一颗豆子随机地扔到该空地内，用A 表示事件：“豆子落在矩形花园内”，则()P A 的最大值为（ ）
A.
14 B. 512 C. 12 D. 3
4
【答案】C
【解析】设矩形的另一边为y ，由三角形相似可得402
,40420
x
y y x -==- 矩形面积为
()
()2
40404004
x x x x -+-≤
= ，即矩形最大面积为400 ，根据几何概型概率公式可得， ()P A 的最
大值为()400
1
1
2
40402
P A =
=
⨯⨯ ，故选C. 10．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上.过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于,M N .设,BP x MN y ==，则函数()y f x =的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为1 ，显然，当P 移动到对角线1BD 的中点O 时，
=y MN AC = 取得唯一最大值，所以排除,A C ；当P 在BO 上时，分别过,,M N P 作底面的垂线，垂足分别为111,,M N P ，
则111122?
cos y MN M N BP x D BD ====∠= ，故选B. 11．已知F 是椭圆22
143
x y +=的左焦点，设动点P 在椭圆上，若直线FP
，则直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围是（ ） A. 3,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
B. 33,22⎤⎛⎤-∞-⋃⎥ ⎥⎝⎦⎝⎦
C. 33,22⎫⎛⎫-∞-⋃⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭ D. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】C
【解析】由椭圆方程22
143x y += ，可求得()1,0F - ，
由)221{1
43
y x x y =++= ，
得(
128,,55P P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭ ，过F 作x 轴垂线与椭圆交于12330,,0,22A A ⎛⎫⎛
⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则P 在弧1122,P A P A 上时，符合题意，
12200033,,228
A A P k k k =-== ， OP ∴ 斜率的取值范围
是
33,22⎫⎛⎫-∞-⋃⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，故答案为33,22⎫⎛
⎫-∞-⋃⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭,故选C. 【方法点晴】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的斜率及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的
范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和几何性质来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.
12．已知函数()f x 为偶函数，当0x <时， ()()ln f x x ax =--.若直线y x =与曲线()y f x =至少有两个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 111,1e e
⎡
⎤---⎢⎥⎣
⎦ B. 1
11,11e e ⎛⎫⎧⎫---⋃-⎨⎬ ⎪⎝
⎭⎩
⎭
C. 11,e
⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭ D. 111,11,e
e
⎛⎫⎡⎫---⋃-+∞ ⎪⎪⎢⎝
⎭⎣
⎭
【答案】D
【解析】当1a <- 时， ()ln x ax x --= ，化为()()ln 1x a x -=+ ，当()ln y x =- 与()1y a x =+ ，有两个公共点时，合题意， ()1y a x =+与()ln y x =-相切时， 111
1,1,11a a a e e e
+=-=--∴--
<<-，合题意，当1a >- 时，只需ln x ax x += 有根， ln y x = 与()1y a x =- 有交点，相切时
1111,1,1a a a e e e -==-∴≥-，合题意，故a 的取值范围是111,11,e e ⎛⎫⎡⎫
---⋃-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ ，故答案为
111,11,e e ⎛⎫⎡⎫
---⋃-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
.
二、填空题
13．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为__________． 【答案】48
【解析】从2,4 这两个字数字中选一个排在个位数，有1
22C = 种，然后将剩余的4 个数字在其他位置全排列，有4
424A = 种，所以偶数的个数为22448⨯= 个，故答案为48 .
14．若变量,x y 满足3
{4
x y x
x y ≤≤+≥，则2z x y =-的最大值是__________．
【答案】5
【解析】由约束条件作出可行域如图，
联立3{
4
x x y =+= ，解得()3,1A ,化目标函数2z x y =- 为2y x z =- ，由图可知，当直线2y x z =-过A
时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最大值为5 ，故答案为5.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步
骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15．在平面直角坐标系xOy 中，以点()0,1为圆心且与直线()210mx y m x R ---=∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________． 【答案】()2
218x y +-=
【解析】22221244111m m r r m m m ⎛⎫
⎪++==⨯=+ ⎪+ ⎪+⎝⎭
418⎛⎫ ⎪ ≤+= ⎝
,当1m = 时，半径
最大为，圆方程为()2
218x y +-= ，故答案为()2
218x y +-=. 16．已知()()52
,x
f x
g x x t -==+，设()()(){}max ,
h x f x g x =.若当x N +∈时，恒有()()5h h x ≤，
则实数t 的取值范围是__________． 【答案】[]
5,3--
【解析】设()y f x = 与()y g x = 交点横坐标为0x ，则()()()00
,{
,
N ,f x x x f x x g x x x +≤=∈> 时，总有
()()5h h x ≤ ，所以若()()55h f = ，必有()()66h g = ，只需()()65,61g f t ≥+≥ ，即5t ≥- ，
若()()55h g = ，必有()()44h f = ，只需()()45,25,3f g t t ≥≥+≤-，综上， 53t -≤≤- ，故答案为 []
5,3--.
三、解答题
17．如图，在边长为2的正三角形ABC ∆中， D 为BC 的中点， ,E F 分别在边,CA AB 上
.
（1
）若DE =
，求CE 的长；
（2）若060EDF ∠=，问：当CDE ∠取何值时， DEF ∆的面积最小？并求出面积的最小值． 【答案】（1
）12CE =
（2）0
60CDE ∠=时， DEF ∆
的面积的最小值为4
【解析】试题分析：（1）直接根据余弦定理解方程即可得结果；（2）
由正弦定理可得()
2sin 60DE α
=
+，
2sin DF α=
，由三角形面积公式可得48sin 230
DEF S α∆=+-，在根据三角函数的有界性可得结果.
试题解析：（1）在CDE ∆中， 0
60,1,DCE CD DE ∠===
由余弦定理得， 22202cos60DE CD CE CD CE =+-⨯⨯⨯，
得210CE CE --=，解得CE =
（2）设0
,3090CDE αα∠=≤≤， 在CDE ∆中，由正弦定理，得
sin sin DE DC
DCE CED
=
∠∠，
所以()()
000
sin60sin 602sin 60DE αα
==++，同理DF =
故1sin 216sin sin 6048sin 230
DEF S DE DF EDF ∆=
⨯⨯⨯∠==++-， 因为0
0000
3090,30230150αα≤≤≤-≤，所以当060α=时， ()
0sin 230α-的最大值为1，此时DEF
∆
的面积取到最小值．即060CDE ∠=时， DEF ∆ 【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
18．如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径， ,P D 为球面上的两点且060DAB PAB ∠=∠=，
PD =
（1）求证：平面PAB ⊥平面DAB ； （2）求二面角B AP D --的余弦值．
【答案】（1）见解析（2
【解析】试题分析：（1）P 作PH AB ⊥于点H ，连HD ，由勾股定理及三角形全等得PH HD ⊥，根据线面垂直的判定定理得PH ⊥平面ABD ，进而可得结果；（2）以H 为原点， ,,HB HD HP 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APD 与平面的APB 一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 试题解析：（1）在PAB ∆中，过P 作PH AB ⊥于点H ，连HD ． 由Rt APB Rt ADB ∆≅∆可知DH AB ⊥
，且1PH DH AH ===， 又 222336PH HD PD +=+==，∴PH HD ⊥．
又AB HD H ⋂=， ∴PH ⊥平面ABD ，又PH ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABD ．
（2）由（1）可知,,HB HD HP 两两垂直，故以H 为原点， ,,HB HD HP 所在直线分别为x 轴， y 轴，
z 轴，如图建立空间直角坐标系，可知()(
)(
)(1,0,0,3,0,0,,A B D P -．
设平面APD 的法向量为(),,m x y z = ，
则{
·m A ，即(
)(
)(
)(,,0,,0x y z x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，
∴00x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
令x =1y z ==，
∴()
m =， 又平面APB 的法向量()0,1,0n =，
∴·cos ,5?1
m n m n m n 〈〉=
==，
而二面角B AP D --与,m n 的夹角相等，因此所求的二面角B AP D -- 【方法点晴】本题主要考查利用面面垂直的判定定理以及空间向量求法向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19．（本小题满分13分）
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒
让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。

根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。

现设4n =，分别以1234,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令
12341234X a a a a =-+-+-+-，
则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。

(Ⅰ)写出X 的可能值集合；
(Ⅱ)假设1234,,,a a a a 等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X 的分布列； (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ≤，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

【答案】 【解析】
20．已知()()121,0,1,0F F -，曲线1C 上任意一点M 满足21MF MF -=2C 上的点N 在y 轴的
右边且N 到2F 的距离与它到y 轴的距离的差为1． （1）求12,C C 的方程；
（2）过1F 的直线l 与1C 相交于点,A B ，直线22,AF BF 分别与2C 相交于点,C D 和,E F ．的
取值范围．
【答案】（1）1C 的方程为221
(0)2
x y x -=
<， 2C 的方程为24(0)y x x =>．
（2）[)36,40
【解析】试题分析：（1）由已知，根据双曲线的定义可得122
a c
b =
=⇒=，从而可得1C 的方程，用直接法可求得2C 的方程；（2）直线l 的方程为2
1(01)x ky k =-≤<，直线与曲线联立，根据韦达定理，
k 表示，进而可得结果.
试题解析：（1）由题意可知点M 的轨迹是以12,F F 为焦点， 为实轴长的双曲线的左支，故有
1a c b =
=⇒=， ∴1C 的方程为221
(0)2
x y x -=
<，
设(),(0)N x y x >1x =，化简得24(0)y x x =>，
即2C 的方程为2
4(0)y x x =>．
（2）设直线l 的方程为2
1(01)x ky k =-≤<，
联立方程组22
1
12x ky x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()22
11202k y ky --+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则有()
1
22122
211
21k y y k y y k ⎧
+=⎪-⎪
⎨=⎪-⎪⎩
，
设22,AF BF 的斜率分别为12,k k ，则有
11
11122
2221212
y y k x ky y y k x ky ⎧
==
⎪--⎪⎨⎪==
⎪--⎩
，
∴
121212112211226k k k k k k y y y y ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 22121212
11114·28k k k k k y y y y ⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭， 直线2AF 的方程为()11y k x =-，代入2
4y x =有()
2222111240k x k x k -++=，
设()()3344,,,C x y D x y ，则有3421
4
2x x k +=+
， ∴()()222212221141112441CD CF DF x x x x k k ⎛⎫=+=+++=++=+
=+ ⎪⎝⎭
， 同理22141EF k ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
．
∴][()
()
22
2
2
22222121
21211111161116116369169CD EF k k k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++=++-=+-=+ ⎪⎪ ⎪
⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
()
[)24936,40k =+∈．
21．已知函数()ln (0)f x x ax a =->，设()2g x f x a ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
． （1）判断函数()()()h x f x g x =-零点的个数，并给出证明；
（2）首项为m 的数列{}n a 满足：①12n n a a a ++≠；②()()1n n f a g a +=．其中*1
0,m n N a
<<∈．求证：对于任意的*
,i j N ∈，均有1
i j a a m a
-<
-． 【答案】（1）有且仅有一个零点；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先求得()()()h x f x g x =-的定义域为20,
,a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭再证明()h x 在20a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递增，即可得结果；（2）利用导数研究函数的单调性，求出数列的最大项与最小项，即可证得结论.
试题解析：（1）由题意
知
()()()222
2110,,220221a a x h x f x g x a a a a a x x x x a a a ⎛⎫∈=-=-+-'=-≥-= ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎭
'' ⎝，
当且仅当1x a =
时等号成立，因此()h x 在20a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递增，又1110h f g a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故函数()()()h x f x g x =-在20,
a ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上有且仅有一个零点； （2）由（1）可知()h x 在20,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且10h a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 故当10,
x a ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
时， ()0h x <，即()()f x g x <； 当12,x a a ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时， ()0h x >，即()()f x g x >． 因为当11
(0)a m m a
=<<，所以()()()112f a g a f a <=， 若21a a ≥
，则由()111221,g a f a a a a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，又()f x 在12,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减知122a a a -=，
即122a a a +=这与12n n a a a ++≠矛盾，故21
a a <， 而当10,
x a ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时， ()f x 单调递增，故121a a a
<<； 同理可证23111,n n a a a a a
a
+<<
<<
， 故数列{}n a 为单调递增数列且所有项均小于
1a
，
因此对于任意的*
,i j N ∈，均有1
i j a a m a
-<-． 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为{
x y sin θθ
==（θ为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标
系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程
为
s i n 34πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭． （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．
【答案】（1）曲线C 的普通方程为2213
x y +=，直线l 的直角坐标方程为30x y -+=（2
）2
【解析】试题分析：（1）利用平方法可得曲线C 的普通方程，利用两角差的正弦公式及cos ,sin x y ρθρθ
==可得直线l 的直角坐标方程；（2
）)
,sin P
θθ，则点P 到直线l
的距离为d =
利用辅助角公式及三角函数的有界性可得结果.
试题解析：（1
）因为2
222cos sin 1y θθ+=+=，所以曲线C 的普通方程为22
13x y +=，
sin 34πθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=， 因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=；
（2
）设)
,sin P
θθ，则点P 到直线l
的距离为2d =
=≤ 等号成立当且仅当sin 13πθ⎛
⎫
-
=- ⎪⎝
⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈，即31,22P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
时成立， 因此点P 到直线l
． 23．选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x <<． （1）求实数,a b 的值；
（2）求证： 24≤≤．
【答案】（1）3,1a b =-=（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由不等式的解集可得关于,a b 的方程组，解方程组可得结果；（2）由（1）原式
可化为为24≤
≤，再利用西柯不等式可得结果.
试题解析：（1）由x a b +<，得b a x b a --<<-，
则2
4b a b a --=⎧⎨-=⎩
，解得3,1a b =-=；
（
2
）
由
柯西不等
式有
2
2
2
2
2
2116⎡
⎤⎡
⎤=≤++
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
，
4≤=，即1t =时等号成立．
又
()2
312122404t t t t =-+++-≥≤≤2≥，
等号成立当且仅当4t =时成立，
综上， 24≤≤．。