《二次根式的混合运算》教案

第2课时 二次根式的混合运算

1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点) 2．正确地运用二次根式加减乘除法

则及运算律进行运算，并把结果化简．(难

点) 一、情境导入 如果梯形的上、下底边长分别为22

cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积

是多少？ 毛毛是这样算的： 梯形的面积：1

2(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2

)．

他的做法正确吗？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的四则运算 计算： (1)12223×9145÷3

5；

(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫

312－213＋48÷23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132； (3)2－(3＋2)÷3. 解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．

解：(1)原式＝1

2×9×83×145×53＝12

×9×22

9＝2；

(2)原式＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫63－233＋43÷

23＋13＝2833×123

＋13＝143＋13＝5；

(3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－

3＋23＝2－1－23

3.

方法总结：二次根式的混合运算：先

把各二次根式化为最简二次根式，再进行

二次根式的乘除运算，然后合并同类二次

根式．

探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算 计算：

(1)(2＋3－6)(2－3＋6)；

(2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫

6－1332－3424×(－26)． 解析：(1)利用平方差公式展开然后合

并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可． 解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－

(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－

218)＝2－9＋62＝－7＋62； (2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3； (3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－66－326×(－26)＝－2

36×(－26)＝8.

方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．

探究点三：二次根式混合运算的综合运用

【类型一】 与二次根式的混合运算

有关的新定义题型

对于任意的正数m 、n 定义运算

※为m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m

计算

(3※2)×(8※12)的结果为( )

A ．2－46

B ．2

C ．25

D ．20

解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8

＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.

方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．

【类型二】 二次根式运算的拓展应用

请阅读以下材料，并完成相应的

任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波

那契数列中的第n 个数可以用

1

5

⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n 表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．

解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．

解：第1个数，当n ＝1时，

1

5⎣⎢⎡⎦⎥⎤

⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15[1＋52－1－52]＝1

5

×5＝1； 第2个数，当n ＝2时，

15

⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15⎣⎢⎡⎦⎥

⎤

⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－

52＝15

×1×5＝1.

方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．

三、板书设计

1．二次根式的四则运算

先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．

2．运用乘法公式和运算律进行计算 在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．

本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.