概率统计第四章随机变量的数字特征

例 9．（教材 P94，例 4.7）把 n 个球放 进 N 个盒子，假定每只球落入各个盒子 是等可能的。 试求有球的盒子数 X 的数学期望。
例 10.（教材 P95，例 4.9）某百货公司每年顾客 对某种型号电视机的需求量是 X ， X 服从集
合1001,1002, , 2000上的离散型均匀分布.
（2，1）
0
2
EX
xf X x dx
2 x x3 dx 8
04
5
E(Y)
yfY y dy
1 y4y 1 y2 dy 8
0
15
E(2XY) 2xy f x, ydxdy
2
dx
x 2
4x2
y2dy16
0
0
9
• 例4．试分别求下列分布的
X~P X~Ra,b X~E
ij
i
EY
bj pij bj p j
或
ij
j
EX
xf x, y dxdy
xf X
x
dx
；
EY
yf x, y dxdy
yfY
y
dy
。
例 3．（教材 P93，例 4.6）设 X 与Y 的 联合密度函数为
f
x,
y
2 xy 0
0 2y x 2 其余
试求 E X ， E Y ， E 2XY 。
• 泊松分布 P : E X
• 例1. 设随机变量X~B（5，p），已知
E（X）=1.6，求参数p.
P=0.32
• 例2.设随机变量 X~P，已知
pX 1 1 pX 2, 求EX
2
E(X)=4
常用分布的期望
连续型随机变量 均匀分布 Ra,b: EXab
2
指数分布 E: EX1
正态分布 N ,2 :E X
假定每出售一台电视机可获利 300 元； 如果年终库存积压，那么每台电视机带来 亏损为 100 元。试问，年初公司应进货多少 才能使年终带来的平均利润最大？假定公
概率统计第四章随机变量的数字特征
主要内容
• 数学期望 • 方差与标准差 • 协方差和相关系数 • 其它数字特征 • 两个不等式
一 数学期望（均值）
• 期望定义 • 常见分布的期望 • 随机变量函数的期望 • 期望的性质
• 引例：
• 某校有20个学生英语考试成绩见下表（按 五级计分），求平均成绩。
i
i
变量 X 的数学期望（或均值），记作 E X .即
E X ai pi
i
定义 2 设连续型随机变量 X 的概率密度
函数为
f
x ，当积分
xf
x dx
绝对收敛
时，称
xf
x dx
为随机变量
X
的数学期
望,记为 E(X) , 即
E（X） xf x dx
例1、 掷一颗骰子，用X表示其出现的点数， E（X）等于？
X~N ,2
E X22
EX2
a2abb2
3
E X 2
2
2
E X 2 2 2
EX2
数学期望的性质
退化分布：把常数 c 看作概率函数为
P X c 1的随机变量 X ，并称 X 服从
参数为 c 的退化分布。
定理 4.2 设 k 、 l 、 c 都是常数。
（1） E c c ； （2） EkX c kE X c ； （3） EkX lY kE X lE Y ； （4）当 X 与Y 相互独立时，E XY E X E Y 。
• 例5．证明二项分布的数学期望
X ~ B n ,p : E X np
• 证: X X • 1 ∵ X 2 X n
X i ~B 1 ,p,
E (X i) p , i 1 ,2 , ,n
EX• ∴EX1EX2 EXn
• np
例 6．设 X 与Y 的联合概率函数为
1Y 0 2
X
-1 1 0 1
6
6
00 11
66
1 1 10
66
求 Z 3X 2Y 的数学期望 .
X -1 0 1 p 1/3 1/3 1/3
Y 10 2 p 1/3 1/3 1/3
E(X)=0, E(y）=1 E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)
=-2
例7. 设X，Y相互独立，X~参数为2的指数分布， Y~参数为3的指数分布， 求E（2X+3Y），E（XY）。
性质（3),（4）可以推广到任意有限个随机 变量上去。
（1）设随机变量X X 1 X 2 X n ，则
E X E X 1 E X 2 E X n
（2）设随机变量Y k 1 X 1 k 2 X 2 k n X n ,c 则
E Y k 1 E X 1 k 2 E X 2 k n E X n c
答：E （2X+3Y）=2E(X)+3E(Y)=2*1/2+3*1/3=2 E（XY）=E(X) E(Y)=1/6
例8. 设X，Y相互独立，X~R（2，6）， Y~R（-1,3） 求E（2X-3Y+3），E（2XY），E(X2).
答：由已知可得 E（X）=4， E（Y）=1， E（2X-3Y+3）=2E（X）-3E（Y）+3=8； E（2XY）=2E(X) E(Y)=8； E(X2).=（a2+ab+b2)/3 =（4+12+36）/3=52/3
答：E(X)=3.5 例2、甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X,Y, 它们得分布律见下表，试比较他们成绩的好坏
X0
1
2
p 0.1 0.2 0.7
Y0
1
2
p 0.1 0.8 0.1
答：计算可得E(X)=1.6, E(Y)=1,因此可认为甲的 成绩更好。
常用分布的期望
• 离散型随机变量
• 0 -1分布 B 1 ,p : E X p • 二项分布 B n ,p : E X np
成绩 1
23
人数 1
47
频率 1/20 4/20 7/20
4
5
6
2
6/20 2/20
X1 1 2 4 3 7 4 6 5 2
20
20
20
20
20
ຫໍສະໝຸດ Baidu
5
xipi 3.2 i1
定义 1 设离散型随机变量 X 的分布律为
P X ai pi ， i 1, 2,
当级数 ai pi 绝对收敛时，称 ai pi 为随机
随机变量函数的期望
定理 4.1
（1） E g X g ai pi ； i
（2）
E
g
X
g
x
f
x
dx
（3） E g X ,Y
g ai ,bj pij
ij
（4）E
g
X
,Y
g
x,
y
f
x,
y dxdy
特例：当 g X,Y X （或Y ）时，
EX
ai pij ai pi ；