矩阵理论课件 (4)

(DA)H (GA)H GA DA
(III )不相容方程组求解
Ax b不相容 Ax b 0(x Cn ).
(1)
T
{x
|
min
xC n
||
Ax
b
||2 }
x称为最小二乘解
T { x | AH Ax AHb(相容)} x称为最小二乘解
(2) f (x*) min x 最小二乘最小范数解(或最佳逼近解) xT A{1,4} {G | AGA A,(AG)H AG}
A(x Gb) 0 (2)
定理 不相容方程组Ax b的最小二乘解的 通解 x Gb (E - A A)u, u Cn.
证: x是最小二乘解 A(x Gb) 0
通解 x Gb A 0+(E A A)u=(E A A)u
通解 x Gb+(E A A)u Ab+(E A A)u
相容方程组的通解
最小范数解
定理 设D Cnm ,b Cm , Db是相容方 程组Ax b的最小范数解,则D A{1,3}.
证 : A (1,2,L ,n) i R( A)
GA{1,3} Gi 是Ax
的最小范数解
i
最小范数的唯一性 Di Gi DA GA
ADA AGA A,
D A{1, 3}
|| Db ||22 || (E DA)u1 ||22 = || x1 ||22 || Db ||22
(E DA)u1=0 x1 Db
结论：
(1)Ax b相容 Ax b有解
x Ab (En A A)u,u C n ---通解
(2)D A{1, 3} x Db (En DA)u,u C n(Db范数最小) x Ab (En A A)u,u C n( Ab范数最小)
有解的充要条件是存在B，使得
DBB D
成立. 此时 XB D的通解为
X DB Y YBB Y C pm .
推论 3 设 A C mn，b C m1 ,则方程组Ax b
有解的充要条件是存在A，使得 AAb b ( AAb b)
成立. 此时 Ax b的通解为
x Ab (En A A)u u C n .
7 广义逆矩阵的应用
一、矩阵方程的通解
定理 1 设A C mn，B C pq，D C mq，
则矩阵方程
AXB D
有解的充要条件是存在A和B，使得
AA DBB D
成立. 在有解的条件下，矩阵方程AXB D 的通解为
X A DB Y A AYBB Y C n p.
证 : 必要性：
设X为AXB D的解, AA A A, BBB B
是否有解 ?如果有解, 求通解和最小范数解;
如果无解,求最小二乘解和最佳逼近解.
2 4 1 1 3
解
A
1
2
-1
2
,
b
0
1 2 -2 1 3
step1: 求A的最大秩分解 : A BD
2 1
B
1 1
21
,
D
1 0
2 0
0 1
1 1
step2 : 求A A DH (DDH
)1 ( B H
若x为最小二乘解,则|| Ax b ||22 || AGb b ||22
故有
|| AGb b ||22|| Ax AGb ||22 || AGb b ||22 || Ax b ||22|| AGb b ||22
|| Ax AGb ||22 0 Ax AGb 0 Ax AGb (1)
|| Ax b ||22 || Ax AGb ||22 || AGb b ||22|| AGb b ||22
引理 x是不相容方程组Ax b的最小 二乘解的充要条件为 Ax AGb.
证 :G A{1,4},xCn
|| Ax b ||22 || Ax AGb ||22 || AGb b ||22|| AGb b ||22
定理 :不相容方程Ax b, x Ab是Ax b的最佳逼近解
结论:不相容方程组最小二乘解的通解 x Gb+(E A A)u Ab+(E A A)u (Ab最佳逼近解)
例 : 用广义逆矩的方法判线性方程组
2x1 4x2 x3 x4 3
x1
2 x2
x3
2 x4
0
x1 2x2 2x3 x4 3
B)1
BH
1 33
2 4 1
1 2 5
1
2
6
1 6 5
step3: 检验 AAb b是否成立.
1
AAb
2
b
1
故Ax b是不相容的方程.
step4 : 求最小二乘解的通解及最佳逼近解.
通解 :
x Ab (E A A)u
1
1 2
(E A A)u
11 5
最佳逼近解 :
D AXB AA AXBBB AA DBB
充分性：
AA DBB D
X A DB
(1)对于X A DB Y A AYBB ,有
AXB A( A DB Y A AYBB )B AA DBB AYB AA AYBBB D AYB AYB D
X ADB Y A AYBB是AXB D的解
定理 : 设G A{1,4},则Gb是不相容方程组Ax b的最小二乘解.
证: || Ax b ||22 || Ax b AGb AGb ||22
(Ax b AGb AGb)H (Ax b AGb AGb) (Ax AGb AGb-b)H (Ax AGb AGb b)
b ADAx0 ADb Db是Ax b的解.
Ax b的任意解 x0 Db (E - DA)u
|| x0 ||22 || Db (E - DA)u ||22 (Db (E - DA)u)H (Db (E - DA)u)
|| Db ||22 || (E DA)u ||22 (Db)H (E DA)u uH (E DA)H Db 注: Ax0 b (Db)H (E DA)u
T {x | Ax b,x C n} , f ( x* ) min x xT
x* 最小范数解
A{1, 3} {G | AGA A,(GA)H GA}
定理 D A{1,3},则Db是相容方程组 Ax b的最小范数解,并且方程组的最小 范数解唯一.
证:Ax b有解 Ax0 b, ADA A
6 1
x
Hale Waihona Puke Baidu
Ab
1
2
11 5
6
(2)设G是AXB D的任一解
AGB D
G A DB G A DB
A DB G A AGBB
推论 1 设 A C mn，D C m p，则AX D 有解的充要条件是存在A，使得
AA D D
成立. 此时 AX D的通解为
X A D Y A AY Y C np .
推论 2 设 B C mn，D C pn，则XB D
二. 方程的分类及求解
Ax b有解 b R( A) rank( A | b) rank( A)
(
I
)分类
Ax
( AAb b)
b无解 b R( A)
------相容的方程组 rank( A | b) rank( A)
( AAb b) ---不相容的方程组
(II )相容方程组求解
|| Ax AGb ||22 || AGb b ||22 (AGb b)H (Ax AGb) (Ax AGb)H (AGb b)
注: (AGb b)H (Ax AGb) (bH (AG)H bH )(Ax AGb)
(bH AG bH )(Ax AGb)
bH AGAx bH Ax bH AGAGb bH AGb 0
(DAx0 )H (E DA)u x0H (DA)H (E DA)u x0H DA(E - DA)u x0H (DA DADA)u 0
|| x0 ||22 || Db ||22 || (E DA)u ||22 || Db ||22
x1且x1 Db (E DA)u1且 || x1 ||22 || Db ||22