数形结合的再思考——例说平面几何在解析几何中的应用
数形结合思想在高中数学解析几何中的应用
数形结合思想在高中数学解析几何中的应用摘要：高中数学的解析几何部分是高中板块数学教学的重点和难点，所以，教师在教学中要对解析几何教学展开深入教研，采取一定的教学手段，教育和引导学生掌握一定的解析几何思维，才能让学生充分理解和掌握解析几何的知识点和解题思路。
数形结合思想是高中数学解析几何教学非常重要的数学思想方法，在数与形的对应转换中使抽象问题具体化、复杂问题简单化。
本文将对数形结合四线在高中数学解析几何中的应用。
关键词：数形结合；高中数学；解析几何；应用高中生学习数学的方式方法主要是在结合数字和形状来探究如何解答数学题，这种学习的方法可以让高中复杂的数学问题简易化且直观化，有利于高中生更加深入理解高中数学问题。
在将复杂问题简化过程中，学生可以进一步理解数学图形和数字之间的逻辑关系，在解决代数和图形问题时能够准确地找到解答方式，进而提高做数学题的效率。
一、关于数形结合思想及其在高中数学解析几何中的重要性分析数，意味着严谨；形，意味着直观。
数形结合是综合了数的严谨性、形的直观性，并以数、形的对应转换来解决数学问题，它通过“数”与“形”之间的灵活切换，借用直观的图形语言具象抽象的数学语言，或借用数学语言的数量关系解释图形的本质属性。
数形结合思想就像架起数、形的桥梁纽带，联结起数学的抽象思维和几何图形的形象思维，带领学生“以形助数”、或“以数解形”，从难以理解的抽象思维走向易感知、易理解的形象思维。
[1]高中数学解析几何，一直是高中数学教学的重要知识模块。
解析几何一般需要借助于直角坐标系，在直角坐标系中展现圆锥曲线在平面中的位置关系，运用代数运算手段，研究抛物线、双曲线、椭圆等圆锥曲线的定义、概念、性质以及其与直线的位置关系等。
[2]数学解析几何问题的解答，往往考察学生综合处理数学问题的能力，也检验学生的计算能力。
但如果学生具备一定的数形结合思维和能力，就能够在数与形的一一对应关系中发现数学的规律性和灵活性，并迅速找到解题的突破点和捷径，减少复杂的推理和计算环节，可大大减少解题的繁琐运算过程，有效节约答题时间。
数形结合思想在解析几何中的应用
Ｖ
Ｄ
化 为 函数值 域或构 造关于参量 的不等 式 ，寻
ｌ
Ｉ
，
，
、 ／ ＼
求 参量 的范围 。通过 教学实践 ，笔者发现 这 类 问题不 仅可 以用 上述两种思想 解决 ，也 可 以用数形结 合思想解 决。设想 寻求 有关 弦中 点 轨迹 ，通过 轨迹 曲线 与圆锥 曲线 的位置 关
２ ． 利用微影结合思想解决平面向量中的曩值 类问题
铡４ 已 轴 ｔ ∞ 赫 蜡） ｔ ● 《 ・ １ ） ， 螂 Ｉ ２ ｎ ｌ 的 最大值、 最， Ｊ
值分别 是多少’
线段来衰示． 我们先在 ｙ 轴上取一点 Ｐ ，使 ０ ～ 恰好袭示角 ｘ的正弦绒 颤 鞣 一 ，过点 ｐ催 ｘ轴的平行线交单位露干点
类 纷呈 的现代几 何学 。数 与形亦作 为数学 的
：
褥 到 四 个 不 同 的 交 点 横 坐 标 分 别 为 ： ； ． ， 芋 丽 当 ｘ 在 区
加 以说 明 。
翻ｓ ：求睡数 厨 ＋ ｊ的最值．
分 析：由于等号右端根号 内弼为 ｔ的一次式，故作简单换元
…
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且
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二 、数 形 结 合 思 想 在 平 面 向量 中 的应 用
所绘 蒋数化为 ｕ为参数的盎线方程 ； 吖＋ ．它与椭蹬 ＋ 妒 一 １ ６ 在第一象限的部分 包括端点）有公共点 （ 如瞬）
发展 与实际测量 有密切联 系 。巴比伦几何学
故可 以说 向量 是一个数 形结合 的典范 。我们 在解题时 ，若 能巧妙的结合 向量 的几何意义 ，
数形结合思想在高中数学教学中的有效运用
数形结合思想在高中数学教学中的有效运用
数形结合思想是一种重要的思想方法，它将数学和几何相结合，利用图形和形状来推
导出数学规律，是一种将抽象问题转化为具体问题的思考方式。
在高中数学教学中，数形
结合思想具有很好的应用价值，可以更好地帮助学生理解数学知识，提高数学素养和应用
能力。
一、数形结合思想在平面几何中的应用
1.平面图形的解析方法。
平面几何是数形结合思想最常用的领域之一，常常需要利用
图形的形状和大小来分析和解决问题。
例如，在证明平面图形之间面积的关系时，可以通
过分析图形的对称性和相似性来推导出结论。
2. 比例关系的图示方法。
比例是数学中常见的重要概念，可以用图形来表示。
例如，通过图形的大小和比例关系，可以帮助学生更加直观地理解数学中的比例和比例关系，从
而更好地应用到实际问题中。
3. 二次函数图形的解析方法。
二次函数图像是高中数学中较为复杂的内容之一，学
生往往难以理解。
利用数形结合思想，可以将二次函数图形转化为图形的形状和特征，通
过图形的变化来推导出函数的特性和性质，从而更好地理解二次函数的概念和应用。
2. 函数求极值和最值的图示方法。
在函数求极值和最值时，可以利用图形的形状和
大小来分析和解决问题。
例如，在求函数的最大值和最小值时，可以通过图形的上下凸性
和变化趋势来推导出最值的位置和数值，从而更好地掌握函数求极值和最值的方法。
论高中数学“数形结合”在解题中的应用
论高中数学“数形结合”在解题中的应用高中数学“数形结合”是将数学的概念和图形相结合，从图形的角度来解决数学问题的思维方式。
它既注重对图形的研究和描述，又考虑对数学概念和方法的运用。
它不仅有助于深入理解数学概念，而且可以解决某些问题，这些问题只能通过图像才能解决。
高中数学教师们应该将数学的相关概念和图形相结合，协调综合应用，利用各种数学工具，使学生在解决数学问题时，更加自如和高效。
下面将从几个方面分析数形结合在高中数学中的应用。
一、平面几何空间结合平面几何空间结合在高中数学教学中常常被应用。
例如，在学习解析几何时，我们可以将代数公式与几何图像结合起来，通过所画图形和解析等方式来确定解析函数和函数图形方程。
在学习立体几何时，我们可以利用图形和实例来说明平行四边形面积和体积的计算、棱柱的表面积和体积的计算等等。
通过这种结合，可以帮助学生更好地理解平面几何和空间几何的概念，更深入地理解数学原理。
二、三角函数与图形结合三角函数是高中数学中的重要概念，而三角函数与图形结合起来的应用也非常广泛。
例如，我们可以将正弦函数与正弦图形结合起来，以便于学生更好地理解正弦函数的定义、性质和应用，更好地进行三角函数的计算。
同样的，我们可以将余弦函数与余弦图形结合起来，以便于学生更好地掌握余弦函数的各种应用。
通过这种结合，可以帮助学生更好地理解三角函数的概念和定义，更好地掌握与应用三角函数。
三、概率论与图像结合概率论是高中数学的另一个重要概念，而概率论与图像的结合也是一个非常重要的应用。
例如，在研究概率论中的事件概率时，可以通过绘制事件频率的图表进行观察和关注各种事件的发生概率的计算。
在研究概率中的数学期望时，可以通过绘制各种事件的概率图来计算不同事件的期望值，更好地掌握概率学的基本原理和规则。
总之，高中数学的数形结合不仅可以帮助学生更深入地理解数学概念和方法，而且可以用于解决实际问题、探索数学之美。
数形结合的应用不仅有利于学生更全面地了解数学知识，而且能够在解决实际问题中起到更好的指导作用。
平面几何在解析几何中的运用
平面几何在解析几何中的运用平面几何在解析几何中的运用平面几何学是一门重要的数学课程，也被称为解析几何。
它是数学中最基本但又最重要的部分之一。
解析几何中用到的概念可以分为几何图形，圆，直线，三角形等，都是基于平面几何学而推演而出的基本图形。
一、几何图形几何图形是平面几何学中最重要的概念，它有许多不同的类别，如点，线，多边形，圆，椭圆等。
通常情况下，它可以分为正多边形，椭圆多边形和变形多边形三大类。
此外，它还可以根据它的几何特性来分类，如对称图形，对称多边形，正多边形等。
他们有助于我们知道有关一个多边形或图形的全部特性，如它的边数，边长，角数，面积，周长等等。
二、圆圆是解析几何中应用最广泛的图形之一，也是由平面几何学而推演而出的基本图形之一。
它由一个固定的中心点和一个固定的半径组成，是由一个不变的圆心内切的一系列圆周而形成的。
它可以用直角坐标系的极坐标表示，也可以用圆的标准式表示。
它与内接圆相比，既有圆心角又有弧度，能用于求解几何问题，也与其他几何图形形成有趣的关系。
三、直线直线在解析几何中也有广泛的应用。
它是由两个点构成的，由一般式表示。
它可以分为斜率和弧长两类，并且由它们共同决定线段的长度和斜率。
另外，它也可以用矢量形式表示，以及用于求出两条直线的交点。
四、三角形三角形在解析几何中也有重要的作用，它由三条线段的交点组成。
它有三条边和三个内角，根据它的边和角的特点，可以分为等腰三角形，等边三角形，直角三角形等。
它的构成则取决于它的内角的大小，内角的总和是180°，根据它的性质可以换算出各边的长度，求出内角，外角等。
总结以上内容中，平面几何学在解析几何中发挥重要作用，几何图形，圆，直线和三角形等常见图形都是由平面几何学而推演而出的。
各种图形也可以在实际中应用，比如解决几何问题，求出长度和角度，根据其特性对对称，对称多边形等类进行划分。
数形结合思想在解析几何中的一些应用
数形结合思想在解析几何中的一些应用曾婷 在高中数学的解析几何中，方程中总是存在多元二次方，如果用纯代数的方法进行解题的话，数据的复杂程度往往会让学生不能继续完成解答，如果是在解答填空选择题的情况下，花大量时间去求解且不一定能把答案解出来，是非常吃亏的。
因此，在解答解析几何题型时，培养数形结合思想尤为重要。
下面分析几类数形结合思想在实践中的一些应用。
一、动与定的分析。
在一些解析几何题型中，一般会出现一些类似求离心率的取值范围，像这些要求的答案是一个范围的话，那么此时数形结合时分析的“形”中一定要出现变化的量，即要得出一个不等式，比如线段在一定范围内变化；如果要求的是一个确定值，那么此时就找等量关系，列出一个等式，比如线段之间相等，在解析几何中，一些线段的长度可以用c b a ,,的式子表示，这样就会出现只有c b a ,,的一个等式，这个等式也是常用来求解析几何中的离心率e 的。
例1：已知椭圆()012222>>=+b a by a x 中，F 为右焦点，C 为准线与x 轴的交点，A 为椭圆上的点，AC 的中垂线过点F ，求椭圆离心率的取值范围。
分析：像这种题型，条件中没有具体的数据，且关键条件就只有AC 的中垂线过点F 这一个，考生一般会难以下手，或者就漫无目的地求中垂线方程，设点A 坐标，列方程组等，这样不仅是个大工程的运算，而且还是难以求出最终答案的。
往往越是复杂的题目，解答过程一般都是比较简单的，此时用数形结合去分析的话，解答过程就显得简单多了。
现在主要对中垂线进行分析，可以发现FC AF =，而FC 为一个定值，AF 是一个变化值，通过这个等式可以列出关于c b a ,,的不等式。
解：∵AC 的中垂线过点F ，∴FC AF =c ca FC -=2，∵A 在椭圆上运动且要使AC 的中垂线过点F ∴c a AF c a +≤<-，∴c a c ca c a +≤-<-2解不等式c a c ca c c a c a +≤--<-22和， c ca c a -<-2解得1<e c a c ca +≤-2得222c ac c a +≤-左右同除2a 得到0122≥-+e e ∴21≥e ，综上⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,21e 点评：数形结合思想主要培养学生对图像的分析处理能力，去寻找图像中的几何等量关系，比如角平分线上的点到两边的距离相等或者中垂线下的线段等量关系等等，然后根据几何等量关系转化为代数等式，这样就比传统代数解题快捷很多。
高中数学的解析平面几何的应用解析
高中数学的解析平面几何的应用解析解析平面几何是高中数学中的一门重要内容，它应用于实际问题的解决，有助于学生提高数学的应用能力和解决实际问题的能力。
本文将重点探讨高中数学中解析平面几何的应用解析。
一、直线与圆的解析几何应用在解析几何中，直线和圆是最基本的几何元素之一，广泛应用于各个领域。
直线方程的解析表示为y=kx+b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
通过直线的解析表示，可以求解直线与坐标轴的交点、两直线的交点等问题。
圆的解析表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
通过圆的解析表达式，可以计算圆与坐标轴的交点、圆与直线的交点等问题。
二、解析平面几何在三角函数中的应用三角函数是解析平面几何中的重要概念，也是高中数学的核心内容。
三角函数的解析表示为y=Asin(wx+φ)+b和y=Acos(wx+φ)+b，其中A为振幅，w为频率，φ为初相位，b为平移量。
通过三角函数的解析表示，可以求解函数的周期、振幅、初相位等性质，并应用于波动、周期性问题的分析与计算。
三、解析平面几何在三角形中的应用解析平面几何在研究三角形中的一些特征和性质时，也起到了重要的作用。
例如，通过解析表示三角形的三个顶点坐标，可以计算出三角形的边长、内角、外角等性质，进而研究三角形的周长、面积、内切圆、外接圆等问题。
此外，解析平面几何还能帮助解决三角形相似、共线、正多边形等问题。
四、解析平面几何在向量中的应用向量是高中数学中的另一个重要概念，解析平面几何可以为向量的研究提供有力的工具。
通过向量的解析表示，可以进行向量的加法、减法、数量积、向量积等运算，进而解决向量共线、向量垂直、向量平行等问题。
同时，解析平面几何还可以应用于向量的投影、向量的夹角、向量的模长等计算。
总结起来，解析平面几何在高中数学中的应用解析十分广泛，涵盖了直线与圆的问题、三角函数的计算、三角形的特征与性质、向量的运算等多个方面。
数形结合在初中数学教学中的应用
数形结合在初中数学教学中的应用数形结合是指利用图形进行数学计算的方法，在初中数学教学中，数形结合被广泛应用。
数你妹用户从以下几个方面探讨了数形结合在初中数学教学中的应用。
一、探究基本几何定理通过几何图形，可以帮助学生理解和掌握基本的几何定理。
比如，在教学平面几何时，使用平面图形进行分析，更容易帮助学生理解平行线、垂直线和相交线等概念及其相关的定理，比如平行线呈现平行关系，交角的大小等。
此外，在探究定比分点和中线、垂线等定理时，利用几何图形能够帮助学生更加直观地理解和掌握这些概念和定理，同时也能让学生在理解的基础上更加深入地掌握其应用。
二、启迪探究平面图形与立体图形数形结合也可以启迪学生进行平面图形和立体图形的探究，使学生能够更好地理解这些图形的性质和特点。
在平面几何中，可以利用图形的形状、面积、周长等性质，让学生更深入地了解不同图形之间的关系和特点。
在立体几何中，通过图形的形状、表面积和体积等性质，可以帮助学生理解和掌握不同的几何概念，比如正方体、三棱锥、球体等。
同时，利用图形进行探究，还可以激发学生对于几何问题的求解兴趣，培养他们的探究能力和解决实际问题的能力。
三、提高学生的计算能力数形结合还能够帮助学生提高计算能力，尤其是对于带有图形的数学问题。
通过画出几何图形，让学生能够把题目中抽象的数据转化为形象的图形，更好地理解数学问题。
例如，在计算三角形的面积时，先利用图形求出三角形的底和高，然后根据公式进行计算，这样不仅可以加深学生对于几何概念的理解，同时也能提高学生的计算能力。
四、激发学生的创意思维利用数形结合还可以帮助学生发展创意思维。
学生在解决难题时，可以利用图形排除一些错误的答案，或是发掘出某种特定的规律，从而提高解题的效率和准确性。
例如，利用图形判断正方形的对角线互相垂直，从而快速得出对角线的长度等信息。
此外，利用图形还可以模拟一些实际情景，例如模拟一座桥的承重能力等问题，启发学生创造性地解决问题。
数形结合思想方法在高中数学教学中的运用
数形结合思想方法在高中数学教学中的运用
数形结合思想是一种将数学和几何图形相结合的思维方法，通过将数学理论与几何图
形相结合，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
在高中数学教学中，数形结合思想
方法的运用可以提高学生的主动性和积极性，提升他们的学习兴趣和学习效果。
一、在平面几何中的运用
在平面几何中，数形结合思想方法可以应用于求解各种图形的面积、周长、角度等问题。
例如，通过将正方形分解成若干小正方形，就可以计算出正方形的面积；通过将三角
形分解成若干个直角三角形，可以计算出三角形的面积；通过将不规则图形分解成若干个
正方形，可以计算出其面积等。
这种方法可以使学生在计算面积和周长时更加直观和便捷，提高计算效率。
三、在初等数学中的运用
在初等数学中，数形结合思想方法可以应用于计算各种问题的解答。
例如，在代数方
程求解中，结合几何图形可以更好地理解代数方程的意义和解法；在函数图像的绘制中，
可以通过几何图形的变化更加直观地了解函数的性质和变化规律；在概率统计中，可以通
过几何图形进行可视化的分析和理解等。
这种方法可以使学生更加直观地了解数学知识，
并且可以更好地应用于实际问题的解答。
综上所述，在高中数学教学中，数形结合思想方法的运用可以提高学生的学习效果和
兴趣，让他们更加轻松地掌握数学知识。
同时，这种方法也可以培养学生的逻辑推理和空
间想象能力，让他们在学习和实践中得到更加全面和充分的发展。
因此，教师应该充分利
用数形结合思想方法，让学生体验到数学的美妙和实用价值。
平面几何在解析几何中的应用
【利用圆得几何性质解法】圆得圆心.由切割线定理，如图1所示,有,故点在圆外，∴
∴点得轨迹方程为．
【点评】显然直线ＡB就是圆得割线，运用平面几何知识中得切割线定理求轨迹就简单明了,结果就是体现在运算量得到极大地减少，时间成本得到控制.
通过本节微专题学习，发现求解圆得问题时,若能充分揭示问题中得几何关系,灵活运用平面几何知识，解题则会事半功倍、切割线定理、圆幂定理、垂径定理就是圆得对称性得反映，它们在圆中得应用程度非常之广泛、
【例题】已知直线与圆相交于不同两点Ａ，B，点在直线l上，且满足，当变化时,求得轨迹。
图1
【常规解法】设点,
则得参数方程为
将（1）代入，得
显然．
设方程(２）得两根为，由，
依题意点在AB或ＢＡ得延长线上,
∴,即
∴。
即为得轨迹方程，表示以为圆心，为半径得圆.
【点评】由联想到直线得参数方程中得几何意义虽然也很自然，但相对与参数方程在教材中得地位来说对更多高三学生来说亦属不易,还有运算量相比较还就是比较大得，时间成本得控制不如方法一.需要说明得就是如果不用直线得参数方程得方法，纯代数解几得方法去做更就是“眼到手不到”,不可能在指定时间内完成
设直线方程为,由与到直线得距离得比为２:1得到等式,即
数形结合,并蒂花开——数形结合思想在初中数学几何教学中的运用
教法研究数形结合，并蒂花开——数形结合思想在初中数学几何教学中的运用刘亚会摘要：数学作为一门集抽象、复杂的特点于一体的学科，对学生思维方式的要求非常高。
但是小学教育对学生的抽象思维培养并不严格，造成学生进入初中学习几何问题是有一定的困难。
初中教师应该对学生进行正确引导，对学生的抽象思维进行培养，利用树形思维融入日常学习。
本文将数形结合思想渗透入初中教学中，让学生对几何图形有更深入的了解和认识。
关键词：思想；几何；数形结合数学几何的教学一直是初中教学的重难点，因为小学知识体系对抽象思维能力的培养并未重视，所以学生在初中的几何学习并不是很应用自如。
初中教师应该有意将数形结合的思想融入到日常学习中，运用正确的方法，用图形结合习题，帮助学生理解，并培养其抽象思维能力。
以下的一些解题方法可供老师在日常教学中加以运用。
一、“树形结合”在三角函数的应用作为初中知识的重难点之一，三角函数的相关知识点对于初中学生来说无疑是陌生而又有难度的。
理解三角函数的定义，厘清变量之间的关系对于接触函数时间不长的初中生来说是很有难度的。
教师应转变教学方法，以学生不抵触较为有难度的知识点为目标，尽量通过简单的、容易理解的方式为学生讲解。
“数形结合”是有利的方法之一。
例如：只有通过“数形结合”的思想，才能将三角函数问题形象化，体现在图中有助于学生定量分析，将抽象化为具象。
三角函数利用数形结合的思想的难点在于，正确引导学生分析各个变量，以及三角函数在三角形中表达的含义。
学生再解决三角函数相关问题时能够养成画出相应三角形解决问题的习惯，例如在刚开始接触三角函数概念时，需要记忆余切,正切等相关概念，利用三角形辅助，帮助学生理清概念，记忆深刻。
图形的介入会使抽象的函数问题较为具体地呈现出来，例如通过求反比例函数中图形的面积问题，教师可以引导学生从较为简单和方便的方式辅助学生，并且发现反比例函数的性质和变量之间的关系。
二、利用“数形结合”解决几何问题对于初中学生来说，强调抽象思维的几何知识一直是学习中的重难点，要求学生有能力完成“数”与“形”的相互转换。
探析高中数学解题中数形结合思想的应用
探析高中数学解题中数形结合思想的应用
数学解题常常需要使用数形结合思想，即将抽象的数学概念通过几何图形的形式呈现出来，从而更加直观地理解问题，提高解题效率。
本文将探析高中数学解题中数形结合思想的应用。
一、平面几何与函数图像的结合
平面几何和函数图像是两个重要的数学概念，把它们结合起来可以更好地解决很多高中数学中的几何问题。
例如，对于一条曲线的弧长问题，我们可以将它代表的曲线绘制出来，然后根据曲线的弧长公式进行计算。
再比如，对于一个二次函数的最小值问题，我们可以将函数的图像绘制出来，然后通过观察图像来确定最小值的位置和数值。
二、三角函数与单位圆的结合
三角函数是高中数学中的重要内容，而单位圆则是三角函数的重要工具。
我们可将三角函数的定义通过单位圆来理解，再通过单位圆上各个点的坐标确定正弦、余弦、正切等三角函数的值。
这样既能简化计算，又能更好地理解三角函数的性质。
三、解析几何与向量的结合
解析几何是高中数学中难点之一，而向量也是解析几何的重要工具之一。
我们可以用向量来表示点、线、面等几何对象，通过向量之间的运算来推导出解析几何中的公式和定理，从而更加深刻地理解解析几何，更加高效地解决问题。
四、统计与概率的结合
统计和概率是高中数学中的另一个难点。
通过将统计中的概念与概率中的概念结合起来，可以更加直观地理解这两个概念。
例如，在抛硬币和掷骰子的问题中，我们可以用频率和概率的关系来解释，从而更好地理解概率的本质。
数形结合在解析几何中的应用
O
x
2、 圆 x 2 + 2 x + y 2 + 4 y − 3 = 0 到直线 x + y + 1 = 0 的距离等于 2 的点共有 、 （ ）. (B)2 个 (C) 3 个 (D)4 个 （A）1 个 ） 分析】本题涉及到圆与直线的位置关系,为求点的个数 就要解方程组,有一 为求点的个数,就要解方程组 【分析】本题涉及到圆与直线的位置关系 为求点的个数 就要解方程组 有一 定的运算量,但是 题目只要求点的个数,而不要求点的坐标 所以可以不解出方程, 定的运算量 但是,题目只要求点的个数 而不要求点的坐标,所以可以不解出方程 但是 题目只要求点的个数 而不要求点的坐标 所以可以不解出方程 因此,可以借助于图形求解 可以借助于图形求解. 因此 可以借助于图形求解 画出圆 C : ( x + 1) + ( y + 2 ) = 2 2 ,
| 2a + 2b |
2
2、已知方程 x 2 − a − x + 3 = 0 ( a > 0 ) 有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围 、 有两个不相等的实数根， 的取值范围. 【分析】已知方程化为 x 2 − a = x − 3 . 分析】 的图象， 作函数 y = x 2 − a , y = x − 3 的图象， 已知方程 x 2 − a − x + 3 = 0 有两个实数根就是两个函数的图象有两个交点，由图可 有两个实数根就是两个函数的图象有两个交点， 由图可 才有可能。 知，只有 a > 3 ， 即 a > 9 时。才有可能。故实数 a 的取值范围是 a > 9 .
π (D) 0， 2
( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = (3 2) 2 ，
数形结合在平面解析几何中的重要性
数形结合在平面解析几何中的重要性
在平面解析几何中，多项式通常用于解决许多相关问题。
多项式
可以用来表示函数，而这些函数又可以用来描述数学中的形状，因此
它们对于理解平面解析几何具有重要性。
多项式的一个重要性质是，它们可以描述出一个平面形状的特征。
例如，假设我们有一个多项式f(x)=ax^2+bx+c，它可以表示一个二次
曲线，其特征如系数a的非零值所示。
这些系数可以用来表示曲线的
凹凸性和形状，使曲线变得更加容易理解和描述。
另外，多项式在解决类似于高斯线和泰勒线计算问题时也发挥了
重要作用。
高斯线是指一组多项式及其导数值的集合，它与一个特殊
函数f(x)相关，使得所有的多项式函数在不同点上的值都相等。
这样
的多项式可以用来求解复杂的几何问题，而不需要考虑其他的约束条件。
此外，多项式也可有用在曲线积分方面。
曲线积分是一种求解某
一曲线下一定区间内函数值的积分算法。
曲线积分可以利用多项式函
数表示出一个特定形状，可以用来求解整个曲线积分问题。
可以看出，多项式在平面解析几何中具有十分重要的作用。
它们
能够描述出一幅图像的特征，使图像变得更加容易理解和描述；同时，它们也能有效地解决高斯线等复杂问题，以及曲线积分等问题。
因此，多项式在平面解析几何中扮演着重要的角色，是解决平面解析几何问
题的基础。
浅谈数形结合思想的应用
浅谈数形结合思想的应用数学和几何学已经成为人类文明的基础之一，两者之间有着紧密的联系。
数形结合思想正是将数学和几何学结合起来的一个思维方式，这种思维方式既能使人能够更好地理解数学概念，也能够使几何图形的抽象概念具有更强的可计算性。
本文将从数学和几何学的角度，对数形结合思想的应用进行浅谈。
一、数学角度1.1 平面几何中的应用在平面几何中，数形结合思想的应用可以帮助我们更加清晰地认识各种几何图形的性质和特征。
以圆为例，圆的周长、面积、内切正多边形的边长和面积等数学概念与圆的外观、半径、直径、弦等几何概念有着密切的联系，数形结合思想可以使这些概念更加直观和易于理解。
1.2 立体几何的应用在立体几何中，数形结合思想同样有着广泛的应用。
例如，我们可以通过体积计算来计算各种立体体形的体积，在这个过程中需要用到一些几何性质，例如立方体的长宽高等，运用数形结合思想，我们可以更加直观地理解几何性质，更加准确地计算出立体体形的体积。
二、几何学角度2.1 图形的计算几何图形的计算常常需要取得图形的各种数据，例如圆的直径、弧度、面积等，三角形的边长、角度等，无论在平面几何还是立体几何中都是如此。
这些数据的准确获得需要通过具体计算方式来实现，结合数形的思想，能够根据需要来选取适当的计算方式，从而实现准确计算。
2.2 几何图形的变换几何图形的变换是几何学的核心内容之一。
几何图形的变换包括平移、旋转、对称、放大等，这些变换需要根据不同的需求来灵活地运用，而数形结合思想能够帮助人们更直观地理解图形的变化过程，从而更加深入地理解几何图形的性质。
三、应用举例3.1 三角函数的计算三角函数是数学中常用的函数，常用的包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数的计算需要用到三角形的各种性质和技巧，例如勾股定理、正弦定理、余弦定理等，并利用数形结合思想来确保计算的准确性。
3.2 空间图形面积的计算空间中的几何图形包括球体、棱锥、棱柱等，这些图形的面积计算需要通过数形结合的思想，依据图形的具体特征来确定计算方案和公式，并通过计算得到准确的结果。
数形结合在解析几何中的应用
解㊀(１)记ｆｘ()＝２－１ｘꎬ则ａｎ＋１＝ｆａｎ().解方程ｆｘ()＝ｘꎬ得ｘ０＝１为函数ｆｘ()的不动点.由ａｎ＝２－１ａｎ－１ꎬ可得ａｎ－１＝ａｎ－１－１ａｎ－１ꎬ即１ａｎ－１－１ａｎ－１－１＝１ꎬ所以１ａｎ－１{}是以１ａ１－１＝－５２ꎬ公差为１的等差数列.于是１ａｎ－１＝１ａ１－１＋(ｎ－１) １＝ｎ－７２ꎬ故ａｎ＝１＋１ｎ－３.５＝２ｎ－５２ｎ－７.容易发现ꎬｌｉｍｎңɕａｎ＝１恰好是函数的不动点.(２)记ｆ(ｘ)＝ｘｘ＋２ꎬ则ａｎ＋１＝ｆａｎ().解方程ｆｘ()＝ｘꎬ得ｘ１＝０ꎬｘ２＝－１为函数ｆｘ()的不动点.由ａｎ＋１＝ａｎａｎ＋２得ꎬａｎ＋１＋１＝２ａｎ＋１()ａｎ＋２ꎬ两式相除得ａｎ＋１＋１ａｎ＋１＝２ ａｎ＋１ａｎꎬ于是数列ａｎ＋１ａｎ{}为等比数列ꎬ从而ａｎ＋１ａｎ＝ａ１＋１ａ１ ２ｎ－１＝２ｎꎬ故ａｎ＝１２ｎ－１.容易发现ꎬｌｉｍｎңɕａｎ＝０恰好是函数的一个不动点.评注㊀形如ａｎ＋１＝Ａａｎ＋ＢＣａｎ＋Ｄ的分式递推式ꎬ记特征函数ｆｘ()＝Ａｘ＋ＢＣｘ＋Ｄ的不动点为αꎬβꎬ当α＝β时ꎬ１ａｎ－α{}成等差数列ꎻ当αʂβ时ꎬａｎ－αａｎ－β{}成等比数列.递推数列的收敛点就是函数的不动点ꎬ函数迭代的重复反馈过程的活动ꎬ它的目的常常是为了逼近所需的目标或结果ꎬ这是工程物理中经常见到的.㊀㊀参考文献:[１]樊汝萍.几类函数的迭代问题的研究[Ｄ].重庆:重庆师范大学ꎬ２０１５.[责任编辑:杨惠民]数形结合在解析几何中的应用张㊀俊(广东省佛山市三水区三水中学㊀５２８１００)摘㊀要:数形结合ꎬ即 数 与 形 结合起来ꎬ进而发挥 以数助形 以及 以形助数 的作用.直观来讲ꎬ 数 是 形 的抽象ꎬ而 形 则是 数 的具体化.虽然是数学知识两种不同的表现形式ꎬ但是如果能让两者灵活转换ꎬ能够帮助学生解决很多数学问题.本文着重对 数形 结合在高中数学几何解题中的应用进行了探讨.关键词:数形结合ꎻ高中数学ꎻ几何解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０４－０００４－０２收稿日期:２０１８－１１－１５作者简介:张俊(１９７８.２－)ꎬ男ꎬ湖南省武冈人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教与学研究.㊀㊀华罗庚曾用 数无形ꎬ少直观ꎻ形无数ꎬ难入微 这句话对数形结合进行了描述ꎬ可见数形结合的重要性.本文从求解面积问题㊁周长问题㊁轨迹问题等等方面ꎬ对数形结合的具体应用进行了分析.㊀㊀一㊁面积问题例１㊀在直线３ｘ＋４ｙ＋０＝０上有动点ＰꎬＰＡꎬＰＢ是圆ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ＋１＝０的两条切线ꎬ且ＡꎬＢ是切点ꎬＣ是圆心ꎬ求四边形ＰＡＣＢ面积的最小值.解题㊀通过分析题意ꎬ需要构建直角坐标系(如图１所示):ȵＳＰＡＣＢ＝２ＳәＰＡＣ＝２ ＰＡ ＡＣ＝ＰＡ＝ＰＣ２－１.倘若要达到题意要求ꎬ求出四边形ＰＡＣＢ面积的最小值ꎬ那么就意味着必须使ＰＣ最小.从图１来看ꎬ即点Ｃ４图１到定直线上的动点Ｐ距离最小ꎬ可达到题意要求ꎬ即点Ｃ(１ꎬ１)到直线３ｘ＋４ｙ＋８＝０的距离ꎬ而ｄ＝３ １＋４ １＋８３２＋４２＝３.ʑ(ＳＰＡＣＢ)ｍｉｎ＝３２－１＝２２.就本题来讲ꎬ直接根据题意进行求解ꎬ难度较大ꎬ但是利用 点到直线 的距离公式ꎬ便可以提升解题的效率以及准确性.㊀㊀二㊁周长问题数形结合是一种重要的解题手段ꎬ在具体使用过程中主要有两种情况:第一ꎬ借助数的精确性来对形的某种属性进行概述ꎬ即 以数辅形 ꎻ第二ꎬ通过图形来概述某种数量关系ꎬ即 以形助数 .其中 以形助数 是数形结合在几何解题中的常用手法ꎬ通过分析数学问题当中条件与结果之间的关系ꎬ进一步理解代数意义与几何直观ꎬ从而精确刻画代数关系ꎬ并与几何进行结合以及转化ꎬ将解题思路梳理清楚ꎬ使其解题更加简单㊁简化.例２㊀已知双曲线ｙ２２５－ｘ２１４４＝１ꎬ过双曲线的上焦点Ｆ１作圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝２５的一条切线ꎬ并且切点为Ｍꎬ而交双曲线的下支于点ＮꎬＴ为ＮＦ１的中点ꎬ求三角形ＭＯＴ外接圆的周长.解题㊀ȵＦ１Ｍ为圆的切线ꎬʑＯＭʅＦ１Ｍꎬ在直角三角形ＯＭＦ１中ꎬＯＭ＝５.设双曲线的下焦点为Ｆ２ꎬ连接ＮＦ２ꎬʑＯＴ为әＦ１Ｆ２Ｎ的中位线ꎬʑ２ＯＴ＝ＮＦ２.倘若设ＯＴ＝ｘꎬ那么可以得知ＮＦ２＝２ｘꎬ又ȵＮＦ１－ＮＦ２＝１０ꎬʑＮＦ１＝ＮＦ２＋１０＝２ｘ＋１０ꎬʑＴＦ１＝ｘ＋５.图２根据勾股定理得之:Ｆ１Ｍ２＝ＯＦ１２－ＯＭ２＝１４４ꎬＦ１Ｍ＝１２ꎬʑＭＴ＝ｘ－７.在直角三角ＯＭＴ当中ꎬＯＴ２－ＭＴ２＝ＯＭ２ꎬ即ｘ２－(ｘ－７)２＝２５ꎬʑｘ＝３７/３.由于三角形ＯＭＴ是直角三角形ꎬ所以ꎬ外接圆的直径为:ＯＴ＝３７７ꎬ求得三角形ＭＯＴ的外接圆周长为３７７π.该题求解 三角形外接圆的周长 ꎬ实则也对 直线与双曲线的位置关系 ㊁ 双线定义 等等知识的数形结合方法的应用进行了考查.对于高中学生来说ꎬ解析几何是比较能够掌握的知识点ꎬ然而计算却是解析几何的难点ꎬ所以ꎬ需要采用更好的解题方法ꎬ尽可能减少解题过程中的阻碍因素ꎬ善用 以形助数 ꎬ通过图形来替代大量的计算ꎬ从而提高解题效率ꎬ减少不必要的失误.㊀㊀三㊁轨迹问题在求解曲线的轨迹方程时ꎬ可以结合曲线的几何性质以及待定系数法ꎬ求得轨迹方程.例３㊀在әＡＯＢ中ꎬøＡＯＢ＝π３ꎬＡＢ在直线ｌ:ｘ＝３上移动ꎬ求әＡＯＢ外心的轨迹方程.解题㊀设外心为Ｍ(ｘꎬｙ)ꎬ那么在әＡＯＢ中ꎬ由于øＡＯＢ＝π３ꎬ因此ꎬøＡＭＢ＝２π３.过Ｍ作ＭＮʅＡＢ于Ｎꎬ那么øＡＭＮ＝π３.另外ꎬәＡＯＢ的外心是Ｍꎬ所以ＭＡ＝ＭＯꎬ且ＭＮ＝１２ＭＡ＝１２ＭＯꎬ即３－ｘ＝１２ｘ２＋ｙ２(ｘ<３)ꎬ并将其化简整理成为:３(ｘ－４)２－ｙ２＝１２(ｘ<３).图３总之ꎬ数形结合是解决高中几何问题的一种重要思想方法ꎬ能够将原本复杂化的问题变得更加简单化ꎬ让逻辑推理以及计算过程变得更加直观与清晰ꎬ获得全新的解题思路ꎬ从而提高解题效率与质量.因此ꎬ数形结合在高中几何解题中的应用还应该继续深入研究ꎬ以求能够找到更多具有实践操作性的方法ꎬ帮助学生提高解题能力ꎬ提升数学成绩.㊀㊀参考文献:[１]黄朝斌.高中数学 数形结合 在解题中的应用[Ｊ].科学咨询:教育科研ꎬ２０１８(０５):８４.[２]蔡美玉.浅谈数形结合在高中数学教学中的应用[Ｊ].才智ꎬ２０１８(１３):８２.[３]邓雅文.运用数形结合巧解高中数学解析几何问题[Ｊ].科学技术创新ꎬ２０１８(０３):５５－５６.[责任编辑:杨惠民]５。
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图５
例 ４ 过双 曲线 ２ ｙ２ ｘ ｎ Ｄ ‘ ‘
一
：
ｌ ｎ＞ ０６＞ （ ，
点， 当Ｐ、 Ａ三点共 线时 Ｐ Ａ— Ｐ Ｆ ≤ 即 Ｆ、
．
０ 的右焦点 Ｆ作倾斜 角为 ６ 。 ） ０ 的直线交双 曲线
Ｐ —ＰＦ ： Ｆ 因此 Ｐ ＋ＪＢ取到最大值 Ａ Ａ， Ｆ ）
对教材 中出现 的例题或 习题进行适当 的改
解： 图６ 过点 、 如 ， Ｂ作 双曲线右准线的垂
线， 垂足分别为Ｃ、 过点Ｂ作直线 Ｃ的垂线， Ｄ，
垂足为Ｅ点． ＢＦ＝ ｔ 则 Ａ 设 ， Ｆ＝ ５， ｔ根据双曲 线 的 定 义， ＡＣ ： ， ＢＤ ： 兰 所 以Ａ ： 篁 Ｅ
Ｐ ｜ ｏ Ｆ
Ｐ
１／ ／
０＼ Ｊ Ｚ
Ｂ１
图 ３
评注： 解答这道题的关键是发现点 Ｊ是椭圆 Ｅ ；
的右焦点， 根据椭圆定义有 Ｐ Ｂ＋Ｐ ＝２ （ Ｆ ａ Ｆ为
椭 圆的 左焦 点）把 ＰＡ＋ ＰＢ转 化 为 ＰＡ＋２ ， ａ— ＰＦ ＝ １ ０＋ ＰＡ — ＰＦ，设 点 Ｐ 椭 圆上 任 意 为
问题 的几何 意义， 最终代 数问题几何化． 解析 几何 问题是高考的热点之一， 它是用代数的方法 来解决几何问题， 体现 了“ 数形结合” 的数学 思想 方法． 不少同学在做解析几何题 目时感觉这类题 目思路 比较明确， 但计算量 比较大， 因此解题过 程 中往往半途而废， 有时也会“ 小题大做” 花 费 ， 很多时 间．这就 引发 我们对 “ 形结合” 数 的思考， 数与形 的互相转化， 不单单是单 向的， 而应该是 双 向的， 需要 “ ’ “ 的互助互 利， 与 形” 实现两者 的有机结合， 那样才真 正有助于完美解 决数学
问题 ．
３
２， 且
＝一 ， 得
Ｂ （ ２ ，） 一 ７ ２．固定点Ｑ可发现， Ｐ、 ５ 当Ｂ 、 Ｑ三
点共线时， ＰＢ＋ＰＱ的值最小， 当Ｂ 、 、 Ｃ 而 Ｐ Ｑ、 四点共线时， ＰＢ＋Ｐ Ｑ与圆半径 ３ 的和最小． 故 Ｐ ＋Ｐ Ｂ Ｑ的最小值为 Ｂ 一３
过点 且与 ｌ， 都相切． ｌ１ ２ （） ｆ所在直线的方程和 圆 的方程； １求 ２ （） Ｐ、 ２设 Ｑ分别是直线ｆ 圆 上的动点， 和 求
Ｐ ＋ＰＱ的最小值及此时点 Ｐ的坐标． Ｂ （） １略解： ： ／ 一４＝ ０ 圆 的方程 １ ｖ３ ２ ｘ一 ；
如图２ 已知Ｍ （ ｌ３、 ６２， ， 一 ，）ｘ（，）点Ｐ在 轴
１ ０＋
于 、 Ｂ两点， 若 ：５ ， 商 则该双曲线的离
心率为
＿＿— —
这个问题在课本上也能找到它的原型， 苏教 版必修 ２ １ ７ 第 １ 页第 ２ 题 ０
Ｍ
ｏ
Ｎ
Ｐ ａ
‘
图 ４
＼ ／ ＼ ＼ ／。＼ ／Ｄ ／ Ｆａ
图 ６
，
，
一
如图４ 已知Ｍ （，）Ｎ（， ２， 轴上取 ， １３、 ５一 ）在Ｘ 点 Ｊ 使得 ＩＭ —ＰⅣＩ Ｆ ） ， Ｐ 最大， 点Ｐ的坐标． 求 因此与上例一样， 利用平面几何中熟悉 的方
ｇ ｔ
Ｂ
＼
１／ 。
图 １
一、＼ ＼“
我们看到， 有不少问题， 若借助于平面几何
ｆ ，
。
一 竺二墨 兰
知识， 从平面几何的角度去审视解析几何的问题 ，
将 隐 含在 解 析 几 何 问题 中的 平 面几 何 背景 挖 掘
由ｌ２ 一一 一 ’ ＋１ ２ ３
值为—
—
．
解： 如图 ５ 设 Ａ ＝ ｍ， ， Ｆ ＢＦ ＝ ｎ 则 Ａ ： ， Ｆ Ｆ ＝ｍ ： ， 礼 根据抛物线的定义， Ｒ ＡＡ Ｂ 在 ｔ Ｃ
中， ＢＣ ＝ ｍ —ｎ ＡＢ ＝ ｍ ＋ ｎ 所 以 ＣＳ ０ ， ， Ｏ 。： ６
ＢＣ
＝
ｍ
－ ｎ
，
则
ｎ
＝
３．
Ａ
一
／
：
出来， 往往会起到意想不到的效果． 下面通过几道例题谈谈笔者的体会．
一
得 Ｐ标 （ ，小为；一 点 坐为 ） 值 Ｊ ， 最 Ｅ Ｃ
３＝２／ 一３ 、 ／ ．
、
在线段和差的最值问题 中的应用
例 １ 如 图１ 在平面直角坐标 系ｘ 中， ， Ｏｙ 平 行于 Ｘ 轴且过点 Ａ ａ ｇ ２ 的入射光线 １被直线 （Ｖ ，） １
ｆ Ｙ＝ ： 反射． 反射光线 １交 Ｙ ２ 轴于点Ｂ， 圆
评注： 可以看到， 解答第 （） ２ 小题的关键是把 ＰＢ＋Ｐ Ｑ的最小值问题转化为先求 Ｐ Ｂ＋ＰＣ的
最小值问题， 而后者即是求直线上一动点到两个 定点的距离和的问题， 这是平面几何 中学生早就 处理过的数学 问题， 利用轴对称即可顺利解决． 该 问题在课本上也可以找到它的原型， 即苏 教 版必修 ２ ７ 第９ 页第 １ 题： ８
２１ 年第 ６ ０２ 期
Ｍ
＼ ＿
、 、
ｏ 、 ： Ｐ、、 ： 、 ： 、 ：
、 、
、
Ｎ１
例 如３ 圆２箍 １ 两 ２ 图 椭 ＋ ＝内 点 ，ｘ 有
Ａ（，）Ｂ（，）Ｐ为椭 圆上一点， Ｐ ２２、 ３０， 则 ＋Ｐ 的最大值为— — ．答案：０ ／ （ １ ＋、 ） ／
上， 且使 Ｐ ＋Ｐ Ⅳ取最小值， 求点Ｐ的坐标． 这样，“ ’ “ 互助互利， 与 形” 即可顺利解决
这 一 问题 ．
为（ 一３／ ） ＋ １ 、３ ／ ＋（ ） ＝９ ．
（） 设点 Ｂ（， ４关于 ｚ ２解： ０一 ） 的对称点 Ｂ ｘ ， ｏ
６２ －８
数 学教 学 ２ １ 年第 ６ ２ 期 数 学 教 学
—７ ２
数形 结 合 的再 思考
一
例 说 平 面 几 何 在 解 析 几何 中 的应 用
２３ ２ 江苏省常卅市北郊中学 程守山 １２ ０ 】
《 普通高 中数学课程标准》 指出， 在平 面解
则 Ｔ －４＝ Ｙ Ｏ
，
ｏ Ｘ
析几何教学时， 首先将几何 问题代数化， 用代数 的语言描述几何要素及其关系， 进而将几何 问题 转化为代数 问题； 处理代数问题 时， 要分析代数