1.3.1 单调性与最大(小)值(2)(教案)

§1.3 函数的基本性质

§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）

【教学目标】

l.知识与技能

理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

2. 过程与方法

通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识。

3. 情感态度与价值观

利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性。

【教学重点】

函数的最大（小）值及其几何意义。

【教学难点】

利用函数的单调性求函数的最大（小）值。

【教学方法】

学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤。

【教学过程】

【导入新课】

思路：画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+； ②()3

[1,2]f x x x =-+∈-；

③2

()21f x x x =++； ④2

()21[2,2]f x x x x =++∈-。

【推进新课】

【新知探究】

【知识点1】

1、函数的最大（小）值的定义：

一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）存在0x I ∈，使得()0f x M =；

（2）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()f x M ≤）。 那么称M 是函数()y f x =的最大（小）值。 【注意】

（1）函数的最大（小）值首先应该是该函数的函数值，即存在0x I ∈，使得()0f x M =；

（2）函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或

()f

x M ≤

）。

【知识点2】

2、求函数最值的方法： （1）图像法；（2）配方法；（3）换元法；（4）分离常数法；（5）判别式法； （6）单调性法。

结论：最大值：已知函数()y f x =的定义域为[],a b ，a c b <<，当[],x a c ∈时，()f x 是单调增函数；

当[],x c b ∈时，()f x 是单调减函数，则当x c =时()f x 取得最大值()()m ax f x f c =。

最小值：已知函数()y f x =的定义域为[],a b ，a c b <<，当[],x a c ∈时，()f x 是单调减函数；

当[],x c b ∈时，()f x 是单调增函数，则当x c =时()f x 取得最小值()()min f x f c =。

【例1】课本30P 例3

【变式1】（1）将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其

销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

（2）求函数|3||1|y x x =--+的最大值和最小值。

【例2】（1）课本30P 例2

（2）求函数y x =+的最小值；

（3）求函数y x =+的最大值。

【变式2】（1）课本32P 练习5 （2）求函数()12

x f x x +=-在区间[]3,6上的最值。

（3）求函数11,2y x x ⎛

⎫⎡⎤=∈

- ⎪⎢⎥⎣

⎦⎝⎭的最值。

【例3】已知不等式2

20x x a +-≤在区间[]2,1-上恒成立，求实数a 的取值范围。

【变式3】已知不等式1

0x a x +-≥在区间1,32⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上恒成立，求实数a 的取值范围。

【例4】已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对一切0,0a b >>都有()()a f f a f b b ⎛⎫

=-

⎪⎝⎭

，当1x > 时，有()0f x >。

(1)求()1f 的值；(2)判断()f x 的单调性并加以证明。 (3)若()42f =，求()f x 在[]1,16上的值域。

【例5】已知二次函数()2

23f x x x =-+。

（1）当[]2,0x ∈-时，求()f x 的最值；（2）当[]2,3x ∈-时，求()f x 的最值； （3）当[],1x t t ∈+时，求()f x 的最小值()g t 。

【变式4】求函数2

21y x ax =--在[]0,2上的最值。

【总结】二次函数在闭区间上的最值问题，如二次函数()()()2

0f x a x h k a =-+>在区间[],m n 上的讨

【知能训练】

1、课本习题1.3A 组5 B 组2；

2、点金训练 1.3.1 单调性与最大（小）值 点金测评 创新训练。

3、补充练习： 一、选择题

1

．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎡⎦⎤

12，2上的最大值是( )

A ．－12

B ．－1 C. 1

2 D ．3

2．函数y ＝x ＋2x －1( )

A ．有最小值12，无最大值

B ．有最大值1

2

，无最小值

(1)(2)(4)(3)

C ．有最小值1

2

，最大值2 D ．无最大值，也无最小值

3．函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x ＋6， x ∈[1，2]

x ＋7， x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值为( )

A ．10,6

B ．10,8

C ．8,6

D ．以上都不对 4．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( )

A ．最小值是0，最大值是4

B ．最小值是－4，最大值是0

C ．最小值是－4，最大值是4

D ．没有最大值也没有最小值 5．函数f (x )＝1

1－x (1－x )

的最大值是( )

A.45

B.54

C.34

D.43

6．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是( )

A ．[2，＋∞)

B ．[2,4]

C ．(－∞，2]

D ．[0,2] 二、填空题

7．函数y ＝2|x |＋1

的值域是________．

8．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a

x ＋2在区间[2,4]上的最大值为________，最小值为________．

三、解答题

10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[1

2

，3]上的最大值和最小值；

(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．

11．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.

(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．