一阶电路分析
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１２（ａ）、(b)、(c)所示。其中ＲC为 电容极板间介质损耗，ＬＣ为电容引线
仅需要了解它的电容量，还要注意不得 超过它的额定电压。电压过大会使电容 器介质击.２ 换路定则及初始值计算
在电路分析中，把电路元件的连 接方式或参数的突然改变称为换路。 换路常用开关来完成。换路意味着电
与电阻元件相类似，若约束电容元件
的ｑ-u平面上的曲线为通过原点的直线，
则称它为线性电容；否则为非线性电容。 若曲线不随时间而变化，则称为非时变电
５.１.
电路理论中，电感元件是(实际)电感
通常把导线绕成线圈称为电感器或电 感线圈。当线圈通过电流时即在其线圈内 外建立磁场并产生磁通Φ，如图５-７所示。 各线匝磁通的总和称为磁链ψ（若线圈匝
(2)找出所需的初始条件求解微分 方程。
应用换路定则是有条件的，即必须
保证电路在换路瞬间电容电流、电感电
压为有限值。表现在电路结构上则要求
电路在换路后不形成仅由uＳ-Ｃ或Ｃ-Ｃ
构成的回路(简称全电容回路)以及仅由
ｉＳ-Ｌ或Ｌ-Ｌ构成的割集(简称全电感
割集)。一般电路均能满足这个条件，换 路定则成立。对某些不满足上述条件的
电感电流一般情况下不能跳变也
电感元件和电容元件是互为对偶 元件，它们的含义、特性都具有相应 的对偶关系。
5.1.3电容器和电感器的模型
实际部件可以近似地用理想电路元件 作为它的模型，条件不同，即使是同一个
实际电感器(电感线圈)可以用图５-
１１（ａ）电感元件作为其模型。如果
线圈的绕线电阻的影响不能忽略，则其
第5章 一阶电路分析
５.１ 电容元件和电感元件 ５.２ 换路定则及初始值计算 ５.３ 一阶电路的零输入响应 ５.４ 一阶电路的零状态响应 ５.５ 一阶电路的全响应 ５.６ 一阶电路的三要素法 ５.７ 一阶电路的特殊情况分析 ５.８ 阶跃信号和阶跃响应 ５.９ 脉冲序列作用下的一阶电路分析
５.１ 电容元件和电感元件
三要素公式适用于恒定激励下一阶电 路任意支路的电流或任意两端的电压。而 且不仅适用于计算全响应，同样也适用于 求解零输入响应和零状态响应。在初始值
电路中，有两类激励：一类是内激励， 另一类是外激励。
５.７ 一阶电路的特殊情况分析
本节讨论由于一阶电路中实际元件模
在电路模型中，可能出现由全电容或
同时包含理想电压源组成的回路(简称全电 容回路)；也可能出现由全电感或同时包含 理想电流源组成的割集(简称全电感割集)。 换路瞬间电容电压或电感电流不再是连续
５.４ 一阶电路的零状态响应
零状态响应即零初始状态响应， 是电路仅有外激励引起的响应。本节 只讨论一阶电路在恒定激励(直流)作 用下的零状态响应，且主要研究动态
５.４.１RC电路的零状态响应
电路如图５-２５所示。
图５-２５RC零状态电路开关
５.４.２RL电路的零状态响应
电路如图５-２７所示
位为亨［利］(简称亨，符号为H)。１亨
＝１韦／安。也可以用毫亨(ｍＨ）或微亨 （μＨ
１μＨ＝１０－３ｍＨ＝１０－６Ｈ
电感元件的功率与电容元件一样 有时为正，有时为负。功率为正值时， 表示电感吸收能量，储存在磁场中； 功率为负值时，表示电感释放储存在 磁场中的能量。所以电感也是一个储 能元件，而不是耗能元件。
模型如图５-１１（ｂ）所示，其中ＲＬ
为绕线电阻；如果线圈在高频条件下工
作，线圈的匝间电容的影响不能忽略，
则其模型如图５-１１（ｃ）所示，其中 ＣＬ为匝间电容。一个实际电感器使用
时，不仅需要了解它的电感量，还要注
意不得超过它的额定电流。电流过大会
图５-１１电感线圈的模型
类似地，可以得到实际电容器在不 同要求下的3种电路模型，分别为图５-
函数，即换路时uＣ或ｉＬ会发生跳变，换
路定则失效。瞬间电荷守恒定律和瞬间磁
链守恒定律将是解决问题的依据。
在电路模型中，还可能出现由全电容 组成的割集(简称全电容割集)；也还可能 出现由全电感组成的回路(简称全电感回 路)。
一阶电路的三要素公式总是成立的。
５.８ 阶跃信号和阶跃响应
５.８.１
在动态电路分析中，广泛引用阶跃函 数来描述电路的激励和响应。
图５-４２阶跃函数与开关的关系
利用单位阶跃信号可以方便地表示各
种信号。例如图５-４３（ａ）所示的矩形 脉冲信号，可以看成是图５-４３（ｂ）、 （ｃ
ｆ（ｔ）＝Ａε（ｔ）－Ａε（ｔ－ｔ０）
图５-４３ 矩形脉冲的分解
５.８.
零状态电路在单位阶跃信号作用下的
响应称为(单位)阶跃响应，并用ｓ（ｔ）
来表示。
从电路换路后的能量来源可以推 论：电路的全响应必然是其零输入响 应与零状态响应的叠加。下面以RC电
电路如图５-３０所示 。
图５-３０RC全响应电路
５.６ 一阶电路的三要素法
在前面几节的分析中，无论是求零输 入响应、零状态响应还是全响应，总是以 电容电压或电感电流为主要分析对象。但 实际上一阶电路千差万别，需求响应也各 不相同，因此仅计算电容电压或电感电流 显然并不合适。
图５-１电容元件的符号
它的定义为：一个二端元件，在任一
时刻ｔ，它所积聚的电荷ｑ（ｔ）与其端 电压u（ｔ）之间的关系可以用ｑ-u平面
上的一条曲线来确定，则称该二端元件为 电容元件，简称电容。该曲线称为电容元
件在ｔ时刻的库—伏特性曲线。电容元件
是一种电荷与电压相约束的元件，其电荷 瞬时值与电压瞬时值之间具有代数关系。
图５-２７RL零状态电路
５.４.３一阶电路电容电压、电 感电流零状态响应的一般公式
恒定激励下零状态电路的过渡过程实质上
是动态元件的储能由零逐渐增长到某一定值的过 程。因此，尽管一阶电路的结构和元件参数可以 千差万别，但电路中表征电容或电感储能状态的
变量uＣ或ｉＬ却都是从零值按指数规律逐渐增长
至稳态值。此稳态值可以从电容相当于开路、电 感相当于短路的等效电路来求取，此电路称为终 值电路。
在零状态电路中，当激励增大K倍， 零状态响应也相应增大K倍。若电路有多 个激励，则响应是每个激励分别作用时产 生响应的代数和。这种关系称为零状态线 性。它是线性电路中齐次性和可加性在零 状态电路中的反映。
５.５ 一阶电路的全响应
上两节分别讨论了只有非零初始状态 和只有外激励作用时一阶电路的响应，即 零输入响应和零状态响应。本节将讨论非 零初始状态和外激励(仍限于直流电流)共 同作用时的一阶电路的响应，这种响应称 为全响应。
(1)Ｔ≥４τ时的情况
通常，将电阻两端作为输出端，时间 常数非常小的RC电路称为微分电路。
(2)Ｔ＜４τ时的情况
将电容两端作为输出端，时间常数非
常大的ＲＣ电路称为积分电路。
在电阻电路中，电路的激励和响应之 间具有线性的代数关系，这意味着电路中 激励和响应具有相同的变化规律，换路时 电路的响应从一种变化规律立即变为另一 种变化规律。当电路中含有动态元件时， 由于它们是惯性元件，换路时能量的存储 或释放不能瞬间完成，表现为电容电压、 电感电流只能连续变化而不能发生跳变。
５.１.
电路理论中，电容元件是(实际)
把两块金属极板用介质隔开就可构成 一个简单的电容器。由于理想介质是不导 电的，在外电源的作用下，两块极板上能 分别积聚等量的异性电荷，在极板之间形 成电场，可见电容器是一种能积聚电荷、 能储存电场能量的器件。电容元件是实际 电容器的理想化模型，其电路符号如图５１所示。
电路，换路定则失效。
５.３ 一阶电路的零输入响应
对于任意一阶电路，换路后总可以用
图５-１７(ａ）来描述。即一阶电路总可
以看成一个有源二端电阻网络N外接一个 电容或电感所组成。根据戴维南定理和诺
顿定理图５-１７（ａ）电路总可以化简为 图５-１７（ｂ）或(ｃ
-
图 ５ １ ７ 一 阶 电 路 的 基 本 形 式
５.３.３一阶电路零输入
电路的零输入响应是输入为零，仅 由电路非零初始状态所引起的响应，它 的变化规律取决于电路本身的特性(电路 结构、元件参数)，与外界的激励无关。 所以，零输入响应又称为电路的自然响 应或固有响应。
在零输入电路中，初始状态可认为是 电路的内激励。电路初始状态增大K倍， 则由此引起的零输入响应也相应地增大K 倍。这种初始状态和零输入响应间的线性 关系称为零输入线性，它是线性电路激励
单位阶跃函数本身无量纲，当用它表 示电压或电流时量纲分别为伏特和安培， 并统称为单位阶跃信号。
在动态电路分析中，单位阶跃信号可
以用来描述开关Ｋ的动作。例如，用单位 阶跃电压源作激励，则相当于ｔ＝０时接 入1Ｖ的电压源，如图５-４２（ａ）、 （ｂ）所示，两者是等效的。类似地，图 ５-４２（ｃ）、（ｄ）也是等效的。
５.９ 脉冲序列作用下的一阶电路分析
脉冲序列指重复脉冲信号。脉冲持续 时间与脉冲间隔时间相同的方波信号就是
一种常见的脉冲序列，如图５-４９(ａ）
所示，其周期是2T。下面讨论图５-４９
（ｂ）所示RC电路在图示脉冲序列作用下
响应的变化规律。
图５-４９脉冲序列信号作用于ＲＣ电路
按照电路时间常数τ与脉冲持续时间T
因而换路后电路的响应有一个逐步过 渡的过程，简称过渡过程或瞬态过程。电 阻电路无过渡过程。而动态电路分析即瞬 态过程分析是分析动态电路从换路时刻开 始直至电路进入稳定工作状态全过程的电
动态电路的分析方法很多，本课 程采用经典的时域分析法。它包括以
(1)依据电路的两类约束，即基尔
霍夫定律和元件的ＶＣＲ建立换路后
称电感。该曲线称为电感元件在ｔ时刻的
韦—安特性曲线。电感元件是一种磁链与
电流相约束的元件，其磁链瞬时值与电流
图５-８电感元件的符号
与电阻元件和电容元件相类似，若约
束电感元件的ψ-ｉ平面上的曲线为通过原
点的直线，则称它为线性电感；否则为非 线性电感。若曲线不随时间而变化，则称
在国际单位制（ＳＩ）中，电感的单
数为N，ψ＝ＮΦ）。可见电感器是一种能
建立磁场、储存磁场能量的器件。
-
图 ５
７ 电 感 线 圈 及 其 磁 通
电感元件是实际电感器的理想化模型，
其电路符号如图５-８所示，它的定义为：
一个二端元件，如果在任一时刻ｔ，它所
交链的磁链ψ（ｔ
ｉ（ｔ）
之间的关系可以用ψ-ｉ平面上的一条曲线
来确定，则此二端元件称为电感元件，简
电路在没有外加激励时的响应称 为零输入响应。因此，零输入响应仅 仅是由于非零初始状态所引起的，也 可以说，是由初始时刻电容的电场储 能或电感的磁场储能所引起的。
5.3.1 ＲＣ电路的零输入响应
电路如图５-１８所示
图５-１８ＲＣ零输入电路
５.３.２ RL电路的零输入响应
电路如图５-２２所示
图５-２２ RL零输入电路
仅需要了解它的电容量，还要注意不得 超过它的额定电压。电压过大会使电容 器介质击.２ 换路定则及初始值计算
在电路分析中，把电路元件的连 接方式或参数的突然改变称为换路。 换路常用开关来完成。换路意味着电
与电阻元件相类似，若约束电容元件
的ｑ-u平面上的曲线为通过原点的直线，
则称它为线性电容；否则为非线性电容。 若曲线不随时间而变化，则称为非时变电
５.１.
电路理论中，电感元件是(实际)电感
通常把导线绕成线圈称为电感器或电 感线圈。当线圈通过电流时即在其线圈内 外建立磁场并产生磁通Φ，如图５-７所示。 各线匝磁通的总和称为磁链ψ（若线圈匝
(2)找出所需的初始条件求解微分 方程。
应用换路定则是有条件的，即必须
保证电路在换路瞬间电容电流、电感电
压为有限值。表现在电路结构上则要求
电路在换路后不形成仅由uＳ-Ｃ或Ｃ-Ｃ
构成的回路(简称全电容回路)以及仅由
ｉＳ-Ｌ或Ｌ-Ｌ构成的割集(简称全电感
割集)。一般电路均能满足这个条件，换 路定则成立。对某些不满足上述条件的
电感电流一般情况下不能跳变也
电感元件和电容元件是互为对偶 元件，它们的含义、特性都具有相应 的对偶关系。
5.1.3电容器和电感器的模型
实际部件可以近似地用理想电路元件 作为它的模型，条件不同，即使是同一个
实际电感器(电感线圈)可以用图５-
１１（ａ）电感元件作为其模型。如果
线圈的绕线电阻的影响不能忽略，则其
第5章 一阶电路分析
５.１ 电容元件和电感元件 ５.２ 换路定则及初始值计算 ５.３ 一阶电路的零输入响应 ５.４ 一阶电路的零状态响应 ５.５ 一阶电路的全响应 ５.６ 一阶电路的三要素法 ５.７ 一阶电路的特殊情况分析 ５.８ 阶跃信号和阶跃响应 ５.９ 脉冲序列作用下的一阶电路分析
５.１ 电容元件和电感元件
三要素公式适用于恒定激励下一阶电 路任意支路的电流或任意两端的电压。而 且不仅适用于计算全响应，同样也适用于 求解零输入响应和零状态响应。在初始值
电路中，有两类激励：一类是内激励， 另一类是外激励。
５.７ 一阶电路的特殊情况分析
本节讨论由于一阶电路中实际元件模
在电路模型中，可能出现由全电容或
同时包含理想电压源组成的回路(简称全电 容回路)；也可能出现由全电感或同时包含 理想电流源组成的割集(简称全电感割集)。 换路瞬间电容电压或电感电流不再是连续
５.４ 一阶电路的零状态响应
零状态响应即零初始状态响应， 是电路仅有外激励引起的响应。本节 只讨论一阶电路在恒定激励(直流)作 用下的零状态响应，且主要研究动态
５.４.１RC电路的零状态响应
电路如图５-２５所示。
图５-２５RC零状态电路开关
５.４.２RL电路的零状态响应
电路如图５-２７所示
位为亨［利］(简称亨，符号为H)。１亨
＝１韦／安。也可以用毫亨(ｍＨ）或微亨 （μＨ
１μＨ＝１０－３ｍＨ＝１０－６Ｈ
电感元件的功率与电容元件一样 有时为正，有时为负。功率为正值时， 表示电感吸收能量，储存在磁场中； 功率为负值时，表示电感释放储存在 磁场中的能量。所以电感也是一个储 能元件，而不是耗能元件。
模型如图５-１１（ｂ）所示，其中ＲＬ
为绕线电阻；如果线圈在高频条件下工
作，线圈的匝间电容的影响不能忽略，
则其模型如图５-１１（ｃ）所示，其中 ＣＬ为匝间电容。一个实际电感器使用
时，不仅需要了解它的电感量，还要注
意不得超过它的额定电流。电流过大会
图５-１１电感线圈的模型
类似地，可以得到实际电容器在不 同要求下的3种电路模型，分别为图５-
函数，即换路时uＣ或ｉＬ会发生跳变，换
路定则失效。瞬间电荷守恒定律和瞬间磁
链守恒定律将是解决问题的依据。
在电路模型中，还可能出现由全电容 组成的割集(简称全电容割集)；也还可能 出现由全电感组成的回路(简称全电感回 路)。
一阶电路的三要素公式总是成立的。
５.８ 阶跃信号和阶跃响应
５.８.１
在动态电路分析中，广泛引用阶跃函 数来描述电路的激励和响应。
图５-４２阶跃函数与开关的关系
利用单位阶跃信号可以方便地表示各
种信号。例如图５-４３（ａ）所示的矩形 脉冲信号，可以看成是图５-４３（ｂ）、 （ｃ
ｆ（ｔ）＝Ａε（ｔ）－Ａε（ｔ－ｔ０）
图５-４３ 矩形脉冲的分解
５.８.
零状态电路在单位阶跃信号作用下的
响应称为(单位)阶跃响应，并用ｓ（ｔ）
来表示。
从电路换路后的能量来源可以推 论：电路的全响应必然是其零输入响 应与零状态响应的叠加。下面以RC电
电路如图５-３０所示 。
图５-３０RC全响应电路
５.６ 一阶电路的三要素法
在前面几节的分析中，无论是求零输 入响应、零状态响应还是全响应，总是以 电容电压或电感电流为主要分析对象。但 实际上一阶电路千差万别，需求响应也各 不相同，因此仅计算电容电压或电感电流 显然并不合适。
图５-１电容元件的符号
它的定义为：一个二端元件，在任一
时刻ｔ，它所积聚的电荷ｑ（ｔ）与其端 电压u（ｔ）之间的关系可以用ｑ-u平面
上的一条曲线来确定，则称该二端元件为 电容元件，简称电容。该曲线称为电容元
件在ｔ时刻的库—伏特性曲线。电容元件
是一种电荷与电压相约束的元件，其电荷 瞬时值与电压瞬时值之间具有代数关系。
图５-２７RL零状态电路
５.４.３一阶电路电容电压、电 感电流零状态响应的一般公式
恒定激励下零状态电路的过渡过程实质上
是动态元件的储能由零逐渐增长到某一定值的过 程。因此，尽管一阶电路的结构和元件参数可以 千差万别，但电路中表征电容或电感储能状态的
变量uＣ或ｉＬ却都是从零值按指数规律逐渐增长
至稳态值。此稳态值可以从电容相当于开路、电 感相当于短路的等效电路来求取，此电路称为终 值电路。
在零状态电路中，当激励增大K倍， 零状态响应也相应增大K倍。若电路有多 个激励，则响应是每个激励分别作用时产 生响应的代数和。这种关系称为零状态线 性。它是线性电路中齐次性和可加性在零 状态电路中的反映。
５.５ 一阶电路的全响应
上两节分别讨论了只有非零初始状态 和只有外激励作用时一阶电路的响应，即 零输入响应和零状态响应。本节将讨论非 零初始状态和外激励(仍限于直流电流)共 同作用时的一阶电路的响应，这种响应称 为全响应。
(1)Ｔ≥４τ时的情况
通常，将电阻两端作为输出端，时间 常数非常小的RC电路称为微分电路。
(2)Ｔ＜４τ时的情况
将电容两端作为输出端，时间常数非
常大的ＲＣ电路称为积分电路。
在电阻电路中，电路的激励和响应之 间具有线性的代数关系，这意味着电路中 激励和响应具有相同的变化规律，换路时 电路的响应从一种变化规律立即变为另一 种变化规律。当电路中含有动态元件时， 由于它们是惯性元件，换路时能量的存储 或释放不能瞬间完成，表现为电容电压、 电感电流只能连续变化而不能发生跳变。
５.１.
电路理论中，电容元件是(实际)
把两块金属极板用介质隔开就可构成 一个简单的电容器。由于理想介质是不导 电的，在外电源的作用下，两块极板上能 分别积聚等量的异性电荷，在极板之间形 成电场，可见电容器是一种能积聚电荷、 能储存电场能量的器件。电容元件是实际 电容器的理想化模型，其电路符号如图５１所示。
电路，换路定则失效。
５.３ 一阶电路的零输入响应
对于任意一阶电路，换路后总可以用
图５-１７(ａ）来描述。即一阶电路总可
以看成一个有源二端电阻网络N外接一个 电容或电感所组成。根据戴维南定理和诺
顿定理图５-１７（ａ）电路总可以化简为 图５-１７（ｂ）或(ｃ
-
图 ５ １ ７ 一 阶 电 路 的 基 本 形 式
５.３.３一阶电路零输入
电路的零输入响应是输入为零，仅 由电路非零初始状态所引起的响应，它 的变化规律取决于电路本身的特性(电路 结构、元件参数)，与外界的激励无关。 所以，零输入响应又称为电路的自然响 应或固有响应。
在零输入电路中，初始状态可认为是 电路的内激励。电路初始状态增大K倍， 则由此引起的零输入响应也相应地增大K 倍。这种初始状态和零输入响应间的线性 关系称为零输入线性，它是线性电路激励
单位阶跃函数本身无量纲，当用它表 示电压或电流时量纲分别为伏特和安培， 并统称为单位阶跃信号。
在动态电路分析中，单位阶跃信号可
以用来描述开关Ｋ的动作。例如，用单位 阶跃电压源作激励，则相当于ｔ＝０时接 入1Ｖ的电压源，如图５-４２（ａ）、 （ｂ）所示，两者是等效的。类似地，图 ５-４２（ｃ）、（ｄ）也是等效的。
５.９ 脉冲序列作用下的一阶电路分析
脉冲序列指重复脉冲信号。脉冲持续 时间与脉冲间隔时间相同的方波信号就是
一种常见的脉冲序列，如图５-４９(ａ）
所示，其周期是2T。下面讨论图５-４９
（ｂ）所示RC电路在图示脉冲序列作用下
响应的变化规律。
图５-４９脉冲序列信号作用于ＲＣ电路
按照电路时间常数τ与脉冲持续时间T
因而换路后电路的响应有一个逐步过 渡的过程，简称过渡过程或瞬态过程。电 阻电路无过渡过程。而动态电路分析即瞬 态过程分析是分析动态电路从换路时刻开 始直至电路进入稳定工作状态全过程的电
动态电路的分析方法很多，本课 程采用经典的时域分析法。它包括以
(1)依据电路的两类约束，即基尔
霍夫定律和元件的ＶＣＲ建立换路后
称电感。该曲线称为电感元件在ｔ时刻的
韦—安特性曲线。电感元件是一种磁链与
电流相约束的元件，其磁链瞬时值与电流
图５-８电感元件的符号
与电阻元件和电容元件相类似，若约
束电感元件的ψ-ｉ平面上的曲线为通过原
点的直线，则称它为线性电感；否则为非 线性电感。若曲线不随时间而变化，则称
在国际单位制（ＳＩ）中，电感的单
数为N，ψ＝ＮΦ）。可见电感器是一种能
建立磁场、储存磁场能量的器件。
-
图 ５
７ 电 感 线 圈 及 其 磁 通
电感元件是实际电感器的理想化模型，
其电路符号如图５-８所示，它的定义为：
一个二端元件，如果在任一时刻ｔ，它所
交链的磁链ψ（ｔ
ｉ（ｔ）
之间的关系可以用ψ-ｉ平面上的一条曲线
来确定，则此二端元件称为电感元件，简
电路在没有外加激励时的响应称 为零输入响应。因此，零输入响应仅 仅是由于非零初始状态所引起的，也 可以说，是由初始时刻电容的电场储 能或电感的磁场储能所引起的。
5.3.1 ＲＣ电路的零输入响应
电路如图５-１８所示
图５-１８ＲＣ零输入电路
５.３.２ RL电路的零输入响应
电路如图５-２２所示
图５-２２ RL零输入电路