面面垂直

平面和平面垂直

师：上节课我们讨论了面面相交，对吧？为了区分这两个面相交，这样也是相交，这样也是相交(用教具比划不同的相交)，我们引入了什么概念？

我们引入了二面角的概念。

师：好，那么我们来复习一下二面角，我们说的二面角的范围是多少？啊？生：0～180°。

师：0～180°是吧，(板书)那么我们今天就讨论二面角是90°的特殊情况，两个平面所成的二面角是90°的时候，这样我们叫这两个平面互相垂直。

(板书

那想想看，我们生活中有没有面面垂直的？生：有。

师：有没有？举手说说看，××。生：就是墙角。师：墙角？哦，墙角是一个角，我现在谈的是面面垂直，哪两个面？

生：哦，比如说底面和墙面…

师：比如底面，那我们一块来看，大家一起看，我们所在的地面和黑板所在的平面是垂直的吗？啊？同意吗？生：同意。

师：噢，同意，请坐。还有吗？还有吗？没有啦？生活中面面垂直的例子多呢，好，××。

生：我看到上面这个灯，第二盏灯，这个贴标签的面，和这个横着的面，这个方向的面是垂直的。

师：哪个？我到现在还没看到哪儿有个标签，哦，这儿有个标签，这边的同学看不见，我到这儿才看见。好的，他所说的这个面，这边的同学还能理解他的意思？生：理解。

师：垂直吗？生：垂直。

师：垂直，好，请坐。再举一个，大家都能…唉！你说。

生：桌子的桌面和前面的侧面是垂直的(比画)。

师：桌子的桌面和它的这个侧面是垂直的，大家说对吗？生：对。师：还有吗？恩，唉，(指一同学)。生：恩，就是台阶的底面和侧面。师：恩，刚才大家上楼梯呢，那个台阶的底面和那个竖的所在的面也是垂直的，对不对！噢，请坐！大家举的例子都不错。

那么我想请一个…，都认为刚才举的例子是面面垂直，为什么是垂直的？比如说刚才举的第一个例子，那个地面和黑板所在的面是垂直的，你凭什么说它，这两个平面是垂直的？谁举的？××吧！你为什么说这两个面是垂直的？生：恩，因为它们所成的角是90°。

师：哦，她说因为这两个面所成的角是90°，哦，你量了一下，要证明的话量一下，对吧，很好！就是刚才我们讲的这个定义，那要说明的话，这两个二面角成90°。

那我要问了，我们建筑工人在砌这个墙的时候，他是不是在这两个面画一个角，找一个角，然后这个角是90°？生：是。

师：那要万一，他砌好了以后，他量了一下它不是90°，他怎么办？再把它打掉重新砌？建筑工人在砌墙的时候怎么保证这个角是90°。啊？××。生：他会有很多线把那个框给框起来，他会由那个重垂，平移一下，正好垂直于地面。

师：重垂线，比如说大概是这样子的(比画)，就是，就是什么意思呢，在砌的墙上悬挂一条线，这条线是不是垂直于地面的？生：恩，是。师：这个线是垂直于地面的，然后呢？

生：然后他就再设置一些其他的线，根据这个重垂线，沿着这个线往上摞。师：沿着这条线一个一个往上摞，这样砌墙啊，这样往上摞。请坐。这反映在我们数学上，这个面应该怎么样，啊？是不是经过这条线？这是一条什么线呢？这是一条重垂线，重垂线有什么特点？生：垂直一个平面。师：垂直一个平面，那么这样砌出来的两个面是垂直的吗？是不是垂直的？

砌墙都是这样砌的吧，看来是对的，那么你还能不能找到类似于这样的例子？我们来，同座位讨论讨论，还有没有类似这样的例子？一条线，经过这个面的，一个面经过这个面的垂线，还有没有？(6:20～讨论) 师：(6:57)来，谁说说看？还有类似的例子吗？××(～7:05)

生：那个在打桌子的时候，就用那个直角的卡标尺卡…(听不清)

师：哦，她说，如果，如果工人做一个桌子，他是怎么做的？用一个直角的卡尺这样卡，她这个是根据什么来的？(一同学说二面角)他说是根据二面角还对啊？根据这两个面，保证这两个面所成的二面角是直角的时候。

哎，什么？噢，请坐，对的吧。

好，但是我们还有没有其他的例子，你保证生活中两个面是垂直的，还有没有？这个书呢，这个书把它立在桌子上，当你转动书页的时候，书页所在的面和桌面？什么？(垂直)理由？为什么？啊？你们说垂直？

啊？为什么垂直啊？那我这个桌，桌，噢这个书书立在桌面上，是不是垂直的？为什么呢？江××。生：那条线与它垂直。师：哪条线？生：就是书的边缘。

师：我们选那个边，任意一个边，竖着的这个边和桌面是垂直的，请坐。对不对啊？在转动的过程中，这些面它们有一个共同的特点，它们都过书的这条边，而这条边有什么特点？垂直于桌面，对吧？和我们刚才举的重垂线的例子还一样呀？

我们把刚才举的例子给它一般化，我们实际生活中还有一种什么方法怎么判断面面垂直？你把我们刚才的例子抽象化，怎么判断面面垂直，除了二面角，量一下它的平面角是90°以外，还有什么方法？××。

生：一条直线它是过这个平面，然后并且垂直于另外一个平面，那么…噢，就是，一条直线属于平面α，然后那条直线垂直于平面β，那么α就垂直于β。

师：听明白了吗？她说的还对啊？一条直线不要属于平面α，一条直线在平面α内，而且这条线垂直于平面β，那么α、β垂直吗？我们把这句话写下来。(板书)

是这个意思吧？首先要有一个，首先这个，这条直线要垂直于这个面，然后一个平面要经过这条直线(教具演示)，当然不管怎么转都能保证这个面和这个面是垂直的。这个就是判定平线面垂直的另一种方法，叫它判定定理。(板书)

(11:20)每个人都动手 把这句话用图形语言表示，

用符号语言表示。再请同学上黑板。谁来？今天我把尺子带来了，在黑板上画图比较标准些，谁来？主动一点！没人举手啊？啊？好，哦，不，我们这样啊，你上黑板写计划图，就根据你的图来写，数学的符号语言。 再请一个，总是这几个人举手，哎！还有没有第三个同学？××你别看别人，你上来！你笑眯眯的看别人，来，上黑板，那儿有尺子。××，

来。黑板上和下面同学都一样，自己画图，然后根据图写出条件和结论。

师：(13:01)先画图，然后再写。如果你画好了，同座位互相看一下。互相检

查、互相借鉴，然后我们再看黑板上的。

(14:30)来，评价一下，这三个同学。我们从左到右依次看，第一个，怎么样？同坐位的说一下。 生：还不错。

l ⊂αl ⊥β ⎭⎬⎫ ⇒α ⊥β， l ⊥αl ⊂β ⎭⎬⎫

⇒ α ⊥β，

l ⊂β 则: β⊥α

师：三个字：还不错。 生：就是α面上的那条线应该是实线。不是虚线。 师：α 面上，哪边的线？ 生：最下面的线。

师：最下面的呀？ 生：那个。 师：这个？ 生：左面、下面的。 师：哦这个。那这儿呢？ 生：实线。

师：也应该是实线，对不对？你画的时候是想画实线还是虚线？挺淡的。这边应该是实线，虚线，那我把它描清楚点，这儿是实线还是虚线？ 众：虚线…实线。

师：啊？你这个面到底是什么？实线还是虚线？啊？ 生：应该是实线。 师：这个图呢，应该怎么说？

师：是这样，(教具比画)这个是β，是不是应该这样看的啊？这样看的话?

生：应该是实线。 师：那么下面这儿是虚线。 生：是虚线。

师：有没有问题？这样看比较有立体感。l 是α 内的一条线而且l 垂直于β，

所以α 和β 是垂直的，对吧？同理，这两个同学怎么样？同座位呢？ 生：我也觉得他实线和虚线没有画对。

师：这里显然实线和虚线没有反映出来，没有立体感。

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。