第九章几个特殊的代数系统
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第九章 几个特殊的代数系统
引言 9.1 群论 9.2 环与域 9.3 格与布尔代数
引言
本章主要系统介绍几个特殊的代数系统：半群与群、环与 域、格与布尔代数等代数系统的基本概念和基本理论，并 讨论它们所具有的最基本的性质。当然，由这些基本的代 数系统，还可以继续定义和研究其他更为复杂的代数系统， 比如剩余类环、多项式环、理想、主理想、最大理想、商 群、商域等等。
实际上，半群就是运算可结合的代数系统。由于半群中只有一种代数 运算，而且是二元运算，为方便起见，对于S的代数运算，用普遍乘法的符
号来表示，或者干脆将运算符号完全省略掉，如不写aabb，而写成 ab，因
此我们通常把群中的代数运算叫做乘法。但要注意这仅仅是叫做乘法，而
不是普通的乘法，请学习时不要引起混淆。
= a ο （（b ο c） ο d）
= ……
2、半群中的幂运算
设<S， ο >是半群，因为“ο”可结合，所以可定义对S中的元素的n 次幂运算（nZ +）：
对任意的xS，定义 x1 = x x2 = x ο x x3 = x2 ο x
…… xn = xn–1 ο x
则“n次幂运算”是S上的一种一元运算。
∴b–1 ο a–1S 又∵（a ο b）ο（b–1 ο a–1）=a ο （b ο b–1） ο a–1= a ο e ο a–1= a
ο a–1=e （b–1 ο a–1） ο （a ο b）=b–1 ο （ a–1 ο a） ο b= b–1 ο e ο b= b–1
ο b=e ∴（b–1 ο a–1）既是a ο b的左逆元又是a ο b的右逆元，即（a ο b）–1= b–1 ο a–1元素。 ▍
9.1 群 论
群论是现代数学的一个重要分支，它在物理、通信和计算 机等许多领域都有广泛的应用，例如在自动机理论、编码 理论、快速加法器的设计等方面，群的应用已日趋完善。 在计算机科学中，群在编码理论、密码安全中也有很广泛 的应用。
ab
9.1.1 群的定义
9.1.1.1 半群和含幺半群（独异点）
定义9.1 对代数系统<S， ο >，其中ο是S上的二元运算， 若这个运算满足结合律，则称<S， ο >是一个半群。
4、含幺半群中的逆元情况 一个含幺半群中必含有幺元，所以在其中是可以谈论逆元。
虽然并非含幺半群中的每个元素都可逆，但关于含幺半群中 的元素的逆元情况，有下面的结论： 定理9.1 设<S， ο ，e>是一个含幺半群，则有 （1）若a，bS，且它们分别有逆元a–1，b–1，则a ο b必也是 可逆的，且（a ο b）–1= b–1 ο a–1； （2）若a是左（右）可逆的，则a必是左（右）可消去的元 素； 证明：（1） ∵b–1S ，a–1S，
例9.2 （1）在<R，×>中，xn =x×x×…×x （2）在<N，+>中，xn =x +x + … +x = nx （3）在由表9.1定义的代数系统中，an = a，bn = b
下面由半群的概念出发，定义一种更强的代数系统 –––含幺半群。这是一种特殊的半群。
定义9.2 设<S， ο >是半群，若S中存在关于运算“”的幺 元e ，则称<S，>是一个含幺半群。含幺半群有时又称为独异 点，一般记为<S， ο ，e>。 例9.3 （1）<R，×>是含幺半群，其中e = 1； （2）<N，+>是含幺半群，其中e = 0； （3）<N +，+>是半群，但不是含幺半群，因为集合N +中不 存在关于运算“+”的幺元； （4）<N，–>不是半群，当然就不是含幺半群了。
因为含幺半群是半群，故可定义其中元素的n次幂运算（nZ+）。又 由于含幺半群中有幺元e，还可以更进一步定义0次幂运算。含幺半群<S， ο ，e>中的幂运算规则定义如下：
对任意的xS， x0 = e
x1 = x
x2 = x ο x
x3 = x2 ο x
……
xn = xn–1 ο x 这样，含幺半群中元素的幂运算的含义较之半群有了扩充，可以进行0次幂运算 了。
例9.1 （1）代数系统<N，+>，<Z，×>，<R，×>等都是半 群，但<Z，–>，<R+，÷>都不是半群，因为减法运算“–”、 除法运算“÷”都不是可结合的。 （2）< Mn (R)，>是半群。这里Mn (R)是所有n阶实矩阵集 合， ο是矩阵的乘法运算。 （3）<A，∧>是半群。这里A是所有命题公式组成的集合， “∧”是合取运算。
∴ “ο”满足结合律 ∴ <S， ο >是一个半源自文库。
半群作为一种特殊的代数系统，具有以下一些性质： 1、在半群<S， ο >中，运算结果只与参加运算的元素有关，而与运
算的先后次序无关。
例如，对任意的a，b，c，d S，有（a ο b） ο （c ο d）=
（a ο b） ο （c ο d） =（（a ο b） ο c） ο d
含幺半群具有如下性质： 1、含幺半群具有半群所具有的一切性质； 2、设<S， ο ，e>是含幺半群，则在ο的运算表中，任何两行都不同， 任何两列也不同；
证明：对任意的a，bS，若a≠b，则由于a ο e =a≠b=b ο e，故a所在 的行与b所在的行必不完全相同（因为这两行中至少有一个对应的位置 上的元素不同）。同样，由于e ο a =a≠b= e ο b，故a所在的列与b所在的 列必不完全相同。 3、含幺半群<S， ο ，e >中的幂运算
（4）<N–{2}，+>不是半群。因为“+”在集合N–{2}上不封 闭，<N–{2}，+>连代数系统都不是，当然更不是半群了。 （5）代数系统<S， ο >是半群。其中S = {a，b}，“ο”由下 面的表9.1定义。
表9.1
a
b
a
a
b
b
a
b
证明：∵ （a ο a） ο a =a a ο （a ο a）=a （a ο a） ο b =b a ο （a ο b）=b （a ο b） ο a =a a ο （b ο a）=a （a ο b） ο b =b a ο （b ο b）=b （b ο a） ο a =a b ο （a ο a）=a （b ο a） ο b =b b ο （a ο b）=b （b ο b） ο a =a b ο （b ο a）=a （b ο b） ο b =b b ο （b ο b）=b
引言 9.1 群论 9.2 环与域 9.3 格与布尔代数
引言
本章主要系统介绍几个特殊的代数系统：半群与群、环与 域、格与布尔代数等代数系统的基本概念和基本理论，并 讨论它们所具有的最基本的性质。当然，由这些基本的代 数系统，还可以继续定义和研究其他更为复杂的代数系统， 比如剩余类环、多项式环、理想、主理想、最大理想、商 群、商域等等。
实际上，半群就是运算可结合的代数系统。由于半群中只有一种代数 运算，而且是二元运算，为方便起见，对于S的代数运算，用普遍乘法的符
号来表示，或者干脆将运算符号完全省略掉，如不写aabb，而写成 ab，因
此我们通常把群中的代数运算叫做乘法。但要注意这仅仅是叫做乘法，而
不是普通的乘法，请学习时不要引起混淆。
= a ο （（b ο c） ο d）
= ……
2、半群中的幂运算
设<S， ο >是半群，因为“ο”可结合，所以可定义对S中的元素的n 次幂运算（nZ +）：
对任意的xS，定义 x1 = x x2 = x ο x x3 = x2 ο x
…… xn = xn–1 ο x
则“n次幂运算”是S上的一种一元运算。
∴b–1 ο a–1S 又∵（a ο b）ο（b–1 ο a–1）=a ο （b ο b–1） ο a–1= a ο e ο a–1= a
ο a–1=e （b–1 ο a–1） ο （a ο b）=b–1 ο （ a–1 ο a） ο b= b–1 ο e ο b= b–1
ο b=e ∴（b–1 ο a–1）既是a ο b的左逆元又是a ο b的右逆元，即（a ο b）–1= b–1 ο a–1元素。 ▍
9.1 群 论
群论是现代数学的一个重要分支，它在物理、通信和计算 机等许多领域都有广泛的应用，例如在自动机理论、编码 理论、快速加法器的设计等方面，群的应用已日趋完善。 在计算机科学中，群在编码理论、密码安全中也有很广泛 的应用。
ab
9.1.1 群的定义
9.1.1.1 半群和含幺半群（独异点）
定义9.1 对代数系统<S， ο >，其中ο是S上的二元运算， 若这个运算满足结合律，则称<S， ο >是一个半群。
4、含幺半群中的逆元情况 一个含幺半群中必含有幺元，所以在其中是可以谈论逆元。
虽然并非含幺半群中的每个元素都可逆，但关于含幺半群中 的元素的逆元情况，有下面的结论： 定理9.1 设<S， ο ，e>是一个含幺半群，则有 （1）若a，bS，且它们分别有逆元a–1，b–1，则a ο b必也是 可逆的，且（a ο b）–1= b–1 ο a–1； （2）若a是左（右）可逆的，则a必是左（右）可消去的元 素； 证明：（1） ∵b–1S ，a–1S，
例9.2 （1）在<R，×>中，xn =x×x×…×x （2）在<N，+>中，xn =x +x + … +x = nx （3）在由表9.1定义的代数系统中，an = a，bn = b
下面由半群的概念出发，定义一种更强的代数系统 –––含幺半群。这是一种特殊的半群。
定义9.2 设<S， ο >是半群，若S中存在关于运算“”的幺 元e ，则称<S，>是一个含幺半群。含幺半群有时又称为独异 点，一般记为<S， ο ，e>。 例9.3 （1）<R，×>是含幺半群，其中e = 1； （2）<N，+>是含幺半群，其中e = 0； （3）<N +，+>是半群，但不是含幺半群，因为集合N +中不 存在关于运算“+”的幺元； （4）<N，–>不是半群，当然就不是含幺半群了。
因为含幺半群是半群，故可定义其中元素的n次幂运算（nZ+）。又 由于含幺半群中有幺元e，还可以更进一步定义0次幂运算。含幺半群<S， ο ，e>中的幂运算规则定义如下：
对任意的xS， x0 = e
x1 = x
x2 = x ο x
x3 = x2 ο x
……
xn = xn–1 ο x 这样，含幺半群中元素的幂运算的含义较之半群有了扩充，可以进行0次幂运算 了。
例9.1 （1）代数系统<N，+>，<Z，×>，<R，×>等都是半 群，但<Z，–>，<R+，÷>都不是半群，因为减法运算“–”、 除法运算“÷”都不是可结合的。 （2）< Mn (R)，>是半群。这里Mn (R)是所有n阶实矩阵集 合， ο是矩阵的乘法运算。 （3）<A，∧>是半群。这里A是所有命题公式组成的集合， “∧”是合取运算。
∴ “ο”满足结合律 ∴ <S， ο >是一个半源自文库。
半群作为一种特殊的代数系统，具有以下一些性质： 1、在半群<S， ο >中，运算结果只与参加运算的元素有关，而与运
算的先后次序无关。
例如，对任意的a，b，c，d S，有（a ο b） ο （c ο d）=
（a ο b） ο （c ο d） =（（a ο b） ο c） ο d
含幺半群具有如下性质： 1、含幺半群具有半群所具有的一切性质； 2、设<S， ο ，e>是含幺半群，则在ο的运算表中，任何两行都不同， 任何两列也不同；
证明：对任意的a，bS，若a≠b，则由于a ο e =a≠b=b ο e，故a所在 的行与b所在的行必不完全相同（因为这两行中至少有一个对应的位置 上的元素不同）。同样，由于e ο a =a≠b= e ο b，故a所在的列与b所在的 列必不完全相同。 3、含幺半群<S， ο ，e >中的幂运算
（4）<N–{2}，+>不是半群。因为“+”在集合N–{2}上不封 闭，<N–{2}，+>连代数系统都不是，当然更不是半群了。 （5）代数系统<S， ο >是半群。其中S = {a，b}，“ο”由下 面的表9.1定义。
表9.1
a
b
a
a
b
b
a
b
证明：∵ （a ο a） ο a =a a ο （a ο a）=a （a ο a） ο b =b a ο （a ο b）=b （a ο b） ο a =a a ο （b ο a）=a （a ο b） ο b =b a ο （b ο b）=b （b ο a） ο a =a b ο （a ο a）=a （b ο a） ο b =b b ο （a ο b）=b （b ο b） ο a =a b ο （b ο a）=a （b ο b） ο b =b b ο （b ο b）=b