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第一章 解三角形
不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°； (4)c＝50，b＝72，C＝135°.
第一章 解三角形
[解析]
(1)sinB＝bsina120°＝45×
3 2<
23，
∴△ABC 有一解．
第一章 解三角形
(3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方法： ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的 个数．
第一章 解三角形
②在△ABC 中，已知 a、b 和 A，以点 C 为圆心，以边长 a 为 半径画弧，此弧与除去顶点 A 的射线 AB 的公共点的个数即为三角 形的个数，解的个数见下表：
第一章
解三角形
第一章 解三角形
第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
第一章 解三角形
第一章
第 1 课时 正弦定理
第一章 解三角形
温故知新
在初中，我们学习过直角三角形中的边角关系，那么在 Rt△ ABC 中(如图)，有________、________、________.
[答案]
ac＝sinA
bc＝sinB
第一章 解三角形
在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边 b 的长及△ABC 外接圆的半径 R.
[解析] 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1.
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R，
所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
2R＝sincC＝sin145°＝
ABC 有两解．
第一章 解三角形
(4)sinB＝bsicnC＝725si0nC>sinC＝ 22， ∴B>45°， ∴B＋C>180°，∴△ABC 无解．
第一章 解三角形
课堂典例讲练
第一章 解三角形
思路方法技巧 已知两角和一边解三角形
＝( ) A．4 2 C．4 6
在△ABC 中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则 b
第一章 解三角形
有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于钝角三角形； ③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定 值； ④在△ABC 中，sinA B C＝a b c.
第一章 解三角形
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正 弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就 确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选 B.
第一章 解三角形
2．正弦定理的变形公式 (1)a＝bssiinnBA＝__css_iin_nC_A_， b＝assiinnAB＝_c_ss_iin_nC_B_， c＝assiinnAC＝_b_ss_iin_nB_C_.
第一章 解三角形
(2)sinA＝asibnB＝__a_si_cn_C_， sinB＝bsianA＝__b_s_icn_C__， sinC＝csianA＝_c_s_ibn_B__. (3)a:b:c＝___s_in_A__:s_i_n_B_:_si_n_C____.
B．4 3 22
D. 3
第一章 解三角形
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已 知一边可由正弦定理求其它两边．
[答案] C [解析] 在△ABC 中，A＝180°－(B＋C)＝45°，由正弦定 理sianA＝sibnB得，b＝assiinnAB＝8s·sinin4650°°＝4 6. ∴选 C.
第一章 解三角形
自主预习
1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ___si_an_A_＝__s_ibn_B__＝__s_inc_C_____.
第一章 解三角形
对正弦定理的理解： (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的 正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的 正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关 系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系 的转化．
c csinC
第一章 解三角形
新课引入
“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的 慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如何测 出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险 峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助已学的三 角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题.
2，得
R＝
Fra Baidu bibliotek
2 2.
所以，b＝
22，△ABC
外接圆的半径
R＝
2 2.
第一章 解三角形
3．解三角形 (1)定义：一般地，把三角形三个角 A、B、C 和它们的对边 a、 b、c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做_解__三__角__形__． (2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题： ①已知任意两角与一边，求其他两边和一角． ②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进 一步求出其他的边和角)．
(2)sinB＝bsina150°＝1，∴△ABC 无解．
(3)sinB＝bsina60°＝190×
23＝5 9 3，而
35 2< 9
3<1，
∴ 当 B 为 锐 角 时 ， 满 足 sinB ＝593 的 B 的 取 值 范 围 为
60°<B<90°. ∴对应的钝角 B 有 90°<B<120°，也满足 A＋B<180°，所以△
A 为钝角 A 为直角
A 为锐角
a>b a＝b
一解 无解
一解 无解
一解 一解
a>bsinA 两解
a<b
无解
无解 a＝bsinA 一解
a<bsinA 无解
第一章 解三角形
图示已知 a、b、A，△ABC 解的情况． (ⅰ)A 为钝角或直角时解的情况如下：
第一章 解三角形
(ⅱ)A 为锐角时，解的情况如下：
第一章 解三角形
(4)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. (5)角化边公式：sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR.
a＋b＋c
(6)sianA＝sibnB＝sincC＝___si_n_A_＋__s_in__B_＋__s_in_C___＝2R.其中，R 为 △ABC 外接圆的半径．
不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°； (4)c＝50，b＝72，C＝135°.
第一章 解三角形
[解析]
(1)sinB＝bsina120°＝45×
3 2<
23，
∴△ABC 有一解．
第一章 解三角形
(3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方法： ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的 个数．
第一章 解三角形
②在△ABC 中，已知 a、b 和 A，以点 C 为圆心，以边长 a 为 半径画弧，此弧与除去顶点 A 的射线 AB 的公共点的个数即为三角 形的个数，解的个数见下表：
第一章
解三角形
第一章 解三角形
第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
第一章 解三角形
第一章
第 1 课时 正弦定理
第一章 解三角形
温故知新
在初中，我们学习过直角三角形中的边角关系，那么在 Rt△ ABC 中(如图)，有________、________、________.
[答案]
ac＝sinA
bc＝sinB
第一章 解三角形
在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边 b 的长及△ABC 外接圆的半径 R.
[解析] 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1.
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R，
所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
2R＝sincC＝sin145°＝
ABC 有两解．
第一章 解三角形
(4)sinB＝bsicnC＝725si0nC>sinC＝ 22， ∴B>45°， ∴B＋C>180°，∴△ABC 无解．
第一章 解三角形
课堂典例讲练
第一章 解三角形
思路方法技巧 已知两角和一边解三角形
＝( ) A．4 2 C．4 6
在△ABC 中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则 b
第一章 解三角形
有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于钝角三角形； ③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定 值； ④在△ABC 中，sinA B C＝a b c.
第一章 解三角形
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正 弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就 确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选 B.
第一章 解三角形
2．正弦定理的变形公式 (1)a＝bssiinnBA＝__css_iin_nC_A_， b＝assiinnAB＝_c_ss_iin_nC_B_， c＝assiinnAC＝_b_ss_iin_nB_C_.
第一章 解三角形
(2)sinA＝asibnB＝__a_si_cn_C_， sinB＝bsianA＝__b_s_icn_C__， sinC＝csianA＝_c_s_ibn_B__. (3)a:b:c＝___s_in_A__:s_i_n_B_:_si_n_C____.
B．4 3 22
D. 3
第一章 解三角形
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已 知一边可由正弦定理求其它两边．
[答案] C [解析] 在△ABC 中，A＝180°－(B＋C)＝45°，由正弦定 理sianA＝sibnB得，b＝assiinnAB＝8s·sinin4650°°＝4 6. ∴选 C.
第一章 解三角形
自主预习
1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ___si_an_A_＝__s_ibn_B__＝__s_inc_C_____.
第一章 解三角形
对正弦定理的理解： (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的 正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的 正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关 系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系 的转化．
c csinC
第一章 解三角形
新课引入
“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的 慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如何测 出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险 峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助已学的三 角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题.
2，得
R＝
Fra Baidu bibliotek
2 2.
所以，b＝
22，△ABC
外接圆的半径
R＝
2 2.
第一章 解三角形
3．解三角形 (1)定义：一般地，把三角形三个角 A、B、C 和它们的对边 a、 b、c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做_解__三__角__形__． (2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题： ①已知任意两角与一边，求其他两边和一角． ②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进 一步求出其他的边和角)．
(2)sinB＝bsina150°＝1，∴△ABC 无解．
(3)sinB＝bsina60°＝190×
23＝5 9 3，而
35 2< 9
3<1，
∴ 当 B 为 锐 角 时 ， 满 足 sinB ＝593 的 B 的 取 值 范 围 为
60°<B<90°. ∴对应的钝角 B 有 90°<B<120°，也满足 A＋B<180°，所以△
A 为钝角 A 为直角
A 为锐角
a>b a＝b
一解 无解
一解 无解
一解 一解
a>bsinA 两解
a<b
无解
无解 a＝bsinA 一解
a<bsinA 无解
第一章 解三角形
图示已知 a、b、A，△ABC 解的情况． (ⅰ)A 为钝角或直角时解的情况如下：
第一章 解三角形
(ⅱ)A 为锐角时，解的情况如下：
第一章 解三角形
(4)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. (5)角化边公式：sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR.
a＋b＋c
(6)sianA＝sibnB＝sincC＝___si_n_A_＋__s_in__B_＋__s_in_C___＝2R.其中，R 为 △ABC 外接圆的半径．