连续映射(拓扑学)

连续映射
第三章连续映 射
连续映射与同 胚
连续映射 同胚 焊接引理
Proof. （3）⇒（ 4）： 假设 对Y 的任意 闭集F ，f −1 (F )是X 的 闭 ） （ ） 是 ． 集． 下证对 X 的任 意子集 A， 有f A ⊆ f (A)．首 先注 ， 意A ⊆ f −1 [f (A)] ⊆ f −1 f (A) ．因 为f (A)是Y 的闭 集，由 假 是 设知 f −1 f (A) 是 X 闭集 ．所以 ¯ 有A ⊆ f −1 f (A) = f −1 f (A) ，于 是 得f (A) ⊆ f f −1 f (A) ． ⊆ f (A)．
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序列的收敛性
同胚
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Definition 设(X , TX )与 (Y , TY )是两个 拓扑空间 ，f : X → Y 是一 个 映 与 是 射． 如果f 是 双射， 且f 和f −1 都连 续，则 称f 为同 胚（映 射）； 如果 存在从 (X , TX )到(Y , TY )的同胚 （映射 ） ，则 到 的 称(X , TX )与 (Y , TY )同胚，记 为(X , TX ) ∼ (Y , TY )， 简记 与 同 ， = ∼ Y ；如 果(X , TX )的任 意开集 （闭集 ）在f 下 的像 为X = 的 是 (Y , TY )的 开集（ 闭集）， 则称 f 是开映 射（闭 映射） ． 的 Example 设T1 与 T2 是 X 上的 两个拓扑 ，id : (X , T1 ) → (X , T2 )为恒 等映 为 射． 则id为同胚 的充分 必要条 件是T2 = T1 ； id为开 映射的 为 为 充分 必要条 件是对 任意的 T1 -开 集U， 有id(U) = U是 T2 -开 开 ， 是 开 集， 即T1 ⊆ T2 ；同 理，id为闭 映射的 充分必 要条件 是也 为 是 T1 ⊆ T2 ．
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（1）⇒（ 2）： 设f : X → Y 连续， V 是 Y 的 任意开 集，下 ） （ ） 证f −1 (V )是 X 的开 集．若 f −1 (V ) = ∅，则f −1 (V )显 然是X 的 是 ， 显 开集 ．若f −1 (V ) = ∅， 任取x0 ∈ f −1 (V )，有f (x0 ) ∈ V ．由 ， ， 连 续的定义 ，存在 x0 的邻 域U， 使f (U) ⊆ V ， ， 即 U ⊆ f −1 ◦ f (U) ⊆ f −1 (V )．这说 明f −1 (V )是X 的开集 ． ． 是 −1 (V )是 X 的 开 （ 2） ⇒（3）：假设 对Y 的任 意开集 V ，f ） （ ） 是 集 ．下证 对Y 的任意 闭集F ， f −1 (F )是X 的闭集 ．为此， 是 令V = F c ，则V 是Y 的开集．由假 设 ，f −1 (V ) = f −1 (F c ) = [f −1 (F )]c （ 见命题 ??）是 X 的开 ） 集 ，于是 f −1 (F )就是 X 的闭 集． 就
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Proof. 在证明定理之前，我们首先回顾几个包含式（见命 题 ??）： ） 设f : X → Y 是任意映射，A ⊆ X , B ⊆ Y ，则有 A ⊆ f −1 [f (A)], f [f −1 (B)] ⊆ B, f −1 (B c ) = [f −1 (B)]c .
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（1）⇒（ 2）： 因为 f 是同胚 ，所以 f −1 连 续．由 定理4， ） （ ） ， −1 )−1 (U) = f (U)是 Y 的 开 集 ， 从 对 X 的任意 开集U，(f ， 是 而f 是开映射． （ 2）⇒（3）： 设F 是 X 的任意 闭集， 则F c 是X 的 开集． 由 ） （ ） （ 2）， f (F c )是 Y 的 开集， 即[f (F )]c 是Y 的开集 ．于 ） 是 是 f (F )是 Y 的 闭集， 故f 是闭 映射． 是 （ 3） ⇒（1）：为 证f 是同 胚，只 需证f −1 连续 ．设U是X 的 ） （ ） 是 任意开集，则U c 是X 的闭集．由于假设f 是闭映射， 有f (U c ) = [f (U)]c 是Y 的闭集 ，从而 f (U)是Y 的开 集．另 一 是 方面， f (U) = (f −1 )−1 (U)，所 以U在 f −1 下 的原像 是Y 的开 ， 在 集．由 定理4知f −1 连续 ． 知
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October 25, 2012
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Definition 设X , Y 是两个 拓扑 空间， f : X → Y 为一 映射， x0 ∈ X ．如 果 对f (x0 )的任 意邻域 V ，存 在x0 的邻 域U， 使得f (U) ⊆ V ， 的 ， 则 称f 在点 x0 处连续 ；如果 f 在X 的 每一点 处连续 ，则称 f 是 连续映射． 定 义1中的邻 域可换 成开邻域 ，或局 部基邻 域，或 开局 中 部基邻域．
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Theorem 连续映射的复合映射是连续的，即：如 果f : X → Y 在x ∈ X 处 连续， g : Y → Z 在f (x)处 连续， 处 则g ◦ f : X → Z 在x处连续 ． 处 Proof. 设W 是g ◦ f (x)的任 意邻域 ，由g 的连 续性， 存在f (x)的邻 的 的 域V 使g (V ) ⊆ W ．再 由f 的连 续性，存 在x的邻域 U， 的 ， 使f (U) ⊆ V ．于是g ◦ f (U) ⊆ g (V ) ⊆ W ，这说 明g ◦ f 在 x处连 续． 处
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Theorem 同胚关系是等价关系，即 （1）． X ∼ X ； ） = （2）． X ∼ Y ⇒ Y ∼ X ； ） = = （3）． X ∼ Y , Y ∼ Z ⇒ X ∼ Z ． ） = = = Proof. （1）． 显然， 因对X 上的任 意拓扑 T ，恒等 映射是 ） 从 (X , T )到 自身的 同胚（ 见例8）． 到 ） ∼ Y ，则存在同胚映射f : X → Y ，因 （ 2）． 如果X = ） 此 f −1 : Y → X 也是 同胚，即 Y ∼ X ． = ∼ Y , Y ∼ Z ，则存在同胚映 （ 3）． 如果X = ） = 射 f : X → Y 和 g : Y → Z ．由定 理5可知g ◦ f : X → Z 是同 可 胚，于是X ∼ Z ． =
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设X , Y 是两个 拓扑空 间，f : X → Y 是一 映射， 则下列 条件 等价： （ 1）． f 连续； ） （ 2）． 对Y 的任 意开集 V ，f −1 (V )是 X 的开 集； ） 是 （ 3）． 对Y 的任 意闭集 F ， f −1 (F )是X 的闭集 ； ） 是 （ 4）． 对X 的每一子 集A，f (A− ) ⊆ [f (A)]− ； ） ， （ 5）． 对Y 中的 每一子 集B，f −1 (B − ) ⊇ [f −1 (B)]− ． ） ， 连续性还等价于基开集的原像是开集，也等价于子基 开集的原像是开集．
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从离散拓扑空间到任意拓扑空间的任意映射是连续的．事 实 上，设 (X , TX )是离散 拓扑空间 ，(Y , TY )是任 一 拓 扑 空 是 是 间 ，f : X → Y 是 任一映 射．对 任意的 x0 ∈ X ， 以及 对 f (x0 )的任意 邻域V ，取x0 的 邻域U = {x0 }，则显然 的 ， 有 f (U) ⊆ V ．故f 连 续． 从任意拓扑空间到平庸拓扑空间的任意映射是连续映射． 事 实上， 设(X , TX )是任一 拓扑 空间， (Y , TY )是 平 庸拓 扑 空 是 是 间 ，f : X → Y 是任一 映射． 对任意 的x0 ∈ X ，由于 平 庸拓 扑空间 只有唯 一一个非 空开集 Y ，所以 f (x0 )只有唯 一 一 个 只 邻域V = Y ．于 是对于 x0 的任意 邻域U，都有 f (U) ⊆ V ． ， 故f 连续．
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Proof. （5）⇒（ 2）： 假设 对Y 的每一个 子集 B， ） （ ） ， 有f −1 B ⊇ f −1 (B)． 下证对 Y 的 任意开 集V ， ． 有f −1 (V )是 X 的开 集．因 为V 是 Y 的开集 ，所以 V c 是Y 的闭 是 集．由假设得 f −1 (V c ) = f −1 V c ⊇ f −1 (V c ) ⊇ f −1 (V c ), ， 是 即f −1 (V c ) = f −1 (V c )，于是 f −1 (V c )是 X 的闭 集．由 于f −1 (V c ) = [f −1 (V )]c ，所以 f −1 (V )是X 的开 集． 是 （2）⇒（ 1）： 假设 对Y 的每一个 开集 V ，f −1 (V )是 X 的开 ） （ ） 是 集． 下证f 连 续．任 取x0 ∈ X ，再任 取f (x0 )的邻 域V ， 由假 的 设可 知f −1 (V )是x0 的邻域 ．令U = f −1 (V )， 是 ， 则f (U) = f [f −1 (V )] ⊆ V ．由连 续的定 义知f 在 x0 处连 续．
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Proof. （4）⇒（ 5）： 假设 对X 的 任意子 集A，有f (A) ⊆ f (A)．下 ） （ ） ， ． ． 证对 Y 的任意 子集B， 有f −1 B ⊇ f −1 (B)．对集 ， 合f −1 (B)应用 假设条 件，并 注意f [f −1 (B)] ⊆ B， 得 应 ， f f −1 (B) ⊆ f [f −1 (B)] ⊆ B, 所以 f −1 B ⊇ f −1 ◦ f f −1 (B) ⊇ f −1 (B)． ．
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Example 常值映射总是连续的． 恒等 映射id : (X , T ) → (X , T )也 是连续 的，但 恒等映 也 射 id : (X , T1 ) → (X , T2 )却 不一定 连续． 比如当 X 至少 含两 个 却 点 ，T1 是平庸 拓扑， T2 是 离散拓扑 时， 恒等映 射 就不 连 续 ．一般 来讲， 恒等映 射id : (X , T1 ) → (X , T2 )连续的 充分 连 必 要条件 是T2 ⊆ T1 ．
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根据子空间拓扑、商拓扑和有限积拓扑的定义以及定 理4（2）不 难证明 ： （ ） Theorem 设f : X → Y 是连续映射，A ⊆ X ， 则f |A : A → Y 与f : X → f (X )都 是连续 的．商 投影与 有限积 都 投影都是连续的． 连续连续性等价于基开集的原像是开集． f : X → Y 连续等价于对任意的B ⊆ Y ， 有f −1 (B ◦ ) ⊆ [f −1 (B)]◦ ．
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Theorem 设f : X → Y 是双射，下列条件等价： （1）． f 是同胚 ； ） （2）． f 是连续 的开映 射； ） （ 3）． f 是连续 的闭映 射． ）