三角函数恒等变换练习题及答案详解
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两角和与差的正弦、余弦、正切
1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;
2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式,把握公式特征;2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换,三角变换中角的变换技巧是解题的关键.
知识点回顾
1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (C α-β) cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β (C α+β) sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β (S α-β) sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β (S α+β) tan(α-β)=tan α-tan β
1+tan αtan β (T α-β)
tan(α+β)=tan α+tan β
1-tan αtan β (T α+β)
2. 二倍角公式
sin 2α=ααcos sin 2;
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α; tan 2α=2tan α
1-tan 2α
.
3. 在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如T α±β
可变形为
tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan_αtan_β), tan αtan β=1-tan α+tan βtan α+β=tan α-tan β
tan α-β-1.
4. 函数f (α)=a cos α+b sin α(a ,b 为常数),可以化为f (α)=
a 2+
b 2sin(α+φ)或f (α)=a 2+b 2cos(α-φ),其
中φ可由a ,b 的值唯一确定. [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变”
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有“常值代
换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
热身训练
1. 已知sin(α+β)=23,sin(α-β)=-15,则tan α
tan β
的值为_______.
2. 函数f (x )=2sin x (sin x +cos x )的单调增区间为______________________.
3. (2012·江苏)设α为锐角,若cos ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+
6πα=4
5,则 4. (2012·江西)若sin α+cos αsin α-cos α=1
2
,则tan 2α等于
( )
A .-34
B.34
C .-43
D.43 5. (2011·辽宁)设sin(π4+θ)=1
3
,则sin 2θ等于
( )
A .-7
9
B .-19
C.19
D.79
典例分析
题型一 三角函数式的化简、求值问题
例1
(1)化
简:
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1
tan α2-tan α2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1+tan α·tan α2; (2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+3tan 10°)]·2sin 280°.
在△ABC中,已知三个内角A,B,C成等差数列,
则tan A
2
+tan
C
2
+3tan
A
2
tan
C
2
的值为________.
题型二三角函数的给角求值与给值求角问题
例2
(1)已
知0<β<π2<α<π,且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πα=-19,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2=2
3
,求cos(α+β)的值;
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-1
7,求2α-β的值.
已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π
2
,求β.
题型三 三角变换的简单应用
例3 已知
f (x )=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
x tan 11sin 2x -2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx
(1)若tan α=2,求f (α)的值;
(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π12,π2,求f (x )的取值范围.
已知函数f (x )=
3sin ⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
62πx +2sin
2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-12πx (x ∈R ). (1)求函数f (x )的最小正周期;
(2)求使函数f (x )取得最大值时x 的集合.
利用三角变换研究三角函数的性质
典例:(12分)(2011·北京)已知函数f (x )=4cos x ·sin ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
6πx -1. (1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
4,6ππ上的最大值和最小值. 总结
方法与技巧 1. 巧用公式变形:
和差角公式变形:tan x ±tan y =tan(x ±y )·(1∓tan x tan y ); 倍角公式变形:降幂公式cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α
2;
配方变形:1±sin α=⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin α2
±co s α22,1+cos α=2cos 2α2,1-cos α=2sin 2α
2.