人教版数学高二学案第四讲二、用数学归纳法证明不等式举例

二用数学归纳法证明不等式举例

[学习目标]

1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式.

2.了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用.

3.会用数学归纳法证明贝努利不等式.

[知识链接]

1.数学归纳法有什么优点？

提示数学归纳法的优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法.

2.具有什么特点的不等式能够用数学归纳法证明？

提示与正整数n有关的不等式可考虑用数学归纳法证明.

[预习导引]

1.贝努利不等式

设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞1＋nx.

2.贝努利不等式的一般形式

当α为实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)；

当α为实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1).

要点一用数学归纳法证明有关函数中的不等关系

例1已知f(x)＝x n－x－n

x n＋x－n

.对于n∈N＋，试比较f(2)与

n2－1

n2＋1

的大小并说明理由.

解∵f(x)＝x n－x－n

x n＋x－n

＝

x2n－1

x2n＋1

＝1－

2

x2n＋1

，

∴f(2)＝1－

2

2n＋1

.又∵

n2－1

n2＋1

＝1－

2

n2＋1

，

∴要比较f(2)与n2－1

n2＋1

的大小，只需比较2n与n2的大小即可.

当n＝1时，21＝2＞12＝1，

当n＝2时，22＝4＝22，

当n＝3时，23＝8＜32＝9，

当n＝4时，24＝16＝42，

当n＝5时，25＝32＞52＝25，

当n＝6时，26＝64＞62＝36.

故猜测当n≥5，(n∈N＋)时，2n＞n2，

下面用数学归纳法加以证明.

(1)当n＝5时，2n＞n2显然成立.

(2)假设当n＝k(k≥5，且k∈N＋)时，不等式2n＞n2成立，即2k＞k2(k≥5)，则当n＝k＋1时，

2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1

＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2(因为(k－1)2＞2).

由(1)(2)可知，对一切n≥5，n∈N＋，2n＞n2成立.

综上所述，当n＝1或n≥5，n∈N＋时，f(2)＞n2－1 n2＋1

.

当n＝2或n＝4时，f(2)＝n2－1 n2＋1

.

当n＝3时，f(2)＜n2－1 n2＋1

.

规律方法同用数学归纳法证明等式一样，这类问题通常与数列的递推公式或通项公式有关，待证的不等式的条件可能直接给出，也可能需根据条件归纳猜想出后再证明.

跟踪演练1已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋x.

(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由；

(2)设数列{a n}(n∈N＋)满足a1＝a(a＞0)，f(a n＋1)＝g(a n)，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N

＋

，都有a n≤M.

(1)解由h(x)＝x3－x－x知，

x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，且h(1)＝－1＜0，h(2)＝6－2＞0，则x＝0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1，2)内有零点.

因此，h(x)至少有两个零点.

由h(x)＝x(x2－1－x－1 2)，

记φ(x)＝x2－1－x－1

2，则φ′(x)＝2x＋

1

2x－

3

2.

当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，从而φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点，因此，h(x)在(0，＋∞)内也至多只有一个零点.

综上所述，h(x)有且只有两个零点.

(2)证明记h(x)的正零点为x0，

即x30＝x0＋x0.

①当a＜x0时，由a1＝a，知a1＜x0.

而a32＝a1＋a1＜x0＋x0＝x30，因此a2＜x0.

由此猜测：a n＜x0.

下面用数学归纳法证明.

当n＝1时，a1＜x0显然成立.

假设当n＝k(k≥1)时，a k＜x0成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k＜x0＋x0＝x30知，a k＋1＜x0，

因此，当n＝k＋1时，a k＋1＜x0成立.

故对任意的n∈N＋，a n＜x0成立.

②当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0，即

a3≥a＋a，

从而a32＝a1＋a1＝a＋a≤a3，即a2≤a.

由此猜测：a n≤a.

下面用数学归纳法证明.

当n＝1时，a1≤a显然成立，

假设当n＝k(k≥1)时，a k≤a成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k≤a＋a ≤a3，知a k＋1≤a.

因此，当n＝k＋1时，a k＋1≤a成立.

故对任意的n∈N＋，a n≤a成立.

综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N＋，都有a n≤M.

要点二数学归纳法在解决有关数列问题中的应用