函数的单调性与最值(讲义)

函数的单调性与最值（讲义）

➢ 知识点睛

一、函数的单调性

1. 设函数()y f x =的定义域为I ，D ⊆I ，对∀x 1，x 2∈D ，

当x 1

（1）若________，则函数()y f x =在区间D 上是_________；

（2）若________，则函数()y f x =在区间D 上是_________．

区间D 就叫做()y f x =的单调区间．

2. 利用定义证明函数()f x 在给定的区间D 上的单调性，一般步骤如下：

（1）取值（设x 1，x 2是区间D 上的任意两个实数值，且x 1

（2）作差变形（作差12()()f x f x -，并通常利用因式分解、配方等方法，向有利于判断差的正负的方向变形）

（3）定号，下结论（判断12()()f x f x -的正负，当符号不确定时，可以进行分类讨论，再确定差的符号，最后根据定义得出结论）

二、函数的最值 1. 最大值

设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）______________________；（2）_____________________．

那么，M 是函数()y f x =的最大值．

2. 最小值

设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）______________________；（2）_____________________．

那么，M 是函数()y f x =的最小值．

三、最值计算的方法

1. 利用二次函数的性质（配方法）

2. 利用图象求函数的最大（小）值

3. 利用函数单调性判断函数的最大（小）值

➢ 精讲精练

1. 下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ）

2.

（2）函数1()1x f x x

-=+的单调递减区间是_________________；

（3）函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间是__________．

3. 已知f (x )，g (x )定义在同一区间上，f (x )是增函数，g (x )是减函数，且g (x )≠0，

则（ ）

A ．f (x )+g (x )是减函数

B ．f (x )-g (x )是增函数

C ．f (x )·g (x )是减函数

D ．()()

f x

g x 是增函数

4. 若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，+∞)上是减函数，则下列不等式成立的是

（ ）

A ．23()(1)4f f a a >-+

B ．23()(1)4

f f a a <-+ C ．23()(1)4f f a a -+≥ D ．23()(1)4

f f a a -+≤

C ．(-1，0)∪(0，1)

D ．(-∞，-1)∪(1，+∞)

7. 如果函数2()(1)2f x x a x =+-+在区间(-∞，4]上是减函数，那么实数a 的取

值范围是__________________．

8. 函数f (x )=ax 2-(5a -2)x -4在[2，+∞)上是增函数，则a 的取值范围是

__________________．

9. 已知f (x )是定义在[-1，1]上的增函数，且(2)(1)f x f x -<-，则x 的取值范

围是__________________．

11. 判断函数4()f x x x

=+

在[2，+∞)上的单调性，并用定义证明.

12. 函数2*21y x x =+∈N ，的最小值是________．

13. 若104t <≤，则代数式1t t

-的最小值是________．

14. 已知函数1()2x f x x

+=-，x ∈[3，5]． （1）利用单调性定义证明函数f (x )在[3，5]上的单调性；

（2）求函数f (x )的最小值和最大值．

15. 已知函数2()22f x x ax =++，x ∈[-5，5]．

（1）当1a =-时，求函数的最大值和最小值；

（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[-5，5]上是单调函数．

【参考答案】

➢ 知识点睛

一、函数的单调性

1. （1）12()()f x f x <，增函数

（2）12()()f x f x >，减函数

二、函数的最值

1. （1）对任意的x I ∈，都有()f x M ≤

（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =

2. （1）对任意的x I ∈，都有()f x M ≥

（2）存在0x I ∈，使得0()f x M = ➢ 精讲精练

1. D

2. （1）(1)+∞，

（2）(1)(1)-∞--+∞，

，， （3）(10)(1)-+∞，

，， 3.

B 4.

C 5.

B 6.

C 7. [9)+∞，

8. [02]，

9. 3[1)2

， 10. 略

11. 略

12. 3

13. 154

14. （1）证明略

（2）函数()f x 的最小值为-4，最大值为-2

15. （1）函数()f x 的最小值为1，最大值为37；

（2）55a a -≤≥，