静磁场练习题
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2a 2
无限大导体平面，以面电流密度 i （单位宽度上 的电流）均匀流有电流。求空间上任一点的磁感应强度。
解：经对称性分析知：无限大均匀载流平面两侧 距面等远处B的大小相等，方向相反，它们都平行于 载流平面且与电流方向垂直，如图所示：
/
补充题1.1
c d
O O
i
a
b
取矩形环路abcd（oa od， ab oo cd l， ab、cd平行于平面）
9
讨论
0 IR2 B 2( x 2 R2)3 / 2 B
I
R
o
1) 无论 x>0 或 x<0,B与X轴同向 磁 o I B 2）当 x = 0时，圆心处： 2R 偶 极 3）轴线以外的磁场较复杂， N 子 S 可定性给出磁感应线， 电流与B线仍服从右手螺旋关系。 定义：磁偶极矩 Pm ISn S n与I的方向 N 若有N匝线圈，总磁矩为： 成右手关系
由安培环路定理：
L
B dl 0il
即 2Bl 0il
1 解得：B 0i ，方向如图 2
3
一长直圆导线中的电流密度与r有关。已知导线中 的磁感应强度为B=bra，a和b都是正的常数。计算导线中的电流 密度。 解: 对称性分析 即
补充题1.2
B d l 0 I c B 2r I 0 2 b a 1 I r 0 又 I j d s
.
I
B dB l ro ctg ro o Idl sin dl 2 d sin 4 r 2 o I (cos 1 cos 2 ) r ro / sin 4 ro 6
2 1
讨论
y 2 o l r Idl
1
o I B (cos 1 cos 2 ) 4 ro
若导线无限长： 则：1=0，2=
ro P
.
I
结论：
o I o I B (cos0 cos ) 4 ro 2 ro 不一定要 L ， 只要 ro L 。
2 o r
7
类比 E (1) 载流长直导线周围B与ro成反比。 (2)磁力线是沿着垂直导线平面内的同心圆， 其方向与电流方向成右手螺旋关系。
2a 2
例3 求载流圆线圈轴线上的磁场B，已知半径为R， 通电电流为I。 Idl 解：先讨论B的方向 r dB o Idl r R I P dB . 4 r 3 x o x d B dB 与 dB是对X轴对称的
dB x 0 B dBx dB cos
1 2
.
2
B
o nI
2
cos1 cos 2
讨论: P点不同，B不同。 1) 若管长L>>R，管内有很大一 部分场是均匀的。 2) L , 1 0 2 , B o nI
1
dl ... . ... . . . .. .... . ... . .. ... r
例2. 一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为a，厚度忽略， B? 电流为I，求离铜片中心线正上方y处P点的 y 解：把铜片划分成无限个宽为dx dB I dx dx 的细长条，每条有电流： dI P. a d B 该电流在P点产生的磁场为： o I o y r dx dB dI 2ay / cos 2 r x x 由对称性知： dB y 0 无 oI I B o I cos 2 2 r 限 dBx dBcos dx a 大 2 ay 当y >>a 时 载 x 其中： y tan dx y sec 2 d o I 流 2 I B o I cos o 2 d 2 y 平 B dBx d ysec 2 a 面 2 ay 当y <<a 时 o I o I arctan a 方向平行X轴 B o I o i 8 a 2y a
例8.一无限大平面，有均匀分布的面电流，其横截线的 电流线密度为 i，求平面外一点 B=？ 解： 由对称可知 Bi 并且离板等距离处的B大小相等。 过P点取矩形回路abcdL i 其中ab、cd与板面等距离。 0 0 B dl ab B dl bc B dl cd B dl da B dl
c
补充题1.1
B d l
c
0
I
I
B dl Bdl 0 I 0 I
当r<R时
0 I B 2 r
c
B dl Bdl 0 I 0 0 0
c c
B 0
0 I 2 R
补充题1.1
电流均匀地流过宽为b的无限长平面导体薄板, 电流为I,沿板长方向流动.求在薄板平面内,距板的一边为b的p点处 的磁感应强度.
解
我们可以把该平面看成是由无 限多,无限长直导线的集合.
：
dI I
b
o x dx b Idx 0 I 0 B dB ln 2 0 2 b (2b x ) 2b
s
选择安培环路
r
o
2 b a 1 j 2 rdr r
0
分别就两边对r求导,得
j2r
2b(a 1)r a
r
0
b(a 1)
j
j 2rdr
o
r
0
r a 1
4
设无限长载流直圆筒导体半径为R（筒壁 厚度可以忽略），电流I沿它的轴线方向流动，且均匀分布。 求圆筒导体内、外的磁感应强度，并画出B-r图。 R 解： 当r>R时
dB dB P . d dB
dl
c
B ab B cd 2 B ab B 1 oi 2 而 o I i o i ab 与P点到平板的距离无关。 i i
•
×
. . . . . . . . . . B o i B 0 B 0i
P . B
x
Pm NISn Npm
2
4) x >>R时：
B
o IR
2 x3
o IS 2x 3
ห้องสมุดไป่ตู้
o Pm 即: B 3 2x P (延长线上) 比较： E 10 2 o x 3
例4 一个塑性圆盘，半径为R，圆盘表面均匀分布电 荷q, 如果使该盘以角速度绕其轴旋转，试证： 2 o q qR (2)圆盘的磁偶极矩 Pm (1)盘心处 B 2 R 4 dr 证：(1)将盘看成一系列的宽为dr的圆环构成 R odI r 每一环在中心产生的磁场：dB 2r dQ dI dq ds rdr 2 2 dt o I R rdr 1 R o q B o o 2 R B dB 2 2R 2r 0
0 dI dB 2 (2b x) 0 Idx 2b (2b x)
I dI dx b
p
x
b
1
例2. 一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为a，厚度忽略， B? 电流为I，求离铜片中心线正上方y处P点的 y 解：把铜片划分成无限个宽为dx dB I dx dx 的细长条，每条有电流： dI P. a d B 该电流在P点产生的磁场为： o I o y r dx dB dI 2ay / cos 2 r x x 由对称性知： dB y 0 无 oI I B o I cos 2 2 r 限 dBx dBcos dx a 大 2 ay 当y >>a 时 载 x 其中： y tan dx y sec 2 d o I 流 2 I B o I cos o 2 d 2 y 平 B dBx d ysec 2 a 面 2 ay 当y <<a 时 o I o I arctan a 方向平行X轴 B o I o i 2 a 2y a
解：设两电子相距为r
B
4
r3
v
v
e2处的磁场： e2受力：
.
o e1 |v r | B 4 r 3
e2
oe 2v 2 F12 e | v B | 4r 2
同理： F21 F12
14
例7. 半径为R的无限长圆柱载流直导线，电流I沿轴线 方向流动，并且载面上电流是均匀分布。计算任 意点P的B=？ B dl 0 I i I 解：先分析P点的方向 由电流对称分布可知： oP B 取过P点半径为 r =op 的圆周L， L上各点B大小相等，方向沿切线 r >R时 由安培环路定理得：与毕萨 L dB B dl Bdlcos0o B 2 r 定理结 ds dB dB . 0 I 果一致 又 B dl 0 I O B P 2 r 若r<R ds B 同理： B dl Bdlcos0o B 2 r 0 I 2 r 2 而 B dl 0 j ds R s 0 I 15 r B r R 2R 2
Idl
动画
又dl r Idl r Idl r
o I cos dl 2R o IR dl B 2 R 2 )3/ 2 4 0 4 ( x r2
B
cos R r
o IR 2
2( x 2 R 2 ) 3 / 2
方向沿 x 轴正向！
2
l
. P
3) 对半无限长螺线管 B 1 o nI
2
B
2)、 3)在整个管内空间成立！
2L
2L
l
管内为均匀场 管外空间B0
13
例6. 求两个以相同速度v并排运动电子之间的 o q v r 相互作用力。
e1
F21 F12
q R2 R 2 (2) Pm dP SdI r rdr 1 R4 m 4 0 2 qR 11 Pm 12 4
oq B 2 R
oIR 2 例5. 一长螺线管轴线上的磁场 B ? B 2 r3 已知：导线通有电流I，单位长度上匝数为n。 解：在管上取一小段dl， 电流为dI=nIdl ， 该电流在P点的磁场为： o R 2 nIdl r 2 l 2 R2 dB 2 R 2 3 2 r R 2l sin R d dl ... . ... . . . .. .... . ... . .. ... l Rctg dl r sin2 o nI l P 则： dB sin d 2 2 o nI B dB sin d 1 2 o nI cos 1 cos 2 12
o
R
5
B
r
例1. 载流长直导线，其电流强度为I，试计算导线旁 任意一点P的磁感应强度 B? dB 方向为 Idl r
y 2 o l r Idl
1
ro
解：根据毕——萨定理 取任意电流元 Idl 其在P点产生的磁场为： P o Idl sin dB 4 r 2 各电流元产生的 dB 方向垂直纸面向里。
a
dl B
0
0i 0
×
16
b
例9. 求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径 为R，环上均匀密绕N匝线圈，设通有电流I。 解： 由于电流对称分布，与环共轴 的圆周上，各点B大小相等， R R1 方向沿圆周切线方向。 取以o为中心，半径为r的圆周为L R2 当R1< r <R2 I B dl Bdlcos0o B 2 r 0 NI B 而 0 I i 0 NI 2 r ×××××
无限大导体平面，以面电流密度 i （单位宽度上 的电流）均匀流有电流。求空间上任一点的磁感应强度。
解：经对称性分析知：无限大均匀载流平面两侧 距面等远处B的大小相等，方向相反，它们都平行于 载流平面且与电流方向垂直，如图所示：
/
补充题1.1
c d
O O
i
a
b
取矩形环路abcd（oa od， ab oo cd l， ab、cd平行于平面）
9
讨论
0 IR2 B 2( x 2 R2)3 / 2 B
I
R
o
1) 无论 x>0 或 x<0,B与X轴同向 磁 o I B 2）当 x = 0时，圆心处： 2R 偶 极 3）轴线以外的磁场较复杂， N 子 S 可定性给出磁感应线， 电流与B线仍服从右手螺旋关系。 定义：磁偶极矩 Pm ISn S n与I的方向 N 若有N匝线圈，总磁矩为： 成右手关系
由安培环路定理：
L
B dl 0il
即 2Bl 0il
1 解得：B 0i ，方向如图 2
3
一长直圆导线中的电流密度与r有关。已知导线中 的磁感应强度为B=bra，a和b都是正的常数。计算导线中的电流 密度。 解: 对称性分析 即
补充题1.2
B d l 0 I c B 2r I 0 2 b a 1 I r 0 又 I j d s
.
I
B dB l ro ctg ro o Idl sin dl 2 d sin 4 r 2 o I (cos 1 cos 2 ) r ro / sin 4 ro 6
2 1
讨论
y 2 o l r Idl
1
o I B (cos 1 cos 2 ) 4 ro
若导线无限长： 则：1=0，2=
ro P
.
I
结论：
o I o I B (cos0 cos ) 4 ro 2 ro 不一定要 L ， 只要 ro L 。
2 o r
7
类比 E (1) 载流长直导线周围B与ro成反比。 (2)磁力线是沿着垂直导线平面内的同心圆， 其方向与电流方向成右手螺旋关系。
2a 2
例3 求载流圆线圈轴线上的磁场B，已知半径为R， 通电电流为I。 Idl 解：先讨论B的方向 r dB o Idl r R I P dB . 4 r 3 x o x d B dB 与 dB是对X轴对称的
dB x 0 B dBx dB cos
1 2
.
2
B
o nI
2
cos1 cos 2
讨论: P点不同，B不同。 1) 若管长L>>R，管内有很大一 部分场是均匀的。 2) L , 1 0 2 , B o nI
1
dl ... . ... . . . .. .... . ... . .. ... r
例2. 一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为a，厚度忽略， B? 电流为I，求离铜片中心线正上方y处P点的 y 解：把铜片划分成无限个宽为dx dB I dx dx 的细长条，每条有电流： dI P. a d B 该电流在P点产生的磁场为： o I o y r dx dB dI 2ay / cos 2 r x x 由对称性知： dB y 0 无 oI I B o I cos 2 2 r 限 dBx dBcos dx a 大 2 ay 当y >>a 时 载 x 其中： y tan dx y sec 2 d o I 流 2 I B o I cos o 2 d 2 y 平 B dBx d ysec 2 a 面 2 ay 当y <<a 时 o I o I arctan a 方向平行X轴 B o I o i 8 a 2y a
例8.一无限大平面，有均匀分布的面电流，其横截线的 电流线密度为 i，求平面外一点 B=？ 解： 由对称可知 Bi 并且离板等距离处的B大小相等。 过P点取矩形回路abcdL i 其中ab、cd与板面等距离。 0 0 B dl ab B dl bc B dl cd B dl da B dl
c
补充题1.1
B d l
c
0
I
I
B dl Bdl 0 I 0 I
当r<R时
0 I B 2 r
c
B dl Bdl 0 I 0 0 0
c c
B 0
0 I 2 R
补充题1.1
电流均匀地流过宽为b的无限长平面导体薄板, 电流为I,沿板长方向流动.求在薄板平面内,距板的一边为b的p点处 的磁感应强度.
解
我们可以把该平面看成是由无 限多,无限长直导线的集合.
：
dI I
b
o x dx b Idx 0 I 0 B dB ln 2 0 2 b (2b x ) 2b
s
选择安培环路
r
o
2 b a 1 j 2 rdr r
0
分别就两边对r求导,得
j2r
2b(a 1)r a
r
0
b(a 1)
j
j 2rdr
o
r
0
r a 1
4
设无限长载流直圆筒导体半径为R（筒壁 厚度可以忽略），电流I沿它的轴线方向流动，且均匀分布。 求圆筒导体内、外的磁感应强度，并画出B-r图。 R 解： 当r>R时
dB dB P . d dB
dl
c
B ab B cd 2 B ab B 1 oi 2 而 o I i o i ab 与P点到平板的距离无关。 i i
•
×
. . . . . . . . . . B o i B 0 B 0i
P . B
x
Pm NISn Npm
2
4) x >>R时：
B
o IR
2 x3
o IS 2x 3
ห้องสมุดไป่ตู้
o Pm 即: B 3 2x P (延长线上) 比较： E 10 2 o x 3
例4 一个塑性圆盘，半径为R，圆盘表面均匀分布电 荷q, 如果使该盘以角速度绕其轴旋转，试证： 2 o q qR (2)圆盘的磁偶极矩 Pm (1)盘心处 B 2 R 4 dr 证：(1)将盘看成一系列的宽为dr的圆环构成 R odI r 每一环在中心产生的磁场：dB 2r dQ dI dq ds rdr 2 2 dt o I R rdr 1 R o q B o o 2 R B dB 2 2R 2r 0
0 dI dB 2 (2b x) 0 Idx 2b (2b x)
I dI dx b
p
x
b
1
例2. 一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为a，厚度忽略， B? 电流为I，求离铜片中心线正上方y处P点的 y 解：把铜片划分成无限个宽为dx dB I dx dx 的细长条，每条有电流： dI P. a d B 该电流在P点产生的磁场为： o I o y r dx dB dI 2ay / cos 2 r x x 由对称性知： dB y 0 无 oI I B o I cos 2 2 r 限 dBx dBcos dx a 大 2 ay 当y >>a 时 载 x 其中： y tan dx y sec 2 d o I 流 2 I B o I cos o 2 d 2 y 平 B dBx d ysec 2 a 面 2 ay 当y <<a 时 o I o I arctan a 方向平行X轴 B o I o i 2 a 2y a
解：设两电子相距为r
B
4
r3
v
v
e2处的磁场： e2受力：
.
o e1 |v r | B 4 r 3
e2
oe 2v 2 F12 e | v B | 4r 2
同理： F21 F12
14
例7. 半径为R的无限长圆柱载流直导线，电流I沿轴线 方向流动，并且载面上电流是均匀分布。计算任 意点P的B=？ B dl 0 I i I 解：先分析P点的方向 由电流对称分布可知： oP B 取过P点半径为 r =op 的圆周L， L上各点B大小相等，方向沿切线 r >R时 由安培环路定理得：与毕萨 L dB B dl Bdlcos0o B 2 r 定理结 ds dB dB . 0 I 果一致 又 B dl 0 I O B P 2 r 若r<R ds B 同理： B dl Bdlcos0o B 2 r 0 I 2 r 2 而 B dl 0 j ds R s 0 I 15 r B r R 2R 2
Idl
动画
又dl r Idl r Idl r
o I cos dl 2R o IR dl B 2 R 2 )3/ 2 4 0 4 ( x r2
B
cos R r
o IR 2
2( x 2 R 2 ) 3 / 2
方向沿 x 轴正向！
2
l
. P
3) 对半无限长螺线管 B 1 o nI
2
B
2)、 3)在整个管内空间成立！
2L
2L
l
管内为均匀场 管外空间B0
13
例6. 求两个以相同速度v并排运动电子之间的 o q v r 相互作用力。
e1
F21 F12
q R2 R 2 (2) Pm dP SdI r rdr 1 R4 m 4 0 2 qR 11 Pm 12 4
oq B 2 R
oIR 2 例5. 一长螺线管轴线上的磁场 B ? B 2 r3 已知：导线通有电流I，单位长度上匝数为n。 解：在管上取一小段dl， 电流为dI=nIdl ， 该电流在P点的磁场为： o R 2 nIdl r 2 l 2 R2 dB 2 R 2 3 2 r R 2l sin R d dl ... . ... . . . .. .... . ... . .. ... l Rctg dl r sin2 o nI l P 则： dB sin d 2 2 o nI B dB sin d 1 2 o nI cos 1 cos 2 12
o
R
5
B
r
例1. 载流长直导线，其电流强度为I，试计算导线旁 任意一点P的磁感应强度 B? dB 方向为 Idl r
y 2 o l r Idl
1
ro
解：根据毕——萨定理 取任意电流元 Idl 其在P点产生的磁场为： P o Idl sin dB 4 r 2 各电流元产生的 dB 方向垂直纸面向里。
a
dl B
0
0i 0
×
16
b
例9. 求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径 为R，环上均匀密绕N匝线圈，设通有电流I。 解： 由于电流对称分布，与环共轴 的圆周上，各点B大小相等， R R1 方向沿圆周切线方向。 取以o为中心，半径为r的圆周为L R2 当R1< r <R2 I B dl Bdlcos0o B 2 r 0 NI B 而 0 I i 0 NI 2 r ×××××