川大继续教育《高等数学(理)》复习资料2020.6

4.判断正项级数
(1
n1
cos
1 )
n
的敛散性.
1 cos 1
lim
n
1 lim 2n2
1.
n
1
n 1
2
1
解: 因为
n2
n2
而级数 n1 n2 收敛，所以原级数
收敛。
5.求曲线 y x3 6x2 x 8 的凹凸区间与拐点. 解: 因为 y 3x2 12x 1，y 6x 12，令 y 0，得 x 2.当 x 2 时， y 0，函数上凸；当 x 2 时， y 0，函数下凸. 且 x 2 时， y 6 ，所以凸区间为(，2) ，凹区间为( 2， ) ，拐点是( 2， 6).
6.求幂级数 n1
的收敛区间.
解：令
y
x
(n 1)2
1
，因为
lim
n
(n
2)2
1 ，所以级数
(n 1)2
n1
yn
收敛半
径为 1.，从而收敛区间为(1，1). 因此原级数收敛区间为(0，2).
x ln(1 t 2 )dt
lim 0
.
7.求极限 x0 x sin x
解：由洛必达法则，
lim
13.在空间直角坐标系中，二次曲面 x2 y2 2称为( B )
(A)圆锥面
(B)柱面
(C) 球面
(D) 椭圆面
14. 当 x 0 时与函数 x sin x 等价的无穷小量为( B )
(A) x 2
x3 (B) 6
(C) x 3
x3 (D) 3
x2 ydxdy
15.设区域 D 为 x2 y2 1在 y 0 中的部分，则 D
(D) 球面
5.设圆 x2
y2
a2 所围成的区域为 D ，则二重积分
D
y dxdy 在极坐标
系下可化为( B )
(A)
2
d
a r 2 cos dr
0
0
(B)
2
d
a r 2 sin dr
0
0
2
a
(C) 0 d 0 r cosdr
2
a
(D) 0 d 0 r sindr
6.平面
1 2
13.求极限
lim(1
x0
x ) sin
x
.
1
ln(1 x )
x
解：
lim(1 x)sin x
x0
lime x0
sin x
lim esin x e. x0
dy 14.设函数 y y( x)由方程 y x2 e y 确定，试求 dx 的值.
解：方程 y x2 e y 两边同时对 x 求导得，
x3
1 4
x
4
]
1 0
1 12
.
x t sin t 2dt
lim 3.求极限 x0
0
x2(e x2
1)
.
解：由等价无穷小量得
x t sin t2dt
lim
x0
0
x2(e x2
1)
lim
x0
x t sin t 2dt
0
x4
lim
x0
x sin x2 4x3
x2
lim
x0
4
x
2
1. 4
4.求微分方程 y 5 y 6 y 0 的通解. 解：特征方程为 r2 5r 6 0 ，解之得特征根为 r1 2，r2 3 . 故原方
(A) 4x2
(B) 3x2
(C) 2x2
(D) x 2
9.设区域 D 由圆 x2 y2 1 所围成的上半平面内的部分，则二重积分
D y dxdy 在极坐标系下可化为( B )
(A)
2
d
1 r 2 sindr
0
2
(C)
d
1r 2 cosdr
0
0
(B)
d
1r 2 sindr
0
0
(D)
.
ln(1 x2)
lim 13.极限 x0
x2
1.
14.由两条抛物线 y x，y x2 所围成的闭区域的面积为 .
1
y
15.改变二重积分的次序后， 0 dy0 f (x, y)dx
.
三、计算题
lim(1 1 )4x1. 1. 求极限 x x
lim(1
1 )4 x1
lim[(1
1 )x ]4
dy 2x e y dy
dx
dx
解之得
dy dx
1
2x ey
.
15.求微分方程 y 8 y 12 y 0 的通解.
解：特征方程为 r2 8r 12 0 ，所以特征根为 r1 6，r2 2 . 故原方程 的通解为 y C1e6x+C2 e2x 其中 C1，C2 为任意常数.
四、解答题
3，3，3
时，表面积最小.
3. 设 函 数 f ( x) 为 [0,a] 上 的 连 续 函 数 ， 且 0 f ( x) a，g(x) f (x) 2x ，证明 g( x) 0 在(0,a) 内至少有一个
实根. 证明：因为 g(0) f (0) 0 ，g(a) f (a) 2a 0 ，由零点存在定理， 方程 g( x) 0 在区间(0,a)内至少有一实根.
dy 10.求方程 y x2 ln y 确定的隐函数 y y( x)的导数 dx .
解：方程 y x2 ln y 两边同时对 x 求导得，
dy 2x 1 dy
dx
y dx
dy 2xy . 解之得 dx y 1
e x2 y2dxdy，
11.计算二重积分 D
其中 D 是由圆周 x2 y2 4 所围成的
11. 设级数 n1 收敛，则下列级数必收敛的是( A )
(an an1)
(A) n1
| an |
(B) n1
an2
(C) n1
(1)n an
(D) n1
12.二元函数
f ( x，y) 在一点处偏导数
f
x，f
y
存在是函数在该点可微
的(A)
(A)必要条件 (B)充要条件 (C) 充分条件 (D) 无法判断
闭区域.
x r cos
解：令
y
r sin
，则
ex2 y2dxdy
2
d
2 rer2dr (e4 1).
0
0
D
12.求定积分
1 ( x3e x2
1
x2 1 x2
)dx.
解：
由奇偶性，原式
1 x2 1 1 x2 dx
1
(1
1
1 1 x2
) dx
2
arctan
|11
2
2
.
1
1.求曲线 y 2x3 12x2 9x 3 的凹凸区间与拐点. 解: 因为 y 6 x2 24x 9，y 12x 24，令 y 0 ，得 x 2 .当 x 2 时， y 0，函数上凸；当 x 2 时， y 0，函数下凸. 且 x 2时， y 17 ，所以凸区间为 (， 2) ，凹区间为( 2， ) ，拐 点是( 2，17).
在极坐标系
下可化为( B )
(A)
2 d 1cos sin2 r 3dr
0
0
(B)
d
1sin cos2 r4dr
0
0
(C)
2 d
1cos sin2 r4dr
0
0
(D)
d
1sin cos2 r3dr
0
0
二、填空题
1 cos 2x
lim 1.极限 x0
sin x2
2.
2x2 x 9
(1
1 )
e4
.
解： x
x
x
x
x
2. 设 D 是 由 直 线 x y 1 与 x、y 轴 所 围 成 的 区 域 ， 求 二 重 积 分
x2dxdy
D
.
解：区域
D
0 0
x y
1 1
， x 所以二重积分
x2dxdy
D
1
dx
0
1x x2dy
0
1
(1
0
x ) x 2dx
1 [ 3
程的通解为
y C1e2x +C2 e3x， 其中 C1，C2 为任意常数.
dy 5.由方程 xy2 e y 8 0 可确定 y 是 x 的隐函数，求 dx .
解：方程 xy2 e y 8 0 两边同时对 x 求导得，
y2 2xyy e y y 0
解之得，
y
e
y
y2 2xy
.
(n 1)2( x 1)n
2.极限 ( x, y)(0,2) xy
(A )
(A)1
(B) 1
(C) 2
(D) 0
3.当 x 0 时，函数1 cos2x 的等价无穷小量是( C )
(A) 4x2
(B) 3x2
(C) 2x2
(D) x 2
4.二次曲面 x2 y2 z2 称为( A )
(A) 圆锥面 (B) 旋转抛物面 (C) 柱面
2
d
1 r 2 cosdr
0
2
10.对于二元函数 z f ( x, y) ，下列说法正确的是( A )
(A) f ( x, y) 可微，则偏导数存在
(B) f ( x, y) 的偏导数存在，则其连续
(C) f ( x, y) 的偏导数存在，则其可微
(D) f ( x, y) 可微，则偏导数连续
an
6.求二元函数 f ( x, y) 4( x y) x2 y2 的极值.
解:
令
f x f y
4 2x 4 2
0 ，
y 0 解之得
x y
2.
2 又
A
f
xx
2，B
f
xy
0，f
yy
2，B2 AC
4 0，A 2 0，
所以极大值 4. .
7.求二元函数 f (x, y) x2 xy y2 9x 6 y 21 的极值.
: :
x 2
2 x
y y
3z 1 20
0
的位置关系为(
B
)
(A) 平行
(B) 垂直
(C)斜交
(D) 重合
f
7. 设 f ( x, y) e xy ，则 x ( B )
(A) e x
(B) ye xy
(C) xe xy
(D) e y
8.当 x 0 时，函数 1 2x2 1的等价无穷小量是( D )
解:
令
f
x
f
y
2 2
x y
y x
9 6
0 ，
0 解之得
x y
4. 1
又
A Cxx 2，B Cxy 1，Cyy 4，B2 AC 7 0，A 2 0，
所以函数有极小值 f (4，1) 0
8.求曲线 y x3 6x2 x 8 的凹凸区间与拐点. 解: 因为 y 3x2 12x 1，y 6x 12，令 y 0，得 x 2.当 x 2 时， y 0，函数上凸；当 x 2 时， y 0，函数下凸. 且 x 2 时， y 6 ，所以凸区间为(，2) ，凹区间为( 2， ) ，拐点是( 2， 6). 9.证明方程 x3 4x 2 0在区间(1，2) 上至少有一个实根.
2.要做一个容积为 27 立方米的长方形箱子，怎样设计可使所用材料
最省？
解:
设长方形箱子的长和宽分别为 x，y，则高 h
27 xy ，所以表面积
S 2( x y) 27 2xy 54 54 2xy
xy
yx
Sx
54 x2
2y
0
令
Sy
54 y2
2x
0
，解之得
x
y 3.故当长宽高分别为
y 2.曲线
x2 x 7
的水平渐近线为 y=2.
3.不定积分 2x x2 1dx
.
(n 1)xn
4.幂级数 n1
的收敛半径为 x=1.
5.定积分
5 5
tan
x
e
x2
dx
0.
f
(
x)
x11 ,
x0
2x
6.设函数
k ,
x 0 在 x 0 处连续，则 k .
lim sin 2x 1
解: 设 f (x) x3 4x 2 ，则 f (1) 1 0 ， f (2) 2 0 .由闭区间上零点
存在定理知原方程在 (1, 2) 内至少有一个根.
7.若 x0 kx ，则 k 2.
8.设 z ysin x ，则全微分 dz
.
9.由曲线 y x2，y2 x 围成的图形面积为 .
2
2 x
10.改变积分次序后， 0 dx 0 f ( x, y)dy
ln(1 x) lim 11.极限 x0 sin x ＝1.
12.二元函数 z x2 y 的全微分 dz
《高等数学（理）》复习资料
一、单项选择题
1.设平面 过点 (2,1,1) 且与平面 2x y z 2 平行，则平面 的方程为
( C)
(A) x 2 y z 4 0
(B) x 2 y z 1 0
(C) 2x y z 4 0
(D) 2x y z 4 0
sin xy
lim
D
2
dy
1
y2
ydx
y2
2
y( y 2
1
y2 )dy [ y2
y3 3
y4 4
]21
7. 4
9.求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解.
解：特征方程为 r2 2r 3 0 ，解之得特征根为 r1 1，r2 3. 故原方
程的通解为 y C1e x+C2 e3x 其中 C1，C2 为任意常数.
x
ln(1
0
t 2 )dt
lim
ln(1
x2 )
lim
x2
2.
x0 x sin x
x0 1 cos x x0 1 x2
2
8.计算二重积分 D
ydxdy ，其中 D 是由直线
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y
x
2及抛物线
y2
x
所围成的闭区域.
解：由
y y
x 2x
2， 得交点坐标为
(1，
1)，(4，2)
.
所以
ydxdy