近似熵及其在机械设备故障诊断中的应用

文章编号:1002-0411(2002)06-547-05

近似熵及其在机械设备故障诊断中的应用

胥永刚　李凌均　何正嘉

(西安交通大学机械工程学院机自所　西安　710049)

摘　要:近似熵从衡量时间序列复杂性的角度提供了一种表征信号整体特征的无量纲指标,具有计算所需数据短、抗噪及抗野点能力强、对确定性信号和随机信号都适用等特点.本文介绍了近似熵的概念、性质及其快速算法,并对某汽轮机组轴瓦松动维修前后不同状态下的振动信号进行了分析,结果表明,近似熵在表征信号的复杂性方面具有很强的能力,从而为机械设备状态监测与故障诊断提供了一种行之有效的新方法.

关键词:近似熵;无量纲指标;状态监测;故障诊断

中图分类号:T P277 文献标识码:A

APPROXIMATE ENTROPY A ND ITS APPLICATIONS

IN MECHA NIC AL FAULT DIAGNOSIS

X U Yong-g ang　LI Ling-jun　HE Zheng-jia

(Depa rtment of Mechanical Eng ineer ing,X i'a n Jiaotong University,X i'a n710049,c h ina)

Abstract:Appro ximate Ent ropy(ApEn)prov ides a new dimensio nless fa ctor to deno te the ir reg ularity o f tim e series fro m the view o f complex ity measuring.Only shor t tim e-series a re needed to ca lcula te the Ap En of ra ndo m signal or asce rtain sig nals w ith hig h anti-inter ference ability.The co nceptio n,na ture and a pr actical fast alg orithm are int roduced.Successful application has been achiev ed to ana ly ze the lo oseness fault in bea ring bushing o f turbo-g ene rato r set.The r esults sho w tha t A pEn ha s hig h ability to qua ntify the com-plex ity of sig nals,thereby prov iding an effectiv e tech no lo gy fo r conditio n mo nitoring and fault diag no sis o f m echanical equipment.

Keywords:appro ximate entr opy,dimensionless facto r,co nditio n mo nito ring,fault diag no sis

1　引言(Introduction)

机械设备在运行过程尤其是在故障发生发展过程中,其动力学特性往往呈现出复杂性和非线性,振动信号也随之表现为非平稳性[1].相对于其它非线性动力学参数(如关联维数、哥氏熵、李雅普诺夫指数等)而言,90年代初由Pincus提出的近似熵(Ap-proximate Entro py,简记为Ap En)更主要的是从衡量时间序列复杂性的角度来度量信号中产生新模式的概率大小,产生新模式的概率越大,序列的复杂性越大,相应的近似熵也越大[2].用近似熵来描述机械设备振动信号的不规则性和复杂性,通过比较同一设备在不同运行期间近似熵的相对变化,可以直接反映该设备在此期间的运行状况.

本文在介绍了近似熵的基本概念、性质及其快速算法之后,对某汽轮机组轴瓦松动故障维修前后不同状态下的振动信号的近似熵进行了比较分析,结果表明,近似熵在表征信号的复杂性方面具有很强的能力,在判别机械设备运行状况方面具有很好的效果,可以作为状态监测和故障诊断的一种新的无量纲指标和一种行之有效的新方法.

2　近似熵的定义及其性质(The conception and properties of ApEn)

近似熵是用一个非负数来表示某时间序列的复杂性,越复杂的时间序列对应的近似熵越大.下面给出具体的算法步骤.

设采集到的原始数据为{u(i),i=0,1,…,N},预先给定模式维数m和相似容限r的值,则近似熵可以通过以下步骤计算得到[2]:

①将序列{u(i)}按顺序组成m维矢量X(i),

第31卷第6期2002年12月　信息与控制

Info r ma tio n a nd Contr ol

V o l.31,N o.6　

　Dec.,2002　

⒇收稿日期:2001-12-26

　基金项目:国家自然科学基金资助项目(编号:50175087)

即

X(i)=[u(i),u(i+1)…u(i+m-1)],

i=1～N-m+1(1) ②对每一个i值计算矢量X(i)与其余矢量X (j)之间的距离:

d[X(i),x(j)]=max

k=0～m-1

|u(i+k)

-u(j+k)|(2) ③按照给定的阈值r(r>0),对每一个i值统计d[X(i),X(j)]

C m i(r)={d[X(i),X(j)]

/(N-m+1)(3) ④先将C m i(r)取对数,再求其对所有i的平均值,记做H m(r),即

H m(r)=1

N-m+1∑N-m+1

i=1

In C m i(r)(4)

⑤再对m+1,重复1～4的过程,得到H m+1(r)

⑥理论上此序列的近似熵为:

ApEn(m,r)=lim

N→∞

[H m(r)-H m+1(r)](5) 一般而言,此极限值以概率1存在.但在实际工作中N不可能为∞,当N为有限值时,按上述步骤得出的是序列长度为N时Ap En的估计值.记做Ap En(m,r,N)=H m(r)-H m+1(r)(6) ApEn的值显然与m,r的取值有关,根据经验,通常取m=2,r=0.1～0.25SD(u)(SD表示序列{u (i)}的标准差),这时候近似熵具有较为合理的统计特性[2],故本文应用实例中近似熵的计算过程中都采用了m=2,r=0.25SD(u).

定义中计算近似熵的最后一个步骤可以做如下变形

ApEn(m,r,N)=-[H m+1(r)-H m(r)]

=-[1

N-m ∑N-m

i=1

ln C m+1

i(r)-

1

N-m+1

∑N-m+1 i=1ln C m i(r)]=

N→∞

-[

1

N-m+1

∑N-m

i=1

ln

C m+1

i(r)

C m i(r)

(7)

可以看出,近似熵的的计算实际上是在确定一个时间序列在模式上的自相似程度有多大,从另外一个角度讲,就是在衡量当维数变化时该时间序列中产生新模式的概率的大小,产生新模式的概率越大,序列就越复杂.因此从理论上讲,近似熵能够表征信号的不规则性(复杂性),越复杂的信号近似熵应该越大[3].近似熵只是希望从统计的角度来区别时间过程的复杂性,而不企图描述或重建奇异吸引子的全貌,因此只用较短的数据就可以估计出合理的近似熵.文献[3]指出,近似熵大致相当于维数变化时新模式出现的对数条件概率的均值,在衡量时间序列的复杂性方面具有一般意义,而不仅仅是一个非线性动力学参数,因此近似熵的估计对随机过程和确定性过程都适用.同时,当噪声的幅度低于相似容限r时,该噪声将被抑制,若时间序列中存在较大的瞬态干扰时,干扰产生的数据(即所谓的`野点’)与相邻数据组成的矢量与X(i)的距离必定很大,因而在阈值检测中将被去除,因此,近似熵具有很好的抗噪、抗野点能力.

3　近似熵的实用快速算法(The fast algo-rithm of ApEn)

近似熵的计算可以按照定义的步骤1～6去进行,然而其中有很多的冗余计算,降低了计算效率,不利于实时运用.洪波等在文献[2]中给出了一种实用快速算法,可将计算速度提高到定义算法的5倍左右,现介绍如下.

第一步:对N点序列,先计算N×N的距离矩阵D,D的第i行第j列元素记为d ij.

d i j=

1　|u(i)-u(j)|

0　|u(i)-u(j)|≥r

i=1～N,j=1～N,i≠j(8) 第二步:利用矩阵D中的元素,可以方便地计算得到C2i(r)和C3i(r)(假设m=2).

C2i(r)=∑

N-1

j=1

d i j∩d(i+1)(j+1)

C3i(r)=∑

N-2

j=1

d ij∩d(i+1)(j+1)∩d(i+1)(j+2)(9) 第三步:由C2i(r)和C3i(r)分别计算H2(r)和H3 (r).

第四步:ApEn(m,r)=H m(r)-H m+1(r).

该算法主要是将定义算法中的步骤(1)构造矢量的过程省略,同时不再分别计算m=2和m=3时各矢量之间的距离而代之以求解时间序列中各数据点的差值,即避免了同维矢量之间距离的重复计算,也减少了维数变化时的计算距离过程中的不必要计算,从而提高了运算效果,具有工程实用价值.

4　近似熵的工程应用(The applications of ApEn)

我们以实例来说明近似熵在度量信号复杂性方面的能力,图1(a)所示为周期信号x=sin100c t+

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