关于打水漂的规律探索

z
又 cos(t ) cos(2 ) 0
2 2 g g voz g z 2 cos(t ) 2 2 g mg F z k 2 k mg k
4mg d 2Cn vox 2m tan 2 1 d 3Cn sin 4mg d 2Cn vox 2m tan 2 1 d 3Cn sin
结论： 能使石块跳离水面的水平初速度分量临界值 石块与水面碰撞的时间
z t 2 t arcsin voz voz
问题分析
直觉似乎告诉人们，使用扁平略圆的石块抛向水面，越用力就越 能让石子在水面有更多弹跳； 而且石块在抛掷时必须旋转，同时石块 要尽可能以较小掠射水面的角度沿水面飞行。根据流体力学的原理， 流速越大压强越小。当物体（密度比水大）掠过水面时，带动它下面
的水在非常短的时间内快速流动，从而压强减小， 而更下面的水是静 止不动的，产生的压强大，如此就对物体产生一个压力，当压力大于 物体的重力时，物体就会弹起，这样的情况重复多次，物体就会出现 在水面上跳跃的情况。当压力小于重力时，物体就沉入水中。此外， 当物体旋转时，能更加带动水的流动，跳跃的次数会更多。首先角度 问题是从石片出手后在水的表面与石子相互作用时产生动 力与阻力 通过受力分析取得的一个极值点。其次，带剧烈的旋转是很重要的， 旋转可以使物体在空中平稳地按原来轨道运 行，因为旋转可以避免 因为空气的湍流而带来的扰动，这样才能保持入射角相对不变； 接着 旋转的小圆片在入水时的那一刹那，因为自身的转动会带动接近 空 气的表面层水的旋转，而在下层的水由于没有这种扰动而保持不动， 所以根据流速与压强的伯努力定律， 流速大的表面水层的压强小，而 底层的压强大， 这样水就会施加一个向上的作用力于小石子，再加上 水由于受到石子的撞击有一个流体的弹性力作用在石子上， 水面对石 块总作用力超过重力， 就会对石子产生一个加速度，改变对石子的运 行轨迹。选用圆形扁 平的石子则是因为圆形物体比较好旋转，而平 的石子可以有大的与水接触的面积，可以带动更多的表层水的运动， 而选用扁的则可以减轻石子重量，这样在改变石子 加速度所需的力 可以小些。因此从力学上来严格分析打水漂的过程,需要分析当石块 和水面碰撞时, 水面及水面下的流体运动的细节 .从石块受力的变化 分析其运动规律，并得出临界状态的条件； 从石块能量的消减得出其 跳跃的极限状态。
Fx Ct C F z t mg Cn Cn
由于碰撞时间很短，且不考虑速度与抛出后石块角度的关系，从而在
每次碰撞中在Z方向为弹性碰撞，即 voz 不变，且X方向速度视为不变， 且将每次石块与水面碰撞时石块运动的水平距离 l 视为相等， 则X方向 流体阻力在碰撞过程作功
W F x S Ct mgvoxt Cn
（一）讨论石块能跳离水面的最小速度
石块与水面碰撞，受到流体的浮力和阻力即及自身重力的共同作用， 每一次接触水面，石块的能量都会消减，所以石块能跳出水面的临界 条件是
zmax d sin
（1）考虑到 很小，故 voz =0 ，
2 vox
zmax
2g
2
d sin
代入（7）式得
F CA v 2 2
设液体的密度为ρ，在垂直于运动方向的面积为A，颗粒沉降的速度 为v。
Z 垂直水面方向
Y
X 水平面方向
石块运动建立的空间直角坐标系
en
v
a b
水面 A et
石块与水面碰撞图
由物理力学知识得到石块与水面碰撞时的运动方程
Ct A v 2 Cn A v 2 F 2 2
（1 ）
2

ACt v 2 cos
2
2 2 考虑 充分小，则 v vox ，由（2）和
2 dz Ct vox F x 2sin 2 F kz dz Cn vox z 2sin
从而
Fx
Ct Fz Cn ，
而石块在X方向受到的平均力是
4mg d 2Cn
结论：能使石块跳离水面的水平初速度分量临界值 （2）若不忽略 ,此时 voz 0 有
vox
4mg d 2Cn
2 g voz zmax 2 1 d sin g voz tan v ox 代入（7）式得
模型假设
1 水流是稳定的流体，即流体的速度、大小等均不变 2 石块在水流中被看成是固体颗粒 3 石块在运动过程中忽略空气阻力 4 石块投掷后相对于水面的角度和初速度是独立的，不互相干扰 5 石块是扁方形的 6 忽略石块和水作用时石块受力和速度改变 7 充分小即 voz 很小 8 忽略石块的旋转
关于打水漂的规律探索
北京师范大学 08 级 3 班 钟锐 0810120905
摘要
打水漂是一项趣味性和娱乐性的游戏，如何使水漂打的又远又好 又多是人们最关心的问题。本篇论文通过石块与水面之间碰撞相 互作用研究不同参数对作用力的影响， 考虑的参数有石块的质量、 石块的形状、石块抛出时相对于水面的角度、石块在飞行时的水 平速度。考虑流体力学中固体颗粒在液体中的流体运动，固体颗 粒受到的压差阻力为
符号约定


et
石块表面和水面之间的夹角, 石块速度v和水面之间的夹角, 平行石块表面的单位向量, 垂直石块表面的单位向量, 与en和et垂直的单位向量，三者构成直角坐标系 石块边长 石块和水面相接触的面积
et
en
ei
d A
Ct
Cn
方向流体作用力的系数 方向流体作用力的系数
en
模型建立
在流体中的物体与流体有相对运动时， 受到流体的浮力、 压力和阻力。 固体颗粒在液体中时， 在水平方向与液体一起运动，在竖直方向受到 外力作用沉降。颗粒所受到的作用力有重力、浮力、液体阻力。液体 对颗粒的阻力包括粘滞阻力和压差阻力，主要是压差阻力。研究固体 颗粒的运动时，可以建立与液体一起运动的参考系、坐标系。在这样 的参考系中，颗粒只在竖直方向运动。开始阶段，颗粒受到的重力大 于浮力向下作加速运动；经过不长的时间，颗粒所受粘滞阻力、压差 阻力都加大。当颗粒受到的外力之和为零时，它匀速下降。由于液体 的粘滞系数比较大， 在物体速度不十分大时， 压差阻力已经比较大了。 圆球形颗粒匀速运动时，受到液体的阻力主要是压差阻力。压差阻力 为

4 dvox 2 m sin
（15）
u
dvox 4
2 m
令 则
n u s i n
1 2
此为常数
则（15）式是当a角度很小忽略 voz 的情形下得到的，所以图一的规律 只在小角度（ 6 ）才有意义

<2>水平初速度对n的影响（图2） 令
u1
32 Cn 4 Ct g

z (t )
2 Cn d vox k m 2m sin
g
2
B1 cos t B2 sin t
(5)
代入起始条件 t 0 ， z 0 ， vz voz 令
g cos
2
2
2
g voz 2 ，
F CA v 2 2 ,由此分析个参数变化石块的受力
情况和运动情况。再利用能量守恒定律及动能定理得出的石块的 最大弹跳次数及相应的影响参数。
关键词
打水漂 流体运动 阻力 浮力 能量消耗
问题重述
侧身弯腰，用力甩你的手腕，手中的石子沿水面漂荡出去。打水漂是 人类最古老的游戏之一，这种游戏规则相当简单： 看谁的石子在水面 跳跃的次数多。 这项游戏的吉尼斯纪录38跳一直由美国的科尔曼麦吉 （J. Coleman-McChee） 保持着，该记录是在1992年克萨斯中部布兰科 河上创造的。这个有趣的现象是否蕴含精确地物理原理呢？
（四）考虑石块每次跳跃的水平距离 s
第n次碰撞后石块以 vox 为水平速度（不变） ， voz 为垂直水面的速度作 抛物运动，此过程只受重力作用
(11)
（二）讨论石块的最大弹跳次数
第n次跳跃
A
B
Sn
C
D
E
由经验我们知道若石块初速度足够大，则可以在水面上连续跳跃，但 由于流体阻力的作用，石块X方向的速度随着与水面碰撞次数增大而 减小。且接触水面点之间距离也逐渐减小。 由（1）知X方向的流体对石块的压差阻力
Fx
ACn v 2 sin
2 2 g voz

（9） (10)
当 voz 很小时
t
2

2
2m sin 2 Cn vox b
即碰撞时间约为简谐运动的一个周期 T t 在碰撞的过程中由（3）式知石块在Z方向受到的流体作用力为 F kz 在t时间内流体平均作用力 F k z
不变时，Z方向的运动方程
m d 2z 1 mg Fz mg A Cn cos Ct sin v 2 2 dt 2 （2）
此时Leabharlann Ad z sin （z<0）
， cos 1 ，
d 2z m 2 mg kz dt
v vx
不妨令 其中
n
2 Cn vox C v2 n ox 2Ct gl 4 Ct g
Cn d 2m sin
（14）
（三）单变量分别分析石块的质量 m ，石块的形状大小 d ， 石块的入射水面的初速度 v ， 石块入射水面的角度 对 n 的影 响
图1
图2
图3
图4
<1>角度 对n的影响(图1)
2 2 Cn vox Cn vox n 2Ct gl 4 Ct g 32 Cn d Cn 2m sin 4 Ct g 3 2 Cn 4 Ct g
由动能定理，从初始到n次弹跳后，这过程中
C 1 2 1 2 mvnx mvox t mgnl 2 2 Cn (12)
其中 l 为石块与水面碰撞时石块运动的水平距离
l voxt 2 2m sin Cn d
(13)
可见当 固定时， l 是常数，与n大小无关 由（12）式知石块跳跃的最大次数为
sin
voz
2

2
g voz 2
则有
g v z (t ) 2 2 cos t sin t 2 2 oz cos(t ) g g voz g
Cn d v2 k ox m 2m si n
2 2
(6)
其中简谐运动角频率
（7）
zmax
2 2 2 g voz g voz 2 2 2 1 g
g
（8）
d
2m sin
则 n u1vox
2
此为二次函数关系
<3>质量m对n的影响（图3）
u2
32 Cn 4 Ct g 4 dvox 2sin
令 则
n u2 1 m
<4>形状大小对n的影响（图4）
u3
32 Cn 4 Ct g 4 vox 2sin
则
n u 3
d
结论：可见决定石块跳跃次数的因素：石块的质量 m ，石块的形状大 小 d ，石块的入射水面的初速度 v ，石块入射水面的角度 。从上述 图形知在其他条件不变及一定的范围内 m 越小或 越小或 d 越大或 v 越大，打出的石块跳跃次数越多，效果越好。
k
（3 ）
d d 2 v 2 Cn cos Ct sin vox Cn 2sin 2sin
此时（3）式表示是受有固定外力作用的简谐运动的方程
d 2z k mg z 0 2 dt m k
(4)
由matlab 求的z(t)= C16*exp((t*(-k*m)^(1/2))/m) - (C16 (g*m)/k)/exp((t*(-k*m)^(1/2))/m) - (g*m)/k 其中 一般解为