第八章 全通系统与最小相位系统

jω
性质3 性质3 最小相位系统具有能量延时最小的特性
若最小相位系统的单位脉冲响应为hmin(n) ，与之具有相同幅度响应的系统的单位脉冲响 应为h(n)，若系统的输入为δ(n)，系统的输 出就是单位脉冲响应，因此最小能量延时的特 性可以表示为
∑
n=0
N −1
| hmin (n) | ≥ ∑ | h(n) |2
z−1 − zo H(z) = H1(z)(1− zo z−1) −1 z − zo 1− z−1zo = [H1(z)( z−1 − zo )][ −1 ] = Hmin (z)HA (z) z − zo
*上式说明可以把单位圆外的零点乘以全通函数后
移到单位圆内。 移到单位圆内。
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的一阶系统函数(r<1)
− z−1 − z1 1 H1(z) = 1− p1z−1
其频率响应为
e −z H1(e ) = H1(z) |z=e jω = 1− p1e
jω
− jω
−1 1 − jω
r sin( ω −ϕ) = exp{− j(ω + 2arctan[ ])} 1− r cos(ω −ϕ)
H(z) =
ak z−N+k ∑
k =0 N
N
ak z−k ∑
k =0
=z
− N k =0 N k =0
ak zk ∑
N
ak z−k ∑
D(z−1) −N =z D(z)
a0 =1
令
,由于 D(e− jω ) = D* (e jω ) 故 z = e jω
D(e− jω ) | H(e jω ) |=| |=1 jω D*(e )
其中
1− zie− jω e jω − zi − jω i2ϕ − jω = − jω e =e e jω = − jω z=e − zi *+e e − zi *
ϕ = arg[ e jω − zi ]
如图所示
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上式表明 Hmin(ejω) 与 HB(ejω) 具有相同的幅度 响应特性 H (e jω ) = H (e jω )
H(z) = Hmin (z)HA (z)
为非最小相位系统 式中 H(z)为非最小相位系统 Hmin(z)最小相位系统 HA(z)全通系统的传输函数
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设H(z)仅有一个零点zo在单位圆外部，这样可 将它写成 −1
H(z) = H1(z)(1− zo z )
式中, H1(z)是一个零极点都在单位圆内部的 最小相位部分，上式可改写成
性质2 性质2
最小相位系统的具有最小群延时 和最小相位滞后特性。 和最小相位滞后特性。
先说明最小群延时性质 假设已知Hmin(z) 和H(z)，且Hmin(z) 和H(z)有相
jω jω 同的幅度响应，即 H(e ) = Hmin (e ) 。其相位响应分别
为 θ = arg[ H(e jω )], θmin = arg[ Hmin (e jω )] 。 令全通系统的传输函数 HA(z) = H(z) / Hmin (z)，其相位 响应为θA = arg[ HA (e jω )] = θ (ω) −θmin (ω) = arg[ H(e jω )] − arg[ Hmin (e jω )] 因为全通系统函数的群延时总是大于零，故有 dθA (ω) d[θ (ω) −θmin (ω)] τ A (ω) = − =− = τ (ω) −τ min (ω) > 0 dω dω 或 τ (ω) >τ min (ω) 说明最小相位系统具有最小的群延时。
2 n=0
N −1
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由式 H(z) = Hmin (z)HA(z)知，可以将一般的系 统表示成最小相位系统和全通系统相级联的形 式，如图所示。
jω jω
HB (e ) =| HB (e ) | e
− jθB (ω)
其中
θB = −arg[ HB (e jω )]
表示信号通过系统HB(z)后产生的相位滞后.
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比较Hmin(ejω)与HB(ejω)可得
Hmin (e jω ) | Hmin (e jω ) | j[θB −θM ] = e jω jω HB (e ) | HB (e ) | Hmin (z) = HB (z)
jϕ
−1 −1 − jω
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一个N阶的全通系统的系统函数表达式为可 化为一阶和二阶系统乘积的形式
z−1 −αi* H(z) = ∏ 1−αi z−1 i =1
N
H(z) = ∏
k =1
N/2
z−2 +α1k z−1 +α2k −1 −2 1+α1k z +α2k z
其中，ai为系统函数的极点。若系统函数是 实有理分式，则 a1k、a2k为实数。
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当频率ω由0变到2π时，单位圆内的每个零点对 相位变化的贡献为+2π，极点为-2π。而单位圆外 的每个零极点对相位变化的贡献为0。设系统具有 M个零点，单位圆内有mi个，单位圆外有mo个，有 N个极点，单位圆内有ni 个，单位圆外有no 个。对 稳定系统no=0，N=ni 。当频率ω由零变到2π时， 稳定系统的相位改变量为
由于r<1，因而对任何频率ω恒有
dθ1(ω) 小于零。 dω
对于N阶系统，总的相位是所有的θn (ω), n =1,2⋅ ⋅ ⋅ N 总和 ，因而性质1成立。
通常定义系统的群延时为 τ (ω) = − dθ (ω) > 0 dω
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现说明性质2 现说明性质2 先考虑N=1时的一阶系统。对实一阶系统，零极点 p1 = re jϕ ,ϕ = 0 ，当频率ω从0变化到 应为实数，此时 ω π时，其相位改变为 ∆θ1(ω) = θ1(0) −θ1(π ) = π 再考虑由一阶系统式的共轭零极点构成的二阶系 − − 统 z−1 − z1 1 z −1 − (z1 1)* z −2 +α11z −1 +α21 H2 (z) = ( )( )= −1 * −1 1− p1z 1− p1 z 1+α11z −1 +α21z −2 其相位响应为 θ2 (ω) = arg[ H2 (e jω )] r sin( ω −ϕ) r sin( ω +ϕ) = −2ω − 2arctan[ ] − 2arctan[ ] 1− r cos(ω −ϕ) 1− r cos(ω +ϕ) 当频率ω从0变化到π时，其相位改变为 ω
满足全通系统的定义。
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容易看出，全通滤波器系统函数H(z)的构 成特点是其分子、分母多项式的系统相同， 但排列顺序相反。
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全通系统的零极点具有以下特性: 全通系统的零极点具有以下特性: 设 pk = re 为H(z)的极点,则 zk = pk = r e 一定为 零点, 对实有理分式的H(z),zk,pk互为倒易关系。 这样全通系统的零极点相对单位圆是镜象共轭成 对的，零点全部在单位圆外,如图所示。
Hmin (z) = (1− zi z−1)F(z)
其中F(z)仍然是最小相位系统。
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将因子(1-ziz-1)用因子(-zi*+z-1)代替，得到系统HB(z)，
HB (z) = (−zi *+z−1)F(z)
由于HB(z)的零点z=(1/zi)*是zi的共轭倒数，在单 位圆外，因此HB(z)是非最小相位的稳定系统。它的频 率响应HB(ejω)为
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全通系统的相位在[ π]范围内为非正值 范围内为非正值。 推论 全通系统的相位在[0，π]范围内为非正值。 因任何系统的相位可表示成最小相位系统的 相位与全通系统的相位之和，故有
arg[ HA (e jω )] = arg[ H(e jω )] − arg[ Hmin (e jω )]
dθ (ω) <0 dω
性质2 对实稳定全通系统，当频率ω 性质2 对实稳定全通系统，当频率ω从0变 化到π 化到π时，N阶全通系统的相位的改 变为Nπ 变为Nπ 。
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现说明性质1 现说明性质1
p1 = re jϕ 和 z1 = ( p1∗ )−1 = r−1e jω 构成 先考虑最简单的由
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显然其幅度响应为
H1(e ) = 1
1− r cos(ω −ϕ)
jω
而相位为 θ1(ω) = arg[ H1(e jω )] = −ω − 2arctan[ r sin( ω −ϕ) ] 上式对ω微分，得
dθ1(ω) − (1− r 2 ) − (1− r 2 ) = = <0 2 j (ω−ϕ ) 2 dω 1+ r − 2r cos(ω −ϕ) | 1− re |
由于相位滞后是相位的负值，因此由式 θB (ω) −θM (ω) = 2ϕ −ω = 2(ψ +ω) −ω = 2ψ +ω ≥ 0 若用HB(ejω)代替H (ejω)得到
arg[ HA (e )] = −{θ (ω) −θM (ω)} ≤ 0
这说明在[0，π]范围内全通系统的相位为非正值.
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再说明最小相位滞后特性 假设已知Hmin(z)，其频率响应为
Hmin (e jω ) =| Hmin (e jω ) | e
其中
− jθM (ω)
θM = −arg[ Hmin (e jω )]
表示信号通过最小相位系统Hmin(z)后产生的相位滞后。 设zi是它在单位圆中的一个零点，Hmin(z)可表示为：
∆ arg[ H(e jω )] = 2π (N − M) + 2π (mi − N) = 2π (mi − M) = −2πmo
当系统函数的所有零点也在单位圆内时， mo =0，因此当ω由零变到2π时： 最小相位系统的相位改变量为零。
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最小相位系统具有以下特性： 最小相位系统具有以下特性： 性质1 性质1 任何非最小相位系统都可以由 最小相位系统和全通系统相级 联构成。 联构成。即
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稳定的全通系统函数的幅度具 有以下性质： 有以下性质：
<1 | H(z) |= =1 >1
| z |>1 | z |=1 | z |<1
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现在讨论全通系统函数的相位特性 性质1 性质1 全通系统的相位特性 θ (ω) 随频率单调 下降， 下降，即有
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∆θ2 (ω) = θ2 (0) −θ2 (π ) = 2π
*任何全通系统都可化为一阶和二阶函数之积，其 相位为这些一阶和二阶系统的相位之和，可表示为
θN (ω) = arg[ HN (e jω )]
N/2 ri sin( ω −ϕi ) ri sin( ω +ϕi ) = −Nω − 2∑arctan[ ] − 2∑arctan[ ] 1− ri cos(ω −ϕi ) 1− ri cos(ω +ϕi ) i =1 i=1 N/2
当频率ω从0变化到π时，其相位改变为 ω
∆θN (ω) = θN (0) −θN (π ) = Nπ
或
∫
π
0
τ N (ω)dω = −∫ dθN (ω) = θN (0) −θN (π ) = Nπ
0
π
式中 τ N (ω) 代表N阶全通系统的群延时
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2．最小相位系统 零极点都在单位圆内的系统这就是 所谓的最小相位系统。 与此相对应，当系统函数的零点都 在单位圆外，称为最大相位系统.在 单位圆内外都有零点的系统称为混合 相位系统。
第八章全通系统与最小相位系统
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1．全通系统 若系统的幅度特性为:
| H(e jω ) |=1,
则称该系统为全通系统。
0 ≤ω ≤π
全通系统的频率响应可表示为:
H(e ) = e
jω
jθ (ω)
,
0 ≤ω ≤π
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一个N阶的全通系统的系统函数表达式为 ：
m in B
它们的相位响应的差别为
θB (ω) −θM (ω) = 2ϕ −ω ≥ 2(ψ +ω) −ω = 2ψ +ω ≥ 0
*表明，对[0，π]中的任何ω恒有 θB (ω) ≥θM (ω) ， 也就是说最小相位系统的相位滞后总是小于所有 其它具有相同幅度响应的系统的相位滞后，这也 就是最小相位系统名称的来由。