高等数学武大社教案12第十二章无穷级数

= ln(??+ 1)
?l?im→∞???? =
-
lim ln ( ??+
?? →∞
1) =
-∞
所以级数
∑∞??=1 ln
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?? 发散 .
??+1
二、级数的基本性质
性质 1 若级数 ∑∞??=1 ????，∑∞ ??=1 ????都收敛，则级数 ∑∞ ??=1(????±????) 也收敛，且 ∑∞??=1(????± ????) = ∑∞??=1 ????±∑∞??=1 ????
的敛散性 .
【解】因为
∑∞??=1
3 2 ??
=
3 ∑∞??=1 21??收敛 ,
∑∞ ??=1
(-1) ?? 2 ??
=
∑∞ ??=1
(
1
)
2
??
收敛
,
由性质
1,
∑∞??=1
3+(-1) 2 ??
??
收敛 .
第二节 正项级数
一、正项级数的定义
定义 若级数满足 un≥0(n=1,2, …), 则称该级数为正项级数 .
≤ s3≤… , 根据极限理论中单调有界数列必有极限的准则 , 判定正项级数是否收
敛 , 只要看 sn 是否有上界 . 如果 {s n} 有上界 , 那么 {s n} 有极限 , 从而级数收敛 ; 反之 ,
如果 {s n} 无上界 , 那么 {s n} 无极限 , 从而级数发散 .
二、比较审敛法 定理 1 （比较审敛法） 设∑∞ ??=1 ????和∑∞ ??=1 ????均为正项级数， 且满足 un≤vn（n ≥ N， N为任意给定的正整数） ，则 （1）若级数 ∑∞??=1 ????收敛，则级数 ∑∞ ??=1 ????也收敛 （2）若级数 ∑∞??=1 ????发散，则级数 ∑∞ ??=1 ????也发散。 条件中 n≥N表示判别不等式 un≤ vn 不一定要从级数的第一项起成立 , 而只需
散.
当 p＞ 1 时，依次把级数的各项按一项、二项、四项、八项……括在一起，
即
11
1111
1
1
1 + ( 2??+ 3??) + ( 4??+ 5??+ 6??+ 7??) + ( 8??+ ? + 15??) + ?
(12-2)
它的各项均不大于级数
11
1111
1
1
1 + ( 2??+ 2??) + ( 4??+ 4??+ 4??+ 4??) + ( 8??+ ? + 8??) + ?
性质 3 在级数中去掉、 加上或改变有限项， 不改变级数的敛散性， 但在级数
收敛时，一般会改变级数的和 .
性质 4 在收敛级数中， 对某些项任意加入括号， 所得级数仍收敛， 且其和不
变.
推论 3 如果在级数中插入括号后新级数发散，则原级数必发散 .
【例
5】判别级数
∑∞??=1
3+(-1) 2 ??
??
的对应项；而后一级数是等比级数，其公比
??=
2
1
??-1
＜
1,
故收敛
.
于是当
p＞
1 时，级数（ 12-2 ）收敛 . 又可以证明收敛的正项级数去括号后仍收敛，所以当 p
＞ 1 时，级数 ∑∞??=1 ?1???收敛 .
综合上述讨论 ,p 级数当 p≤ 1 时发散，当 p＞ 1 时收敛 .
三、比值审敛法
四、教学难点 1. 条件收敛的判定； 2. 幂级数和函数的求法； 3. 函数的幂级数展开 .
五、教学内容 第一节 常数项级数的概念及性质 一、常数项级数的概念 定义 1 设给定一个数列 u1,u 2, …un, …, 则把 u1+u2+… +un+… 称为常数项级数，简称级数
∞
∑ ???? = ??1 + ??2 + ? + ???? + ?
从第 N 项起成立即可 .
定理 1 的结论表明 , 若“大”级数收敛，则“小”级数也收敛；若“小”级
数发散，则“大”级数必定发散 .
【例
2】讨论
p
级数
∑∞??=1
1 ????
(p
＞ 0) 的敛散性 .
【解】当
p≤1
时，
?1???≥
1,
??
由于调和级数
∑∞ ??=1
1 发散，所以级数
??
∑∞ ??=1 ?1???也发
如果一个级数从某一项起全是非负的 , 我们就可以把它作为正项级数对待 .
对负项级数 ( 级数的通项满足 un≤0,n=1,2, … ) 只要表示为
∞
- ∑ (-?? ??)
??=1
就可作为正项级数研究 .
正项级数的前 n 项之和数列 {s n}={u 1+u2+…+un} 是一个单调增加数列 :s 1≤s2
第十二章 无穷级数
一、教学目标 1. 了解函数的幂级数展开式的应用； 2. 熟悉常数项级数、幂级数的概念及其特点； 3. 掌握常数项级数的审敛法、 幂级数的收敛性、 函数展开成幂级数及其运算 .
二、课时分配 本章节共 5 个小节，共安排 10 个学时 .
三、教学重点 1. 比值审敛法； 2. 幂级数收敛半径及收敛区间的求法 .
推论 2 如果级数 ∑∞??=1 ????收敛，级数 ∑∞ ??=1 ????发散，则 ∑∞ ??=1(????±????) 发散 性质 2 若级数 ∑∞??=1 ????收敛，其和为 s，则级数 ∑∞ ??=1 ??????也收敛，且其和为 ks ；如果级数 ∑∞??=1 ????发散，则级数 ∑∞ ??=1 ??????也发散（其中常数 k≠0）
∑∞??=1 ????收敛于 s，若数列 { ????}没有极限，即 ?l?im→∞????不存在，则称级数 ∑∞ ??=1 ????发散。
【例
1】讨论级数
∑∞??=1 ln
?? 的敛散性
??+1
【解】
123
??
123
??
1
s?? = ln 2 + ln 3 + ln 4 + ? + ln ??+ 1 = ln ( 2 ×3 ×4 ×? ×??+ 1) = ln ??+ 1
??=1
其中，第 n 项 un 称为级数的一般项或通项 .
定义 2 若级数 ∑∞??=1 ????的部分和数列 { ????}有极限 s，即 ?l?im→∞???? = ?，? 则称级
数 ∑∞??=1 ????收敛，并称 s 为级数 ∑∞ ??=1 ????的和，记作 ∑∞ ??=1 ???? = s，这时，也称
定理 2 （达朗贝尔比值审敛法）设 ∑∞ ??=1 ????为正项级数，通项相邻项之比的
极限为 lim = ????+1
?? →∞ ????
?，? 则
（1）若 p＜ 1 时，则级数 ∑∞ ??=1 ????收敛
（2）若 p＞ 1 或为﹢∞，则级数 ∑∞ ??=1 ????发散