柏拉图正多面体

面(F) = 6 顶点(V) = 8 边(E) = 12 F+V-E = 6+8-12 = 2
• 验证角柱是否满足尤拉公式：
五角柱 面(F) 7 顶点(V) 10 边(E) 15 F+V-E 2
六角柱 8 12 18 2
……
n 角柱 n+2 2n 3n 2
• 验证角锥是否满足尤拉公式：
面(F) = 4 顶点(V) = 4 边(E) = 6 F+V-E = 4+4-6 = 2
正四面 体
正六面体 正八面体
展开图
正十二面体 正二十面体 展开图
• 验证正多面体是否满足尤拉公式：
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
面(F) 4
6
8
百度文库
12
20
顶点(V) 4
8
6
20
12
边(E) 6
12
12
30
30
F+V-E 2
2
2
2
2
THE END
F=4、V=4、E=6
F+V-E=4+4-6=2 F’=5、V’=6、E’=9
F’+V’-E’=5+6-9=2
•正多面体
每个面都是全等的正多边形，且各个顶点上汇聚 的稜数也相等的凸多面体，称为「正多面体」。
• 正多面体定理：
正多面体只有五种： 正四面体、正六面体、正八面体、 正十二面体、正二十面体
尤拉不仅在数学方面有许多贡献，在力学、光学、 音响学、水利、天文、化学、医药.....等，也都可以 看到他的名字。
我们现在习以为常的数学符号，例如：函数符号 f(x)、圆周率π、自然对数的底 e、求和符号 Σ、log x、sin x、cos x 以及虚数单位 i .........等，很多都是 尤拉所发明的。
面(F) = 5 顶点(V) = 5 边(E) = 8 F+V-E = 5+5-8 = 2
• 验证角锥是否满足尤拉公式：
五角锥 六角锥
面(F) 6
7
顶点(V) 6
7
边(E) 10
12
F+V-E 2
2
……
n 角锥 n+1 n+1 2n 2
动动脑 将任一个多面体截去任意一个顶点，使它形成 一个新的多面体。假如原来的多面体有F张面、 V个顶点、E条边，新的多面体有F’张面、 V’ 个顶点、E’条边，那么 尤拉公式 F’+ V’-E’=2 是不是还会成立呢？
数学讲座
正多面体
老师
平面图形
• 平面上常见的多边形 如：三角形、四边形、五边形、六边形。
•凹多边形
如果我们把它的边延长，我们会发现某些边延
长后会与其它的边相交，像这样的多边形叫做
凹多边形。
A
A
E
D
D
CB
B
C
如果没有特别指明，我们所提到的多边形都是 凸多边形。
• 看一看，你能找出多少个平面图形？
三角锥 四角锥 五角锥 六角锥 若底面是正多边形，且侧面都是互相全等的等 腰三角形，称为正角锥。
• 角锥的展开图
三角锥展开图
四角锥展开图
五角锥展开图
• 圆柱： 直圆柱可视为由两个全等的圆柱底面， 和 一个展开后成一长方形的侧面所组成，且两 个底圆的圆心连线与底面垂直。
• 圆锥： 圆锥是由一个圆形底面和一个侧面所组成
• 圆柱及圆锥的展开图
圆柱展开图
圆锥展开图
倒水实验说明角锥与角柱体积的关
系
1
角锥的体积 = 3 ×角柱的体积
=
1 3
×底面积 ×高
尤拉(或译为欧拉)(Euler,1707~1783)，被称为是 数学界的莎士比亚。
在数学史上，人们称十八世纪为「尤拉时代」。
尤拉于 1707 年 4 月 15 日诞生于瑞士 的巴塞尔(Basel)，31岁时丧失了右眼的视 力，59岁因白内障而双眼失明，但他性格乐 观，并未因为失明而迟缓松懈研究工作。
• 尤拉公式
数学家尤拉，在1752年发现多面体的关系有
F+V-E=2
面(F)：包围多面体的多边形叫做多面体的面 顶点(V)：稜与稜的交点叫做多面体的顶点 稜(边)(E)：两个面相交的线段叫做多面体的稜
• 验证角柱是否满足尤拉公式： 面(F) = 5 顶点(V) = 6 边(E) = 9 F+V-E = 5+6-9 = 2
三角形
五边形 六边形
四边形 平行四边形
正方形 八边形
• 常见的立体图形 你知道这些是什么形状呢？
•角柱 角柱是由上下两个全等的多边形底面和一
些平行四边形的侧面所组成，如果它的两个底 面都是 n 边形，我们就把它称为 n 角柱。
三角柱 四角柱 五角柱 六角柱 侧面都和底面垂直，且每个侧面都是长方形， 称为直角柱。
• 角柱的展开图
三角柱展开图
五角柱展开图
你知道正方体的平面展开图一共有几种吗？ 一共有11种喔！
• 角柱的表面积
三角柱展开图
角柱的表面积 = 侧面的面积和 + 底面积和
角柱的体积 = 底面积 ×高
叠出来的高度 即为高
•角锥 角锥是由一个多边形底面和一些三角形的
侧面所组成，如果它的底面是 n 边形，我们就 把它称为 n 角锥。