高数：曲线积分与曲面积分总结

dS
y O x
dxdy cos γ dS
cos cos
(三合一投影法）
设曲面 Σ 方程： z z ( x , y ),
P ( x, y, z)dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z)dxdy.

P ( x , y , z )
Σ
cos cos
第十一章：小结
（一）曲线积分与曲面积分
（二）各种积分之间的联系 （三）各种积分的计算方法
（一）曲线积分与曲面积分
第一型曲线积分
（对弧长）
第一型曲面积分
（对面积）
曲 线 积 分
联 计 系 算
联 计 系 算
曲 面 积 分
第二型曲线积分
（对坐标)
第二型曲面积分
（对坐标）
曲线积分
对弧长的曲线积分
定 义 L 联 系
1 1 zx zy
2 2
, dS
1 z x z y dxdy
2
2
若 Σ 取上侧， cos 0 ,
由第一类曲面积分计算 公式得
(3)符号取正号 .
进行三个代换化为二重 积分
R( x, y, z )dxdy R[ x, y, z( x , y )]dxdy

P ( x , y )dx Q ( x , y )dy
L

P[ (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t )] (t )}dt

格林公式：
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数
P ( x , y ) 及 Q ( x , y ) 在 D 上具有一阶连续偏导数,

斯托克斯公式
（三）二型积分计算
1.二型曲线积分计算
参数法：
设 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在曲线弧 L 上有定义且连 续 , L 的参数方程为 x ( t ), 当参数 t 单调地由 变 y ( t ),
到 时 , 点 M ( x , y ) 从 L 的起点 A 沿 L 运动到终点 B ,
1.定积分与不定积分的联系
b

f ( x )dx F (b ) F ( a )
( F ( x ) f ( x ))
a
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
( x y )dxdy
D
Q
P
Pdx Qdy
(沿L的正向)
L
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系

o
D xy
y
x
投影法
(1)把曲面Σ向xoy面投影，得区域Dxy
(2)把曲面Σ的方程z f ( x, y )代入被积函数 .
n { z x , z y ,1 },
R( x , y, z )dxdy R( x , y, z ) cos dS

cos
Dx y
注：“一投,二代,三定号”
若 取下侧 , cos 0 ,
把曲面Σ向xoy面投影，得区域Dxy
R( x , y, z )dxdy R[ x, y, z( x, y )]dxdy
Dx y
2 .如果 由 x x ( y , z ) 给出 , 则有
P ( x , y, z )dydz P[ x( y, z ), y, z ]dydz
( x y

P
Q

R z
)dv
Pdydz Qdzdx Rdxdy

高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
( y

R

Q z
)dydz (
P z

R x
)dzdx (
Q x

PBaidu Nhomakorabeay
)dxdy

Pdx Qdy Rdz
f ( x , y ) ds lim
对坐标的曲线积分
0
n
f ( i , i ) si
L P ( x , y ) dx
n
Q ( x , y ) dy
i 1
lim
0
[ P ( i , i ) x i Q ( i , i ) y i ]
i 1
（1 ） 对 D 内任意一条闭路径 (2)
L , Pdx Qdy 0 ;
L
Pdx
L
Qdy 在 D 内与积分路径无关；
u ( x , y )使 得
（3） 存 在 二 阶 连 续可 导 函 数 du Pdx Qdy ,
( x, y) D;
(4)
Q x

P y
,(x, y) D.
一阶连续偏导数, 则有公式
( y

R
Q z
)dydz (
P z

R x
)dzdx (
Q x

P y
)dxdy

Pdx Qdy Rdz

斯托克斯
2.二型曲线积分计算
把曲面Σ向yoz , xoz , xoy面投影，得区域 yz , Dzx , D xy . D 进行三个代换 化为三个坐标面上的二 , 重积分.
计算
曲线积分
定积分
Stokes公式 计算 曲面积分 Guass公式
计算 重积分
积分概念的联系


f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
定积分
当 R1 上区间 a , b]时, [ f ( M )d



b
f ( x )dx .
P ( x , y, z )dydz Q( x , y, z )dzdx R( x , y, z )dxdy.

P[ x( y , z ), y , z ]dydz
D yz
Q[ x, y( z , x ), z ]dzdx R[ x, y, z( x , y )]dxdy
Dzx Dx y
(dydz , dzdx, dxdy平面元素 曲面元素投影 ( ))
其中
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
Pdydz Qdzdx Rdxdy


( P cos Q cos

R cos )dS
理论上的联系
D
1
b
y2 ( x )


f ( x , y , z )dV
a dx y ( x ) dy z ( x , y ) f ( x , y, z )dz , (dV体元素)
1 1
b
y2 ( x )
z2 ( x , y )

f ( x , y )ds
L

b
f [ x , y( x )] 1 y dx , ( ds线元素(曲))
0 , 0 .

2


1
dydz cos dS , dzdx cos dS , dxdy cos dS .
dydz cos dxdy cos dS , dS . dzdx cos
z
dxdz cos dS
cos dS ,
dydz cos α dS
a
二重积分
当 R2 上区域D时,


f ( M )d

D
f ( x , y )d .
曲线积分
当 R2 上平面曲线 时, L



f ( M )d

f ( x , y )ds .
L
三重积分

当 R3 上区域时,
f ( M )d
f ( x , y , z )dV
斯托克斯(stokes)公式（*）：
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, Σ 是以
Γ 为边界的分片光滑的有向曲面, Γ 的正向与 Σ
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具有
1． 设积分曲面Σ 是 由方程 z z ( x , y ) 所 给出的曲面上侧,Σ 在 xoy 面上的投影区 域为 D xy ,函数 z z ( x , y ) 在 D xy 上具 有一阶连续偏导数, 被积函数 R ( x , y , z ) 在Σ 上连续.
z
n
z f ( x, y)
0

n
f ( i , i , i ) S i
lim
i1
0
R ( i , i , i ) ( S i ) xy
i 1
n
Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS




f ( x , y , z ) dS

曲线积分
当 R3 上空间曲线 时,


f ( M )d


f ( x , y , z )ds .
曲面积分
当 R3 上曲面时,


f ( M )d


f ( x , y , z )dS .
计算上的联系
f ( x , y )d a dx y ( x ) f ( x , y )dy, (d面元素)
Q P y
则有
Pdx Q dy
L
( x
D

)d x d y
其中 L 是 D 的取正向的边界 曲线,公式称为格林公式.
格林
积分与路径无关：
定理2 设D是平面单连通区域， ( x , y ), Q( x , y )及其 P 一阶偏导数在 内连续，则下述四个命 D 题等价：
f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy
2 2


R ( x , y , z ) dxdy


D xy
R [ x , y , z ( x , y )] dxdy
D xy
算 一投,二代,三换(与侧无关)一投,二代,三定号 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系

三个代换
( )
二代一定 (与方向有关)
与路径无关的四个等价命题
条 件 等
价 命 题
在 单 连 通 开 区 域 D 上 P ( x , y ), Q ( x , y ) 具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
(1)
( 2)
在D内 Pdx Qdy与路径无关
2
a

f ( x , y )dx
L

b
f [ x , y( x )]dx , ( dx线元素( 投影))
a


f ( x , y , z )dS

D xy
f [ x , y , z ( x , y )] 1 z z dxdy x y
2 2
(dS曲面元素)
把曲面Σ向yoz , xoz , xoy面投影，得区域 yz , Dzx , Dxy . D
3 .如果 由 y y ( z , x ) 给出 , 则有
D yz
把曲面Σ向yoz面投影，得区域D yz
把曲面Σ向xoz面投影，得区域Dxz
Q( x , y , z )dzdx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx
Dzx
注意:(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
dxdy Q( x , y , z )
dxdy R( x , y , z )dxdy
P ( x, y, z ) z xdxdy Q ( x, y, z ) z ydxdy R( x, y, z )dxdy
(2)若投影域面积是零，则积分值是零。
注：“一投,二代,三定号”
z

2
O
n
y
1
x
若 是母线平行于 z 轴的柱面 , 则 Pdxdy 0 .

例如积分 I 1 : x
2 2


( x y 1 ) dxdy ,
y
2
1 , ( 0 z 1 );
: x y 1 , ( x 0 , y 0 , 0 z 1 ).
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds
L f ( x , y )ds

2 2
计
LPdx Qdy

算
f [ x ( t ), y( t )] x y dt [ P[ x( t ), y( t )] xt Q[ x( t ), y( t )] yt dt t t
L
C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
在D内存在U ( x , y )使du Pdx Qdy
在D内, P y Q x
( 3)
( 4)
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
R ( x , y , z ) dxdy

定 义
联 系 计


f ( x , y , z ) dS lim