能量-时间测不准关系11.4

∆E ⋅ τ A > h 2, ~
每一个力学量 A 都有相应的 τ A ，在这些 τ A 中，最小的一个记为 τ ，它当然满足式
∆E ⋅ τ ≥ h 2,
或写成
∆E ⋅ ∆t > h 2, ~
此所谓能量-时间测不准关系。 此所谓能量 时间测不准关系。 时间测不准关系
三、能量-时间测不准关系的意义 能量 时间测不准关系的意义 1. 物理含义 对能量-时间测不准关系 ∆E ⋅ ∆t > h 2, ~ △E表示状态能量的不确定度。 特征时间， 特征时间 △t 为该状态的特征时间 可理解为状态性质 状态性质 有明显改变所需要的时间间隔，或变化周期 有明显改变所需要的时间间隔 变化周期。 变化周期 上式表明， △E与△t不能都任意地小下去， 而要受到一定的制约。 如 激光脉冲：
是指同一时刻而言。 是指同一时刻而言。 而在能量-时间测不准关系中， t 是不可 在能量 时间测不准关系中， 时间测不准关系中 ∆ 同一时刻”理解的。 能用 “同一时刻”理解的。
物理意义不同。 ③物理意义不同。
坐标-动量测不准关系给出的是微观粒子坐标和 坐标 动量测不准关系给出的是微观粒子坐标和 动量二力学量的不能同时确定性； 动量二力学量的不能同时确定性； 而能量-时间测不准关系给出 能量分辨和时间分 而能量 时间测不准关系给出:能量分辨和时间分 时间测不准关系给出 辨是不可能同时达到高精度要求的。 辨是不可能同时达到高精度要求的。
2. 能量 时间测不准关系与坐标 动量测不 能量-时间测不准关系与坐标 时间测不准关系与坐标-动量测不 准关系的区别 在非相对论情况下， ①在非相对论情况下，时间 t 只是一个参 量，而不是属于某一特定体系的力学量。 而不是属于某一特定体系的力学量。
②在坐标-动量测不准关系中，∆x 与 ∆p x 都 在坐标 动量测不准关系中， 动量测不准关系中
在此态下，各力学量的几率分布要随时间改变。 比如粒子的空间几率分布 粒子的空间几率分布
r r 2 ρ (r , t ) = ψ (r , t ) r 2 r 2 * = ψ 1 (r ) + ψ 2 (r ) + ψ 1*ψ 2eiωt +ψ 1ψ 2 e −iωt ,
(
)
其中
ω = ( E2 − E1 ) h = ∆ E h,
由于在此非定态 非定态下，有可能测得 E1 ， 也可 非定态 能测得 E2 ，故可将 ∆E = E2 − E1 视为测量体 系能量时出现的不确定度。 由
2 2 * ρ(r , t ) = ψ1 (r ) + ψ 2 (r ) + ψ1 ψ 2 e iωt + ψ1ψ * e − iωt 2
(
)
ρ 可知， (r , t ) 随时间呈周期性变化,其周期为
ˆ = ih ∂ ， 由此得出 H,t = ih. ˆ ④不能随便地令 H ∂t ˆ 是表征体系随时间演化特性的力学量, H 是表征体系随时间演化特性的力学量 而体系
状态的演化要满足方程
[ ]
∂ ˆ ih ψ (t ) = Hψ (t ) ∂t
#
Heisenberg测不准关系： 测不准关系： 测不准关系 与宏观物体不同,微观粒子表现出明显的波 动性,该特性的突显使得Heisenberg的测不准 关系在微观粒子的描述中显得非常重要。 坐标与动量的测不准关系。 坐标与动量的测不准关系。
h ∆x⋅ ∆p ≥ 2
下面讨论另一种测不准关系
§11.4 能量与时间测不准关系
由于： 式
d 1 A = [ A, H ], dt ih
1 ∆E ⋅ ∆A ≥ [ A, H ] 2
可表为 或
h d ∆E ⋅ ∆A > ~ 2 dt A ,
∆A ∆E ⋅ > h 2. ~ d A dt
令
τA
d = ∆A / A dt
意义： A 改变 ∆ A 所需的时间间隔，表征 A 变化快慢的周期。 此时
例3 设原子处于激发态，它可以通过自发辐射 而衰变到基态，寿命为 τ 。见下图。 此激发态是非定态,其能 量不确定度为△E, 称为 能级宽度并用Γ表示。 实验上可以通过测量 自发辐射光子的能量来测出激发态的能量。
已知粒子在激发态上的寿命为τ ,则自发辐射 光子相应的辐射波列的长度为 ∆x ~ cτ 因而光子动量不确定度为
从几个特例出发来探讨这个问题。 一、几个特例 例1 设粒子初始状态为
r r r ψ (r ,0) ≈ ψ 1 (r ) +ψ 2 (r ),
其中： ψ1 和 ψ 2 是粒子的两个能量本征态， 本征值分别为 E1 和 E2 .
r r −iE1t h 则有： ψ (r , t ) = ψ 1 (r )e +ψ 2 e − iE2t h ,
∆p ~ h / ∆x ~ h / cτ 从而能量 ( E = cp) 的不确定度为
∆E = c∆p ~ h τ
由此得出粒子激发态能量的不确定度 Γ 并满足
Γτ = ∆Eτ ~ h 上述例子给出相同的结论：
(能 不 定 ) (状 改 特 时 ) ~ h 量 确 度× 态 变 征 间
﹟
二、能量-时间测不准关系的严格推导 能量 时间测不准关系的严格推导
T = 2π ω = 2πh ∆ E = h ∆ E
动量及其它力学量的几率分布也有同样的变 化周期. 化周期
故此周期 T 是表征体系性质变化快慢的特征 时间，记为
∆t = T
由
∆t = T = h ∆E
有
∆t∆E ~ h
对定态来说，能量是完全确定的，即
∆E = 0
而定态的特点是： 而定态的特点是：所有不显含时间的力学量 几率分布都不随时间改变， 几率分布都不随时间改变，∆t →∞ 是一致的。 这与关系 ∆t∆E ~ h 是一致的。
例2 自由粒子可以用一个波包来描述，如图所示： 设波包的宽度~△x, 群速度为v.
则波包掠过空间某点A所需要时间为：
ຫໍສະໝຸດ Baidu∆t ~ ∆x / v
而波包所描述粒子的动量不确定度为：
∆p ~ h / ∆x
从而其能量不确定度为：
∂E ∆E ≈ ∆p = v∆p ∂p
所以：
∆x ∆t ⋅ ∆E ~ ⋅ v∆p = ∆x ⋅ ∆p ~ h v
ˆ ˆ 设体系的Hamilton量是 H , A为另一个不含 时的力学量。 由前面所学习的测不准关系
有 其中
1 ∆A ⋅ ∆B ≥ [ A, B ] , 2 1 ∆E ⋅ ∆A > [ A, H ] , ~2
2
∆E = ( H − H )
[
],
12
∆A = ( A − A)
[
2
]
12
分别表示在给定状态下能量和力学量A的不 确定度。