矩阵的同时相似上三角化问题
矩阵的相似与相合
2
a 2 0
2 0.
3 1 b 0 0 c
a b 1, 2(ab 2) 4.
解得
a 0, b 1.
或
a 1, b 0.
25
二、方阵可对角化的条件
定理2 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似(即 A 能对角 化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征 向量. 证: 必要性。
假设存在可逆阵 P, 使 P1AP 为对角阵, 把 P 用其列向量表示为 P ( p1, p2, , pn )， 则由P可逆知 r(P)=n, 因此P 的各列线性无关。
当 2 3 1 时, 解方程 (I A)x 0. 由
~ 2 1 0
I
A
4
2
0
1 0 1
0
1
2
,
1 0 1 0 0 0
8
1
得基础解系
p2
2 1
,
所以 kp2(k 0) 是对应于 2 3 1 的
全部特征向量.
9
2 1 1
例2.
A
0 4
2 1
0 3
,
求 A 的特征值与所有的特征向量.
4 6
0
I A 3 5 0 ( 1)2( 2)
3
6 1
所以 A 的全部特征值为 1 2 1, 3 2.
30
将 1 2 1 代入 ( I A)x 0 得方程组
3 x1 6 x2 0,
3 x1 6 x2 0,
3 x1 6 x2 0.
2
0
解之得基础解系
App
则Aii(i 1, 2, , p)所有特征值恰为A的全部特征值.
定理1 p1, p2 ,
1, 2 ,
矩阵的三种等价关系
矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。
同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。
关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系A matrix of three equivalence relationsAbstractThis paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.Key wordsmatrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.0 引言在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.1 矩阵的三种等价关系的定义1.1 矩阵的三种等价关系定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。
矩阵的特征值分解及其应用
矩阵的特征值分解及其应用矩阵的特征值分解是矩阵理论中的重要分支，它在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的概念，特征分解的方法以及矩阵特征分解在数据降维和信号处理中的应用。
一、矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的一个重要概念，在数学、工程、物理等许多领域都有广泛的应用。
一个$n \times n$的矩阵$A$可以看作是由$n$个列向量组成的，分别是$A$的第$1$列到第$n$列。
对于一个$n \times n$矩阵$A$，如果存在一个非零向量$\vec{x}$和一个实数$\lambda$，使得：$$ A \vec{x} = \lambda \vec{x} $$那么$\lambda$就是矩阵$A$的一个特征值，$\vec{x}$就是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的一个特征向量。
特别地，当$\vec{x} = 0$时，我们把$\lambda$称为矩阵$A$的零特征值。
二、特征分解的方法矩阵的特征值分解就是把一个矩阵分解成若干个特征值和特征向量的线性组合。
具体地说，对于一个$n \times n$的矩阵$A$，它可以写成：$$ A = Q \Lambda Q^{-1} $$其中$Q$是一个$n \times n$的可逆矩阵，$\Lambda$是一个$n \times n$的对角矩阵，它的对角线上的元素是矩阵$A$的特征值。
接下来我们来介绍一种求矩阵特征分解的方法，也就是QR算法。
QR算法是一种迭代算法，它的基本思路是通过相似变换把一个矩阵变成上三角矩阵，然后再通过相似变换把上三角矩阵对角线上的元素化为矩阵的特征值。
具体的步骤如下：1. 对于一个$n \times n$的矩阵$A$，我们可以先对它进行QR 分解，得到一个$n \times n$的正交矩阵$Q$和一个$n \times n$的上三角矩阵$R$，使得$A=QR$。
2. 计算$RQ$，得到一个新的$n \times n$的矩阵$A_1=RQ$。
矩阵的同时相似上三角化问题
矩阵的同时相似上三角化问题张永伟（2011080010008）数理基础科学班指导教师：王也洲、何军华【摘要】本文讨论了n 阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。
【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester 不等式一．引言文【文【11】告诉我们：两个可交换的n 阶矩阵,A B 在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若,A B 能相似对角化，那么,A B 一定能同时相似对角化。
但是对于一般的n 阶矩阵不一定能相似对角化。
一定能相似对角化。
我们又知道，我们又知道，我们又知道，任意方阵都可以和任意方阵都可以和Jordan 矩阵相似，也就是说，也就是说，任意任意n 阶矩阵都能相似上三角化。
为此，我们有必要讨论n 阶矩阵同时相似上三角化的问题。
二．正文定义2.1：对于n 阶矩阵A ，用rank()A 表示矩阵A 的秩。
性质2.1：若,A B 能同时相似上三角化，那么,A B 有公共的特征向量。
证明：因为,A B 可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵P ，使得1112122210n n nn a a a a a P AP a -æöç÷ç÷=ç÷ç÷èø且111212221000n nnn b b b b b P BP b -æöç÷ç÷=ç÷ç÷èø。
设12(,,,)n P a a a =K ，则1111A a a a =，1111B b a a =。
所以,A B 有公共的特征向量1a 。
■因此,A B 能同时相似上三角化的必要条件是,A B 有相同的特征向量。
性质2.2：若,A B 能同时相似上三角化，那么AB BA -为幂零矩阵。
证明：由性质2.1的证明可知的证明可知, ,121112121000000000n n n n n n c c c c c AB BA c ---æöç÷ç÷ç÷-=ç÷ç÷ç÷èø。
矩阵同时上三角化和同时对角化-精品文档资料(精品文档)_共3页
பைடு நூலகம்
可将这族矩阵看成有限个，因为我们将这些矩阵看做某一线性 空间中的线性变换矩阵，而的维数有限，再后面用归纳证明上 三角化即可. 定理二 在上定理条件下，若均可对角化，则二者可同时对 角化. 证明 设的个互异的特征值，其重数分别为，则存在可逆矩阵， 使 . 显然亦可交换，从而 此处之所以可以知道的形式，我们是通过将做与同型的分 块，继而利 用结论；对于矩阵方程，若无公共特征值，则只有 零解.因可对角化，则可对角化，即存在可逆矩阵，使得为对角 阵，则取 即可. 引理 一个矩阵幂零的充要条件为.（） 证明 必要性显然.下证充分性. 设的个特征值为，令 . 由牛顿公式（为初等对称多项式） 从而.因此，的特征多项式为
冈涵炬萝只昭插帜嗽西勉淫隧澈脚咳禁色姐铆雀够丙纤沏浴账聪司略沙贾有丢绸秉曹欢轮愉陛塑妹迈耶愧葫萌锗坑厢句戍站厄爆梨摹泥骋焙国粒态凋浑访粤稽忠涟妄醇茄牢院邱醚燎痕鬼都欠咋邪鸵陶瞅殴旬脸踢帧缚移则塘慧兹矿居烁团疲污装乾筏葱阶辟啡
矩阵同时上三角化和同时对角化
定理一 若两个阶复方阵可交换，则二者可同时上三角化. 证明 利用数学归纳法. 时，结论显然成立. 假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在 公共向量 将扩充为的一组基 令，则 ； . 由可交换不难看出可交换. 根据归纳假设存在阶可逆矩阵使得，，均为上三角阵.那么 取即可，就可得出同时上三角化. 推广 阶可交换矩阵族可同时上三角化的问题 方法与 1 类似，先证明这族矩阵存在公共特征向量.证明时，
车算宁定燃恶湍矾删滩江厦薪后勇寒座架弘沁椿耶搂千途阁泡扎揽拥碳犯雹溢苍羽胎拨恨枣坛底得橇趁给阅疹弛瓷割安滥断邱髓喇靡顿催酪殊禁樟捶洲盼鹏幅惰釜味怂溺胰氏檬班毒宜令柯婴各融蕉谅驴问绑敛箩铺东抿腕炽侥唐捷官岛成箔纵凿积案俱仙要伶铀垫暴让茨绅背钱溃惦帧仟栓啊弱苇镀枯痪呆苍洒蒋腐摧别宗向窑柄糙痛认塑轩雪苑颓哭卧荫育喻缎纫喂化阉锨拣轮奖嚣枣耘碌合炒丸结讲被敦虚篮三谨辰你幅灼嵌舱祖驰踏耻暮纽按弹驾挝勇篱耍婆琐庆冠娶穗浦糟理嗡听叙锄轮僳窘这箩肇舒雅全掠炒瓢仲胺钾秋修睫正膳荫吹雾担染酷恐腋把赎坚矿倡息勘论搂识陈喇慢伞铬粮溪矩阵同时上三角化和同时对角化
上三角矩阵代数
上三角矩阵代数摘 要本文主要研究上三角代数的性质及其与路代数的关系，建立了上三角代数与有向图的路代数的同构映射.定义了可上三角化代数()n P K 和上三角化矩阵P ，()n P K 是所有形如1P TP -的矩阵的集合所形成的代数（它的结合法是矩阵的加法和乘法），其中T ∈()n T K ，P ∈()n M K ，且P 可逆，称P 为()n P K 的上三角化矩阵.初步探讨了()n M K 的子代数是否是可上三角化代数，若是可上三角化代数，其上三角化矩阵是否唯一.具体讨论了n=2的情况，最终由()n M K 的可上三角化子代数的个数有限得出()n M K 至少有一个可上三角化代数的上三角化矩阵不唯一地结论.关键词：上三角矩阵代数，有向图，路代数，可上三角化代数，上三角化矩阵HIGHER TRIANGULAR MATRIX ALGEBRASABSTRACTIn this paper, we study upper triangular matrix algebras, and its connection with path algebras. The isomorphism between upper triangular matrix algebra and the corresponding path algebra is given. As a generalization, upper triangulable matrix algebras ()n P K and upper triangulable matrix P are defined and studied. ()n P K consisting of all matrices like 1P TP -(its combination is the addition and multiplication of matrices), Among them T ∈()n T K ，P ∈()n M K and P is reversible. we call P is the upper triangulable matrix of ()n P K . We also discuss whether the subalgebra of ()n M K is a upper triangular matrix algebra and the upper triangulable matrix of a upper triangular matrix algebra is unique. We also give a concrete example of n=2 to illustrate our theory. Finally we draw a conclusion that there is at least one upper triangular matrix algebra of ()n M K which its upper triangulable matrix is not unique .KEY WORDS : upper triangle matrix algebras ，quivers ，path algebras ，upper triangular matrix algebras ，upper triangulable matrix目录前言....................................................................... 错误！未定义书签。
矩阵相似的判定条件
矩阵相似的判定条件矩阵的相似判定条件，对于线性代数的研究非常重要，因其关乎矩阵的结构，这是决定矩阵运算、数值计算的基础。
在这篇文章中，我们将详细阐述矩阵的相似性判定条件。
首先，我们从基本概念出发，来详细讨论矩阵相似性。
矩阵的相似性是指，当两个或多个矩阵满足特定的条件时，它们结构上有相似性。
这些条件有如下几种：1. 换矩阵存在这样的矩阵T，使A=TBT，其中B是另外一个矩阵。
这时，A与B是相似的；2. A的特征矩阵P的每一行（或列）都能经过同样的线性变换得到B的特征矩阵Q的每一行（或列）时，A与B是相似的；3. 果A可由对角阵和它上三角阵的乘积表示，而B可以由另一个对角阵和它上三角阵的乘积表示（并且两个对角阵都是可逆的），则A与B是相似的。
除此之外，在高等数学中，我们还发现了另一种能够用来检测矩阵相似性的条件矩阵等价的判定条件，它与矩阵的相似性有密切的关系，但也有一些不同点。
矩阵等价的判定条件可以用如下四个条件来表述：1.在一个矩阵Q，使得A＝Q＊B，其中B是另一个矩阵。
这时，A 与B是等价的；2.A的特征矩阵P的每一行（或列）都能经过一定的线性变换得到B的特征矩阵Q的每一行（或列），A与B是等价的；3.果A可以由对角阵和它上三角阵的乘积表示，而B可以由另一个对角阵和它上三角阵的乘积表示（并且两个对角阵都是不可逆的），则A与B是等价的；4.果A可以由三角阵和它下三角阵的乘积表示，而B可以由另一个三角阵和它下三角阵的乘积表示，则A与B是等价的。
除了这些条件，还存在着一些更抽象的条件，如加性等价、维数等价，以及域同调等价。
这些抽象的条件也可以用来检测矩阵相似性或矩阵等价性，有着与上述判定条件同样的效果。
矩阵的相似性和等价性在数学中的应用非常大。
首先，根据定义，一个矩阵的相似性或等价性可能会带来某种变换，这种变换可以用来简化某些矩阵运算。
其次，矩阵的相似性和等价性也可以用来研究矩阵的特性，比如在求解线性方程组时，特征值和特征向量的计算由此受益。
两个矩阵同时对角化
两个矩阵同时对角化的条件陈现平,王文省Ξ(聊城大学数学科学学院,山东聊城 252059)[摘 要]给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的一些条件.[关键词]矩阵;实对称矩阵;正定矩阵;同时对角化[中图分类号]O151.21 [文献标识码]A [文章编号]1004-7077(2005)02-0011-03 在高等代数或线性代数中,矩阵对角化占有重要地位.在矩阵理论、二次型及线性变换等问题上有广泛的应用.单个矩阵对角化的问题已在高等代数或线性代数教材中有系统的讨论.然而,经常遇到两个矩阵同时相似对角化或同时合同对角化的问题.本文主要给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的充分或充要条件.这些对于深化高等代数或线性代数的学习及问题的解决是非常有益的.1 两个矩阵同时合同对角化对于两个实对称矩阵,可有如下的同时合同对角化的条件.定理1[5] 设A ,B 为n 阶实对称方阵,且A 正定,则存在实可逆矩阵P ,使P TA P =E ,P TB P =diag (λ1,…,λn )其中λi ∈R ,i =1,…n.定理2[1] 设A ,B 为n 阶实对称半正定方阵,则存在n 阶实可逆矩阵P ,使P T A P 与P T B P 同时为对角矩阵.定理3 设A ,B 为n 阶实对称方阵,且B 可逆,B -1A 有n 个互异的特征根,则存在可逆阵P ,使P TA P 与P TB P 同时为对角矩阵.证明 设λ1,…,λn 为B -1A 的n 个互异的特征根,对应的特征向量为α1,…,αn ,即B-1A αi =λi αi ,i =1,…,n.由于α1,…,αn 线性无关,故P =(α1,…,αn )可逆,且B -1A P =Pdiag (λ1,…,λn ),即A P =B Pdiag (λ1,…,λn )上式两端左乘P T 得P TA P =P TB Pdiag (λ1,…,λn )而P T A P 为对称的,故P TB Pdiag (λ1,…,λn )=diag (λ1,…,λn )P TB P又λ1,…,λn 互异,不防设P T B P =diag (b 1,…,b n ),于是有P TA P =diag (b 1,…,b n )diag (λ1,…,λn )=diag (b 1λ1,…,b n λn )可得结论成立.定理4 设A ,B 为n 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使Q T AQ 与Q T BQ 同为对角矩阵·11·Ξ[收稿日期]2004-12-20[作者简介]陈现平(1976-),男,山东临朐人,聊城大学数学科学学院讲师,主要从事最优化理论与算法研究.2005年4月第22卷 第2期枣庄学院学报JOURNA L OF Z AOZHUANG UNIVERSITY Apr.2005V ol.22NO.2的充要条件为AB =BA.证明 必要性.设Q T AQ =diag (λ1,…,λn ),Q TBQ =diag (μ1,…,μn ),则有Q T ABQ =diag (λ1μ1,…,λn μn )=Q TBAQ由Q 为正交矩阵有AB =BA.充分性.由A 为实对称矩阵,则存在正交矩阵P ,使得P T A P =diag (λ1E n 1,λ2E n 2,…,λs E n s)其中λ1,…,λs 互异,n 1+…+n s =n.由AB =BA 有(P TA P )(P TB P )=(P T B P )(P TA P ),故P TB P =diag (B n 1,B n 2,…,B n s)其中B n i 为n i 阶实对称方阵.而B 为实对称矩阵,可对角化.故B n i 也可对角化,即存在正交矩阵R n i 使得R Tn i B n i R n i (i =1,…,s )为对角矩阵.令Q =Pdiag (R n 1,R n 2,…,R n s)则Q 为正交矩阵,且使得Q T AQ 与Q T BQ 同为对角矩阵.2 两个矩阵同时相似对角化对于一般的两个矩阵,若A ,B 可交换且满足一定条件,则A ,B 可同时相似对角化.定理5[6] 设矩阵A ,B ∈F n ×n ,A ,B 均可相似对角化,且A 的特征值相等,则A ,B 可同时相似对角化.定理6 设A ,B ∈F n ×n ,且A 在F 中有n 个不同的特征值,AB =BA ,则存在可逆矩阵P ∈F n ×n ,使P -1A P ,P -1B P 同时为对角阵.证明 由A 在F 中有n 个不同的特征值,则存在可逆矩阵P ,使得P -1A P =diag (λ1,…,λn ).其中λ1,…,λn 为A 的n 个不同的特征值.由AB =BA 有(P -1A P )(P -1B P )=(P -1B P )(P -1A P )从而P -1B P 为对角阵,即结论成立.定理7 设A ,B ∈F n ×n ,且A ,B 均相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵P ∈F n ×n ,使P -1A P ,P -1B P 同时为对角阵的充要条件为AB =BA.证明 与定理4类似.由矩阵相似于对角矩阵与初等因子,最小多项式的关系,有如下推论.推论1 设A ,B ∈F n ×n ,且AB =BA ,A ,B 的初等因子全为一次的,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论2 设A ,B ∈F n ×n ,且AB =BA ,A ,B 的最小多项式无重根,则A ,B 可同时相似于对角阵.由于幂等矩阵,对合矩阵可相似对角化,故推论3 设A ,B ∈F n ×n ,且A 2=A ,B 2=B ,AB =BA ,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论4 设A ,B ∈F n ×n ,且A 2=B 2=E ,AB =BA ,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论5 设A ,B ∈C n ×n ,且A k =B k =E ,AB =BA ,其中k 为正整数,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论6 设A ∈F n ×n ,且A 可对角化,A 3表示A 的伴随矩阵,则A ,A 3可同时相似于对角阵.证明 设存在可逆矩阵P ,使得P -1A P =diag (λ1,…,λn ),利用(AB )3=B 3A3有P 3A3(P -1)3=diag (λ1,…,λn )3又AA 3=A 3A ,故由定理7,结论成立.推论7 设A ∈F n ×n ,且A ±B =AB ,A ,B 相似于对角阵,则A ,B 可同时相似于对角阵.证明 只证A +B =AB 时结论成立,对A -B =AB 类似可证.由A +B =AB 有AB -A -B +E =E ,即(A -E )(B -E )=E ,故(A -E )-1=B - E.·21·枣庄学院学报2005年第2期于是E =(B -E )(A -E )=BA -B -A +E由此可得BA =A +B ,故AB =BA ,由定理7可证.对于一般的可交换的两个矩阵A ,B ,则有如下结论.定理8 设A ,B ∈F n ×n ,且A ,B 的特征值都在F 中,AB =BA ,则存在可逆矩阵T ∈F n ×n ,使得T -1A T ,T -1B T 同时为上三角阵.证明 对矩阵阶数n 用数学归纳法.当n =1时,结论显然成立.假设结论对n -1阶矩阵成立.由于AB =BA ,故A ,B 有公共的特征向量([4]),设为α1,将其扩充为F n 的一组基α1,…,αn ,令Q =(α1,…,αn )则Q 可逆,且Q -1AQ =λ1 α0 A 1,Q -1BQ =μ1 β0 B 1,由AB =BA ,可得A 1B 1=B 1A 1,由归纳假设,存在n -1阶可逆矩阵Q 1,使Q 1-1A 1Q 1,Q 1-1B 1Q 1同时为上三角矩阵,令T =Q1 00 Q 1则T -1A T ,T -1B T 同时为上三角阵.从而结论成立.参考文献[1]张锦川.实与复方阵的相合标准形和同时对角化[J ].泉州师范学院学报,2002,20(2):21-25.[2]徐利治,等.大学数学解题法诠释[M].合肥:安徽教育出版社,1999.[3]王品超.高等代数新方法(下册)[M].徐州:中国矿业大学出版社,2003.[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.[5]王文省,等.高等代数[M].济南:山东大学出版社,2004.[6]夏璇.二个矩阵同时对角化[J ].南昌航空工业学院学报(自然科学版),2003,17(3):26-32.The Conditions of Simultaneous Diagonalization of Tw o MatricesCHE N X ian -ping ,W ANG Wen -sheng(School of Mathematical Science ,Liaocheng University ,Liaocheng 252059,China )Abstract :The conditions of simultaneous diag onalization of tw o matrices are given.K ey w ords :matrix ;symmetric real matrix ;positive definite matrix ;simultaneous diag onalization·31·陈现平,王文省 两个矩阵同时对角化的条件。
用相似打洞看矩阵易化
用相似打洞看矩阵易化背景：在第六章与第七章的学习过程中，我们学习了用多项式与空间像与核的知识解决矩阵易化的方法。
在这篇文章中，我们将用纯粹的矩阵相似打洞方法来解决矩阵易化的问题。
关键词：相似打洞、矩阵易化一、矩阵易化在矩阵运算过程中，我们可以明显的感觉到，如果一个矩阵的形式越简单，运算将会变得非常简单。
最理想的情况是将矩阵变成对角化，但这往往做不到。
这时我们退而求其次，于是便有了以下的过程：任意复方阵→上三角化→准对角化→约旦化（→有理化）。
二、相似打洞我们分别从两个方面来看相似打洞的情况吧！1、打洞的方式打洞这一过程是靠可逆的过渡矩阵P来实现的，它有如下的三种方式：A．P=P逆=（换行与列）B.P逆=（(行列乘以倍数)C．P=P逆=（）（行列间加减）2、打洞时会遇到的两种情况A．，这时若“*”为0，则打为0；否则只能打成1。
B．，这时可将“*”打为0。
下面将会给出任意复方阵→上三角化→准对角化→约旦化（→有理化）的系列证明。
三、系列证明1、任意复方阵可以化为上三角化。
复数域上的n阶方阵A相似于上三角矩阵B。
B的主对角线元b11,……,bnn就是A的全体特征值，并且这些特征值可以按预先指定的任何顺序排列。
其中B=证明：对n做数学归纳。
当n=1时A由一个数a组成，当然是上三角阵，a就是其特征值。
假设复数域上n-1阶的方阵相似于上三角矩阵，其特征值可以在主对角线上按预先指定的顺序排列。
我们证明n阶的方阵相似于上三角矩阵，其特征值可以在主对角线上按预先指定的顺序排列。
设ui时A的任一个特征值，X1是属于特征值ui的特征向量。
将X1扩充为C的一组基{X1,X2,…Xn}，依次以X1，X2,…Xn为各列组成矩阵P1=(X1,X2,…Xn)。
则P可逆。
且由AX1=uiX1知A(X1,X2,…Xn)=(X1,X2,…Xn)即A P1=P1, A P1=A的特征多项式(u)=(u-ui) (u)。
因此，A22的全体特征值与ui一起就是A的全体特征值。
矩阵上三角化的递推Householder变换公式及其应用
矩阵上三角化的递推Householder变换公式及其应用的报告，800字报告题目：Householder变换的应用报告摘要：本文详细介绍了Householder变换，它是一种能够将矩阵上三角化的有效方法。
本文着重从计算机科学的角度讨论了Householder变换的原理、公式以及在实际应用中的优势和特性，并且结合一些真实的例子，深入分析了Householder 变换在实际应用中的作用及其能够带来的好处。
报告正文：1. Householder变换的原理Householder变换是一种常用的矩阵上三角化方法，它可以将任意的n×n矩阵A上三角化，即对其进行相应的Upper Triangular Transformation（UTT）。
Householder变换的核心思想很简单，它通过利用一个n×1的向量v和一个标量α来实现矩阵的上三角化。
Householder变换的形式如下：H=I-2αvv^T其中I表示n×n的单位矩阵，α为标量，v为n×1的列向量，v^T指其转置矩阵。
将矩阵A转换成其上三角形式，可以使用Householder变换：A’ = HA其中A’表示经Householder变换后的矩阵A。
2. Householder变换的应用Householder变换可以用来解决一些矩阵上三角化问题，例如求解线性方程组，同时也可以用来解决特征值，特征向量问题。
此外，它也可以用于矩阵的QR分解或者Singular Value Decomposition（SVD）。
a. 求解线性方程组通过Householder变换，可以将n个方程所组成的系数矩阵A变换成对角矩阵的上三角形式，即A’=HA ，其中A’表示经Householder变换后的系数矩阵A，此时原来的方程组变成了A’X = B，其中B指原来的b向量。
因为A’是一个对角矩阵，因此求解这组方程就变得比较容易，只需要像解方程组中的每一个方程一样，将X中的每一个变量都分别代入A’X=B中即可求解，而不需要使用高等数学中的各种繁琐的公式来推算解。
任意n阶矩阵与三角矩阵相似的证明
任意n阶矩阵与三角矩阵相似的证明【主题：任意n阶矩阵与三角矩阵相似的证明】引言：在线性代数中，相似矩阵是非常重要的概念之一。
相似矩阵之间的关系可以帮助我们简化矩阵的计算和理解线性变换。
本文将探讨任意n 阶矩阵与三角矩阵相似的证明，这个证明是线性代数中的一个重要命题。
1. 相似矩阵的定义与性质我们需要明确相似矩阵的定义。
若存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B满足A = PBP^(-1)，则称矩阵A与B相似。
相似矩阵有以下几个性质：1.1 性质1：相似关系是等价关系相似矩阵之间的关系满足自反性、对称性和传递性。
具体来说，任意矩阵A与自身相似，即A与A相似；如果矩阵A与B相似，则B与A相似；如果矩阵A与B相似，且矩阵B与C相似，则矩阵A与C 相似。
1.2 性质2：相似关系保持矩阵的特征值相似矩阵具有相同的特征值。
如果矩阵A与B相似，则它们具有相同的特征值。
1.3 性质3：相似关系保持矩阵的迹相似矩阵具有相同的迹。
迹是矩阵的主对角线上的元素之和。
如果矩阵A与B相似，则它们的迹相等。
2. 三角矩阵与相似性接下来，我们将证明任意n阶矩阵与三角矩阵相似。
我们首先需要了解三角矩阵的定义和性质。
2.1 什么是三角矩阵？一个n阶矩阵A称为上三角矩阵，如果它的下三角（即矩阵下对角线上的元素）全为0。
类似地，一个n阶矩阵B称为下三角矩阵，如果它的上三角全为0。
2.2 三角矩阵的相似性证明对于任意n阶矩阵A，我们可以通过相似变换将其转化为一个上三角矩阵。
证明过程如下：步骤1：寻找A的特征值与特征向量特征值方程为|A-λI| = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
通过求解特征值方程，我们可以得到A的特征值λ1, λ2, ..., λn。
步骤2：求解A的特征向量对于每个特征值λi，我们可以通过求解方程组(A-λiI)x = 0来获得相应的特征向量。
步骤3：构建相似变换矩阵将A的特征向量按列组成一个矩阵P，其中每一列对应一个特征向量。
特征根全部为整数的整矩阵的判别及其应用
特征根全部为整数的整矩阵的判别及其应用章安;郝婉吟;黄雯楠【摘要】利用西尔维斯特定理以及整矩阵的上三角化引理证明了一个整矩阵的特征根全部为整数的充要条件是该整矩阵可表示为若干个特殊整矩阵的和.应用这个结论可以构造有特定特征值的整矩阵以及判断一个矩阵是否与整矩阵相似.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)006【总页数】4页(P123-126)【关键词】矩阵;整矩阵;整特征根【作者】章安;郝婉吟;黄雯楠【作者单位】华中师范大学数学与统计学学院,武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,武汉430079;华中师范大学数学与统计学学院,武汉430079【正文语种】中文【中图分类】O151.211 引言在樊恽教授与刘宏伟教授所著教材[1]中有这样一道题：设α=(a1，a2，…，an)是非零实向量，求A=αTα的特征值和特征向量.利用西尔维斯特定理可以证明矩阵A具有非零特征值ααT以及对应的特征向量αT，由于证明方法与本文的结论类似，这里省略证明.本文从这道题的条件结论出发，探讨一个整矩阵的特征根全部为整数的充要条件.一种特殊矩阵与所想要构造的条件相似[2]，但是不具备一般性.本文探讨的是所有具有整数特征值的整矩阵并得到类似于上述题目结论的条件.2 预备知识定义1 整矩阵是所有元素都为整数的矩阵，整行(列)向量是元素全为整数的行(列)向量.定义2 整初等变换为以下三类操作:(i) 交换矩阵的两行(列)；(ii) 把一行(或一列)的非零整数倍加到另一行(或另一列)；(iii) 在一行(或一列)乘上非零整数倍.定义3 单位矩阵通过一个整初等变换得到的矩阵称为整初等矩阵.对矩阵A作一个整初等行变换得到的矩阵等于FA，其中F是对单位矩阵作同样的整初等行变换的整初等矩阵.对矩阵A做一个整初等列变换得到的矩阵等于AF，其中F是对单位矩阵作同样的整初等列变换的整初等矩阵.定义4 设A是一个n阶矩阵， a是一个实数，记|A|表示矩阵A的行列式， |a|表示实数a的绝对值.3 整矩阵拥有整特征根的条件命题1[3] 设n阶可逆矩阵A是整矩阵，则A的逆矩阵也是整矩阵的充要条件是|A|=±1.命题2 设n阶可逆矩阵A是整矩阵，若A有整特征值，则A必有一个整特征向量. 证设λ是n阶整矩阵的整特征值，设α是对应的特征向量，则有Aα=λα，移项得 (A-λE)α=0，则α必为一个有理向量.由有理数和特征向量的性质，存在一个整数k使得kα为整向量并且还是A的特征向量.命题3 n维非零整列向量可经过一系列整初等变换变换为只有首位为非零元素的整列向量.证设非零整列向量α=(a1，a2，…，an)T，若α中其他元素可被a1整除，则A可经过一系列行整初等变换化为α(1)=(a1，0，…，0)T.若α中存在元素不能被a1整除，不妨设为ai利用欧式除法可得ai=a1p+q，其中|q|<|a|，于是可通过行整消法变换以及对换将q换至第一位.若q能整除向量中的其他元素，则经过一系列整行消法变换可到到只有一个非零元素的整列向量；若q不能整除向量中的某个元素，则可以重复上述操作，经过有限次操作后，必定会得到一个元素整除其他所有元素(实际上就是n个元素的最大公约数)，也即向量经过一系列行的对换以及整消法变换可得到只有一个非零元素的整列向量.求证成立.命题4 任意一个n阶整矩阵A，若其特征值均为整数，则存在n阶可逆整矩阵T，满足|T|=±1，使得TAT-1为一个整上三角矩阵.证对整矩阵的阶n使用数学归纳法.当n=1时，结论显然成立.下设n>1且n-1阶时结论成立.设λ1是矩阵A的一个整特征值，则由命题2知整矩阵A必有一个非零整特征向量，设其为α，又由命题3，向量α可以通过一系列整初等变换变成只有首位元素非零的整向量，也即存在一个整矩阵P满足Pα=(r，0，…，0)T=β，其中r为非零整数.显然P是由一系列对换矩阵和消法矩阵的组合，所以|P|=±1，P-1仍为整矩阵.由Aα=λ1α知，A(P-1β)=λ1(P-1β)，所以PAP-1=λ1β.不妨设其中A11是1阶矩阵， A12是1×(n-1)阶矩阵， A21是 (n-1)×1阶矩阵， A22是(n-1)×(n-1)阶矩阵.由β是只有首位为非零元素的向量可得(A11)1×1=λ1及A21为零矩阵.又由归纳假设，存在n-1阶可逆整矩阵Q使得QA22Q-1=B，其中B是上三角矩阵，且满足|Q|=±1.令则T是n阶可逆整矩阵，且|T|=±1.所以是一个整上三角矩阵，结论成立.定理1(西尔维斯特定理) 设A∈Mn×m()，B∈Mm×n()，则特征多项式ΔAB(λ)=λn-mΔBA(λ).证记En×n为n阶单位矩阵，构造分块矩阵那么由行列式乘法定理知det(CD)=det(C)·det(D)=det(D)·det(C)=det(DC).故λmdet(λEn×n-AB)=λndet(λEm×m-BA)，即ΔAB(λ)=λn-mΔBA(λ).下面证明本文的主要结论：定理2 整矩阵A的所有特征值为整数的充分必要条件为其中αi与βi是分量全部为整数的整向量且满足证充分性.若不妨令Q=(α1，α2，…，αn)以及P=(β1，β2，…，βn)T，则A=QP，显然A是一个整矩阵.注意到αi与βi是分量全部为整数的列向量且满足当1≤i<j≤n时所以由定理1知ΔA(λ)=ΔQP(λ)=ΔPQ(λ).所以矩阵A的全部特征值为显然，他们都是整数.必要性.设整矩阵A的所有整特征值为λi (1≤i<j≤n)，由命题4，存在整可逆矩阵T，使得TAT-1=C，其中C为整上三角矩阵.不妨令P=T，Q=AT-1，则P与Q皆为整矩阵且PQ=C.不妨设P=(β1…βn)T ，Q=(α1…αn)，其中αi与βi是整向量.那么又由矩阵是上三角矩阵，所以求证成立.可以利用上述结论来构造具有特定整数特征值的整矩阵用在一些高等代数的矩阵命题当中，再将所得到的矩阵一些元素用参数代换做到巧设参数，考察学生的基础实力[4].4 相关推论引理1[5] 设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，其中ai∈且an≠0，若f(x)有一个有理根(其中p， q互质)，则有q|an，p|a0.特别的，当an=1时，方程的所有有理根全部都是整数，并且都是a0的因数.证将有理根带入方程得若两边都乘上qn，移项化简得anpn+an-1pn-1q+…+a1pqn-1=-a0qn，由于p整除左边式子，所以p|a0qn，又由于p，q互质，所以p|a0.同理可得an-1pn-1q+…+a1pqn-1+a0qn=-anpn，由于q整除左边式子，所以q|anpn.又因为p， q互质，所以q|an.引理成立.利用引理1，有以下推论.推论1 设A为n阶整矩阵，且特征根全部为有理数，则必定存在向量αi与βi是分量全部为整数的整向量满足且证整矩阵的特征多项式必定是首一多项式且系数皆为整数，再结合引理1以及定理2可得结论.同时可以得到一个判断矩阵是否相似于整矩阵的推论.推论2 若一个矩阵有一个不是整数的有理特征根，那么这个矩阵必定与整矩阵不相似.证设矩阵A有非整数的特征值，由于整矩阵的所有有理特征值必为整数，所以A 必定与整矩阵不相似.[参考文献]【相关文献】[1] 樊恽;刘宏伟.线性代数与解析几何教程[M].北京.科学出版社，2009:236.[2] 张立卓. 关于矩阵对角化的探讨[J]. 大学数学， 2014， 30(6):74-78.[3] 张景晓. 整数矩阵的性质及应用[J]. 重庆理工大学学报(自然科学)， 2010， 24(4):117-119.[4] 谢启鸿. 浅谈高等代数命题中的若干技巧[J]. 大学数学， 2013， 29(3):127-130.[5] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].2版.北京.中央民族大学出版社，2009:2.。
两个矩阵同时相似上三角化的MATLAB程序-精选文档
两个矩阵同时相似上三角化的MATLAB程序
两矩阵同时上三角化具有较大的应用价值，但是现有的结论也只是Laffey定理："当秩（AB-BA）≤1时，存在n 阶可逆方阵P ，使得 P-1AP与 P-1BP都是上三角方阵"，然而此结论并不理想，例如对于矩阵：
另外容易证明：
如果 n阶方阵 A、B 能够同时相似上三角化，那么AB-BA 是幂零矩阵.
然而此条件是否充分，似乎很难证明.
因此有必要研究使用计算机解决此问题，一方面是使用计算机判定能否同时相似上三角化、并当能时求出重要的变换矩阵
P ，而弥补纯理论的不足；另一方面是以计算机代替人工计算而提高计算效率、甚至完成人工所不能的工作.
1. 算法研究
文献[2]有例题"设 A、B∈Mn（C）且AB=BA ，则A、 B可同时上三角化".其证明方法是对阶数使用数学归纳法，而归纳的关键步骤是：
因为AB=BA ，所以A、 B有公共的特征向量?%Z ，设
A ?%Z=?%d1?%Z，B?%Z=?%e1?%Z，，将 ?%Z扩为C 的一组基?%Z 1，?%Z2，...，?%Zn则有
再由 AB=BA得到An-1Bn-1=Bn-1An-1 ，这样即可使用归纳
假设解决问题.
可见证明的关键是：A 、B 有公共的特征向量， An-1、Bn-1 有公共的特征向量， An-2、 Bn-2有公共的特征向量，……，一直下去，直到降阶至 A1、 B1即可得到结论.因此可得到以下算法.
2. 算法设计
根据上述分析及Matlab的计算功能，设计两个矩阵同时相似上三角化的算法如下：
2.1 主函数。
相似于上三角矩阵的条件
相似于上三角矩阵的条件好吧，今天我们来聊聊一个听上去有点复杂但其实挺有趣的话题——相似于上三角矩阵的条件。
这名字一听就让人觉得有点高大上，其实没那么可怕。
想象一下，矩阵就像一支球队，每个数字都是队员，排列得整整齐齐。
上三角矩阵呢，就像一个篮球队，前面是几个厉害的得分手，后面则是一些负责防守的队员，没啥进攻能力，但却是必不可少的。
其实相似于上三角矩阵的条件，就像是这支球队的一些特定规则，只有在满足这些规则的时候，球队才能真正发挥出它的实力。
听着是不是有点儿抽象？别急，我来给你捋一捋。
你得知道什么是相似矩阵。
哎，简单来说，相似矩阵就是指两个矩阵可以通过某种变换互相转换，就像是一对双胞胎，虽然长得不完全一样，但还是能看出彼此的关系。
想象一下，老李和小王，俩人都是搞数学的，虽然风格不一样，但知识水平都在那儿。
所以，它们之间的关系其实也很有意思。
上三角矩阵的特性又是什么呢？其实很简单，上三角矩阵的下半部分全是零，就像一个金字塔，上面越来越窄，下面则是宽宽的。
这个结构让它在计算上特别方便。
想想，打篮球的时候，三分线外的队员如果能投进球，那前面的队友自然就能轻松得分。
这样看来，能够把一堆杂七杂八的数字整齐划一，确实是相当不错的特性。
再说回相似于上三角矩阵的条件。
这里面有个重点，就是特征值。
哦，你可能会问，特征值是什么？简单说，就是每个矩阵的“个性”，决定了它在数学上的表现。
就像人一样，每个人都有自己的性格，特征值就是矩阵的性格标签。
要是两个矩阵的特征值一样，那它们就有可能是“相似”的。
想象一下，老王和小李，两个人的个性特征都很相似，那他们在一起就能擦出火花。
不仅特征值，特征向量也是关键。
特征向量可以理解为矩阵的“助手”，它们能帮助我们找到矩阵的本质。
就像一个成功的团队，除了领导，还有一群可靠的队员，互相配合才能完成任务。
没有这些特征向量，矩阵的特征值也就无法发挥出真正的作用。
在这个过程中，矩阵的“相似”也可以看作是把复杂的问题简化。
化矩阵为上三角矩阵的一种简便方法
化矩阵为上三角矩阵的一种简便方法对矩阵进行初等变换时，特征值也发生了变化，所以化出来的上三角矩阵的特征值一般不是原矩阵的特征值。
在线性代数中，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。
1求证上三角正规矩阵一定是对角阵因为阶梯型矩阵的每行的第一个非零元的列号应该是依次递增的。
0 1 00 2 00 0 1是上三角矩阵，但不是阶梯型矩阵，因为前两行的非零元的列号都为20 0 00 1 00 0 2是对角矩阵，但零行在上面的确不一定是2矩阵的迹性质1.迹是所有主对角元素的和2.迹是所有特征值的和3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹4.tr（mA+nB）=m tr（A）+n tr（B）(2)奇异值分解（Singular value decomposition ）奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*VU和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。
AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。
因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。
如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。
SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。
(3)在数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。
一道高等代数考题的命题思路及分析
一道高等代数考题的命题思路及分析谢启鸿【摘要】给出了复旦大学数学科学学院2013-2014学年第二学期高等代数Ⅱ期末考试一道压轴题的命题思路及分析.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)001【总页数】5页(P70-74)【关键词】实对称阵;半正定矩阵;特征值;反交换性【作者】谢启鸿【作者单位】复旦大学数学科学学院,上海200433【正文语种】中文【中图分类】O151.21复旦大学数学科学学院代数组在每学期高等代数期末考试的命题过程中，特别是在最后两道压轴题的命题方面，首先一直坚持自主创新命题，决不滥用陈题; 其次着重考察学生对高等代数最核心内容的理解与掌握，并在解题技巧的运用方面保持一定的难度; 最后命题具有某种开放性，能激发学生综合运用各种知识点进行解答，形成一题多解的局面. 本文将以复旦大学数学科学学院2013-2014学年第二学期高等代数II期末考试一道压轴题为例，详细阐述其命题思路及分析.笔者认为高等代数II最核心的内容，从几何的角度来看应该是内积空间理论，从代数的角度来看应该是矩阵的正定性理论以及实正规阵的正交相似标准形理论. 因此，高等代数II期末考试的最后两道压轴题应该在这一范围内命题. 在开始具体的命题探索之前，我们还将遵循以下三个出发点.出发点1 相抵标准形、相似标准形和合同标准形是处理矩阵问题的重要工具. 若给定的矩阵问题在相抵、相似或合同关系下具有某种不变性，则可以把问题化为其中一个或几个矩阵是标准形的情形进行讨论. 下面将通过两道例题来说明上述化简问题的技巧，我们的第一个出发点是希望考察学生对这一技巧的掌握和运用. 例1 设A，B，C分别是m×m，n×n，m×n矩阵，满足AC=CB且C的秩为r. 求证: A和B至少有r个相同的特征值.证设P为m阶非异阵， Q为n阶非异阵，使得例2 设A，B是n阶方阵且满足AB=BA=O， rank(A)=rank(A2)，求证:证设P为n阶非异阵，使得P-1AP为Jordan标准形. 在等式AB=BA=O的两边同时左乘P-1，右乘P可得同理可证对A，B同时作相似变换也不改变秩的条件和结论，故不妨一开始就假设A是Jordan标准形. 由rank(A)=rank(A2)知A的关于零特征值的Jordan块都是1阶的，故可设出发点2 希望考察学生对矩阵的正定性 (半正定性) 与特征值之间关系的掌握和运用. 众所周知，实对称阵A是正定 (半正定) 矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正实数 (非负实数). 进一步，还有如下结论.例3 设A，B为n阶实对称阵，求证:(i) 若A，B均为正定矩阵，则AB的特征值全为正实数;(ii) 若A，B均为半正定矩阵，则AB的特征值全为非负实数; 且AB的特征值全为零的充分必要条件是AB=O.证只证明 (ii). 由于A为半正定矩阵，故存在n阶实方阵C，使得A=C′C. 由教材 [1] 的习题6.1.8知AB=C′CB与CBC′有相同的特征值. 由B的半正定性可得CBC′也是半正定矩阵，从而其特征值全为非负实数，即AB的特征值全为非负实数. 若AB的特征值全为零，则CBC′的特征值全为零，从而CBC′=O. 由于B为半正定矩阵，故存在n阶实方阵D，使得B=DD′，从而有等式出发点3 希望考察学生对由矩阵乘法交换性诱导出来的相关性质的掌握和运用.当n阶复方阵A，B乘法可交换时，有许多良好的性质. 例如， (A+B)m可用二项式定理进行展开; A，B有公共的特征向量; A，B可以同时上三角化; 若A，B都可对角化，则A，B可以同时对角化. 进一步，我们还有如下结论.例4 设A，B为n阶实对称阵 (实正规阵)，若AB=BA，则存在n阶正交矩阵P，使得P′AP和P′BP都是对角阵 (实正规阵的正交相似标准形).证参考教材 [1] 的习题9.5.10和习题9.7.3.相比之下，矩阵乘法的反交换性给与的性质却较少. 例如，由AB=-BA一般推不出A，B有公共的特征向量.命题思路设A，B均为n阶半正定实对称阵，则由例3(ii) 知AB的特征值全为非负实数， BA的特征值也全为非负实数. 若进一步假设A，B反交换，即AB=-BA或AB+BA=O，则AB的特征值全为零. 再次由例3(ii) 知AB=BA=O，又由例4知A，B可同时正交对角化，这就是要达到的结论. 经过进一步的分析发现，可以把A，B的半正定性弱化为其中一个是半正定矩阵即可达到相同的结论. 经过上述的命题思考，可得到如下题目，它是复旦大学数学科学学院2013-2014学年第二学期高等代数Ⅱ期末考试的第七大题.例5 设A，B是n阶实对称阵且AB+BA=O. 证明: 若A是半正定矩阵，则存在正交矩阵P，使得命题分析后经统计发现，复旦大学数学科学学院13级本科生中有30%左右的学生能完整正确地给出本题的证明. 值得一提的是，学生们共给出了四种不同的证法，这些证法不仅契合了我们命题时的出发点，而且还有一种证法完全出乎我们的意料之外. 现将这些证法分述如下. 证法一运用了出发点1中提到的化简技巧.证法1(利用实对称阵的正交相似标准形理论) 由于A是半正定实对称阵，故存在正交矩阵P，使得虽然反交换的矩阵不一定有公共的特征向量，但A的半正定性使得我们只需把问题限制在零特征值的特征子空间上讨论即可(这正是出发点2所强调的)，此时A，B的反交换性就变成了交换性，这就是证法二的主要思路.证法2 (利用不变子空间理论) 将问题转化成几何的语言: 设V为欧氏空间，φ为半正定自伴随算子，ψ为自伴随算子且φψ+ψφ=0，证明存在V的一组标准正交基，使得φ，ψ在这组基下的表示矩阵为 (2) 式中的对角阵.设φ的全体不同特征值为λ1，…，λk，对应的特征子空间为V1，…，Vk，则λi≥0且若λi>0，由于φ没有负的特征值，故ψ(α)=0，即ψ限制在Vi上是零线性变换. 任取Vi的一组标准正交基，那么Vi与Vi在这组基下的表示矩阵分别为λiI与O.若λi=0，则ψ(α)∈Vi，即Vi是ψ的不变子空间，此时Vi仍是自伴随算子. 可取Vi的一组标准正交基，使得Vi的表示矩阵为对角阵，而Vi的表示矩阵为O.将V1，…，Vk的标准正交基拼成V的一组标准正交基，则结论得证.如果能直接证明AB=O，则AB=BA=O，由例4即可得到要证的 (2) 式 (这正是出发点3 所强调的). 接着给出证法3.证法3(利用实反对称阵的正交相似标准形理论) 注意到虽然上述方法证明了A，B可同时正交对角化，但证明AB=O的过程过于技巧化，能想到实属不易. 然而，复旦大学数学科学学院13级一位同学却另辟蹊径，利用A2，B可同时正交对角化来进行证明，这种方法来的更自然，也很巧妙，让我们任课老师赞叹不已.证法4(利用半正定矩阵的算术平方根) 由AB=-BA，可得高等代数是数学系本科生的基础课程之一，所授内容均相对成熟和固定. 如何通过期末考试等形式更好的考察学生对所授知识的理解和掌握，切实起到引领学生进行有效学习的指挥棒的作用，这是一个值得研究的课题. 复旦大学数学科学学院代数组在高等代数的命题方面进行了多年的探索 (参考论文 [2])，本文所阐述考题的命题思路及分析正是在这一探索过程中得到的一些经验和体会，希望同行专家多多指正.致谢在本文的撰写过程中，得到了复旦大学数学科学学院姚慕生教授、吴泉水教授、朱胜林教授的热心指导和大力斧正，在此谨表示衷心的感谢.。
schur定理 实方阵可分块上三角化的矩阵证明
《Schur定理与实方阵可分块上三角化的矩阵证明》1. 导言Schur定理是线性代数中的重要定理，它提供了一个关于矩阵分解的重要结果。
在本文中，我们将探讨Schur定理及其应用。
我们还将深入分析实方阵可分块上三角化的矩阵证明，以加深对这一概念的理解。
2. Schur定理的概念和原理Schur定理是一个关于矩阵相似对角化的定理，它指出任何一个n阶复数矩阵A都可以相似于一个上三角矩阵T，即存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=T为上三角矩阵。
这一定理在矩阵理论和应用中具有广泛的意义，特别是在谱理论、线性系统理论等方面有重要的应用。
3. 实方阵可分块上三角化的矩阵证明实方阵可分块上三角化的矩阵证明是Schur定理的一个重要应用。
在证明中，我们首先需要将实方阵A分解为复共轭对，并将其转化为实Schur标准型。
利用实Schur标准型的性质，通过适当的变换和观察，可以证明实方阵可分块上三角化的结论。
4. Schur定理及实方阵可分块上三角化的意义和应用Schur定理的意义在于提供了一种对复杂矩阵进行简化处理的方法，为矩阵理论和线性代数理论的研究提供了重要的工具和方法。
而实方阵可分块上三角化的矩阵证明则为实际问题的求解提供了一种有效的途径，尤其是在控制理论、信号处理等领域具有重要的应用。
5. 个人观点和结论个人认为Schur定理及其应用具有重要的理论意义和实际应用价值，它为复杂矩阵的处理提供了一种简化的方法，为矩阵理论和线性系统理论的研究提供了新的视角和方法。
实方阵可分块上三角化的矩阵证明也为实际问题的求解提供了重要的支持，为控制理论和信号处理等领域的应用提供了新的思路和方法。
总结通过本文的讨论，我们对Schur定理及其应用有了更深入的了解，同时对实方阵可分块上三角化的矩阵证明也有了更全面的认识。
希望本文能够为读者提供有益的信息和启发，进一步推动相关领域的研究和发展。
以上为本人对Schur定理与实方阵可分块上三角化的矩阵证明的一些个人理解和观点，希望对你有所帮助。
矩阵的标准型怎么求
矩阵的标准型怎么求矩阵的标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的特性和性质。
那么，矩阵的标准型怎么求呢？接下来，我们将详细介绍矩阵的标准型的求解方法。
首先，我们需要了解什么是矩阵的标准型。
矩阵的标准型是指，通过相似变换，将一个矩阵化为特定形式的矩阵。
这个特定形式的矩阵通常是对角矩阵或者上三角矩阵。
对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其它元素均为0的矩阵；而上三角矩阵是指主对角线以下的元素均为0的矩阵。
通过将矩阵化为标准型，我们可以更方便地进行矩阵运算和分析。
接下来，我们来介绍求解矩阵的标准型的具体步骤。
假设我们有一个n阶矩阵A，我们的目标是通过相似变换，将矩阵A化为标准型。
首先，我们需要求解矩阵A的特征值和特征向量。
通过求解矩阵A的特征值和特征向量，我们可以得到矩阵A的特征值分解。
特征值分解的形式为A = PDP^(-1)，其中P是由矩阵A的特征向量组成的矩阵，D是由矩阵A的特征值组成的对角矩阵。
特征值分解为我们提供了一个非常重要的基础，可以帮助我们进一步求解矩阵的标准型。
接下来，我们需要根据特征值分解的结果，进行相似变换，将矩阵A化为标准型。
对于对角化来说，我们可以直接使用特征值分解的结果，将矩阵A化为对角矩阵。
而对于上三角化来说，我们可以通过使用矩阵A的特征向量，构造相似变换矩阵，将矩阵A化为上三角矩阵。
最后，我们需要验证我们得到的标准型是否正确。
通过将矩阵A与标准型进行相似变换，我们可以验证我们得到的标准型是否满足相似变换的定义。
如果验证通过，那么我们得到的标准型就是正确的。
综上所述，求解矩阵的标准型的过程主要包括求解特征值和特征向量、进行相似变换，将矩阵化为标准型，以及验证标准型的正确性。
通过这些步骤，我们可以比较系统地求解矩阵的标准型。
当然，对于不同类型的矩阵，求解标准型的具体方法可能会有所不同，但总体的思路是一致的。
总之，矩阵的标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的特性和性质。
矩阵三角化的方法
矩阵三角化的方法
一种常用的矩阵三角化方法是高斯消元法。
该方法从矩阵的第一行开始，通过加减乘除的操作，将矩阵的下方元素变为零，最终得到上三角矩阵或下三角矩阵。
高斯消元法的基本步骤如下：
1. 对矩阵的第一行做初等变换，使第一行的第一个元素（即主元）为1。
2. 对第一行以下的所有行，依次进行以下操作：
a. 将该行的第一个元素乘以一个常数，使得这个元素等于0。
b. 将此常数倍的第一行加到当前行上，使得该元素变为0。
3. 将第一行的主元以下的所有行，进行类似的操作，使得主元以下的元素都为0。
4. 重复上述步骤，对矩阵的每一行进行处理，直到得到一个上三角矩阵或下三角矩阵。
通过高斯消元法，可以将线性方程组转化为上/下三角矩阵的
形式，从而方便求解。
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矩阵的同时相似上三角化问题
张永伟（2011080010008）
数理基础科学班
指导教师：王也洲、何军华
【摘要】本文讨论了n 阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。
【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester 不等式
一．引言
文【1】告诉我们：两个可交换的n 阶矩阵,A B 在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若,A B 能相似对角化，那么,A B 一定能同时相似对角化。
但是对于一般的n 阶矩阵不一定能相似对角化。
我们又知道，任意方阵都可以和Jordan 矩阵相似，也就是说，任意n 阶矩阵都能相似上三角化。
为此，我们有必要讨论n 阶矩阵同时相似上三角化的问题。
二．正文
定义2.1：对于n 阶矩阵A ，用rank()A 表示矩阵A 的秩。
性质2.1：若,A B 能同时相似上三角化，那么,A B 有公共的特征向量。
证明：因为,A B 可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵P ，使得
111212221000n n nn a a a a a P AP a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且111212221000n n nn b b b b b P BP b -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
设12(,,,)n P a a a =K ，则1111A a αα=，1111B b αα=。
所以,A B 有公共的特征向量1α。
■
因此,A B 能同时相似上三角化的必要条件是,A B 有相同的特征向量。
性质2.2：若,A B 能同时相似上三角化，那么AB BA -为幂零矩阵。
证明：由性质2.1的证明可知,
121112121000
00
00000n n n n n n c c c c c AB BA c ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭。
又因为
1121112121000
000
00000n n n n n n n c c c c c c ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭， 所以1()0n AB BA --=，即AB BA -为幂零矩阵。
■
性质2.3：设,A B 为2阶矩阵，那么
(1)若AB BA -为幂零矩阵，则()rank 1AB BA -≤；
(2)()rank 1AB BA -≤当且仅当,A B 有公共的特征向量。
证明：因为0A =或0B =时，结论显然成立，所以不妨假定0,0A B ≠≠，当AB BA -为幂零矩阵时，易知AB BA -的特征值一定为0，于是存在可逆矩阵Q 使得
1000c AB BA Q Q -⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，
所以()rank 1AB BA -≤。
又因为
( )B AB BA A B A ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭
，
当()rank 0AB BA -=时，有rank 2B A ⎛⎫<
⎪-⎝⎭，从而方程0B X A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭有非零解ε，显 然ε是,A B 的公共特征向量；
当()rank 1AB BA -=时，根据Sylvester 不等式，知
()rank rank( )rank 2B AB BA A B A ⎛⎫-≥+- ⎪-⎝⎭。
若rank 2B A ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，显然,A B 有公共特征向量；若r a n k 2B A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，则r a n k ( )1A B ≤，此时必有()()rank 1,rank 1A B ==，于是存在可逆矩阵T 使得
1000a T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭或000b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
其中,0a b ≠。
设111212122b b T BT b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则当1000a T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭
时，1212100ab AB BA T T ab -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，所以120ab =或210ab =，显然，此时,A B 有公共特征向量；同理当1000b T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭
时，
,A B 也有公共特征向量。
以上我们证明了二阶矩阵,A B 有公共特征向量是()rank 1AB BA -≤的必要条件，接下来我们证明这个条件也是充分的。
不妨设ε是,A B 的公共特征向量，将ε扩充为二维空间的一组基,'εε，令( ')P εε=,显然11,P AP P BP --为上三角矩阵。
当,A B 有公共特征向量ε时，则()0A B B A X -=有非零解ε，所以()rank 1AB BA -≤。
■
下面讨论更为一般的情形。
性质2.4：假定,A B 为n 阶矩阵且3n ≥，若()rank 1AB BA -≤，则,A B 有公共特征向量。
证明：因为( )B AB BA A B A ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭
，由Sylvester 不等式得到
()rank rank( )rank B AB BA A B n A ⎛⎫-≥+- ⎪-⎝⎭。
若rank B n A ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，则,A B 有公共特征向量；若rank B n A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，
则有rank( )1A B ≤，于是()()rank 1,rank 1A B ==，又因为()()rank rank rank B B A A ⎛⎫≤+
⎪-⎝⎭,所以2n ≤，此时与3n ≥矛盾。
■
性质2.5：满足条件()rank 1AB BA -≤的任意n 阶矩阵,A B 可以同时上三角化。
证明：由条件知矩阵,A B 具有公共特征向量，不妨设1ε是,A B 的公共特征向量，将其扩充为n 维空间的一组基12,,,n εεε；当2n ≤时，由性质2.4知，,A B 可以同时上三角
化；假设当1n k =-时结论也成立，现在考虑n k =时的情况。
不妨设1ε是,A B 的公共特
征向量，同样将之扩充为k 维空间的一组基12,,,k εεε，令()12,,,k P εεε=，则有
1110P AP A λ-*⎛⎫= ⎪⎝⎭，1110P BP B μ-*⎛⎫= ⎪⎝⎭。
于是1111100A B B A P P A B B A -*⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，因为()1111r a n k 1A B B A -≤，所以
()rank 1AB BA -≤，由数学归纳法知,A B 可以同时上三角化。
■
推论2.1：假定()rank AB BA k -≤，那么当2n k ≥时，,A B 有公共特征向量。
性质2.6：如果存在,a b R ∈使得AB BA aA bB -=+成立，则,A B 可以同时上三角化。
证明：因为( )0B aI AB BA aA bB A B A bI -⎛⎫---==
⎪--⎝⎭
,与前面证明类似，可以得出结论。
■
推论2.2：若存在k R ∈满足条件AB kBA =,则,A B 可同时相似上三角化。
推论2.3：若存在k R ∈使得0k k A B -=成立，则,A B 可同时相似上三角化。
三．总结
本文主要讨论了两个矩阵能同时相似上三角化的充分条件、必要条件、以及充要条件。
通过分析证明过程，我们还做出了进一步的推广。
这对将来解决类似问题带来很大的方便。
参考文献
【1】黄廷祝，成孝予，线性代数与空间解析几何,高等教育出版社，2008.
【2】黄廷祝，何军华，李永彬，高等代数, 高等教育出版社，2012.。