向量平行的坐标表示
向量平行坐标关系
向量平行坐标关系一、引言向量平行坐标关系是在三维空间中描述向量之间关系的一种方法，它可以帮助我们更好地理解向量的性质和应用。
本文将详细介绍向量平行坐标关系的定义、性质、应用以及相关的数学知识。
二、向量平行坐标关系的定义1. 向量的概念向量是具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示。
在三维空间中，一个向量可以表示为一个有序三元组$(x,y,z)$或者$\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$。
2. 平行向量的概念如果两个向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$的方向相同或相反，则称它们为平行向量。
如果两个非零向量平行，则它们可以表示为一个公共方向上长度相等或成比例的两个箭头。
3. 垂直向量的概念如果两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$垂直，则称它们为垂直（正交）向量。
垂直向量之间没有公共方向，因此不能表示为一个箭头。
4. 向量平行坐标系的定义在三维空间中，我们可以使用向量平行坐标系来描述向量之间的关系。
向量平行坐标系是由三个平行的坐标面$x=0$，$y=0$和$z=0$组成的，每个向量$\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$在这三个坐标面上都有一个对应的点$(y,z)$，$(x,z)$和$(x,y)$。
这些点可以用一条折线连接起来，形成一个平行四边形。
三、向量平行坐标关系的性质1. 平行向量在向量平行坐标系中具有相同的横坐标（或纵坐标）如果两个向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$是平行的，则它们在向量平行坐标系中具有相同的横坐标（或纵坐标）。
这是因为它们在公共方向上长度相等或成比例。
2. 垂直向量在向量平行坐标系中具有相互垂直的对角线如果两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$垂直，则它们在向量平行坐标系中对应的两条对角线相互垂直。
这是因为它们没有公共方向。
两个向量平行坐标关系
两个向量平行坐标关系引言：在数学中，向量是一种有大小和方向的量，而平行坐标是一种用于可视化多维数据的方法。
本文将探讨两个向量之间的平行坐标关系，以及这种关系在实际生活中的应用。
一、什么是向量向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以用于描述物体的位移、速度、加速度等。
例如，我们可以用一个向量来表示从A点到B点的位移。
二、什么是平行坐标平行坐标是一种用于可视化多维数据的方法，它将每个维度的数据放在坐标轴上，并用线段将这些坐标连接起来。
通过观察线段的形状和位置，我们可以得出不同维度之间的关系。
三、两个向量的平行关系当两个向量的方向相同或相反，并且它们的大小成比例时，我们称这两个向量是平行的。
平行向量具有许多重要的性质，例如它们的和、差、数量积等都具有相应的性质。
四、平行坐标和向量的关系在平行坐标中，每个坐标轴代表一个维度，而每个数据点则表示一个向量。
通过观察数据点在不同维度上的位置，我们可以得出不同维度之间的平行关系。
例如，在一个二维平行坐标中，如果两个数据点在x轴上的位置相同，在y轴上的位置也相同，那么我们可以认为这两个向量是平行的。
五、平行坐标的应用平行坐标广泛应用于数据可视化领域。
它可以帮助我们发现数据中的模式、趋势和异常值。
例如，在金融领域，我们可以使用平行坐标来比较不同投资组合的回报率、风险等指标，以便更好地做出决策。
六、向量和平行坐标的实际应用案例案例一：汽车性能比较假设我们想比较不同汽车的性能表现，我们可以将汽车的各项指标（如马力、加速度、油耗等）作为平行坐标的不同维度，然后将不同汽车的数据点绘制在平行坐标图上。
通过观察数据点在各个维度上的位置，我们可以直观地比较不同汽车的性能。
案例二：学生综合评价假设我们想评价一群学生的综合表现，我们可以将学生的各项指标（如成绩、参与度、态度等）作为平行坐标的不同维度，然后将每个学生的数据点绘制在平行坐标图上。
通过观察数据点在各个维度上的位置，我们可以评估学生的综合表现。
向量平行坐标运算
向量平行坐标运算一、什么是向量平行坐标运算？向量平行坐标运算，说白了就是将向量的表示形式从常见的坐标系（比如直角坐标系）换成一种“平行”方式。
听起来是不是有点绕？其实也没那么复杂，就是把向量的各个分量一个个拉出来，按顺序排好，形成一个大大的向量列，所有的分量都摆成一排，给它们平行地排列在一起。
想象一下，你把自己所有的心情放进一个大盒子里，每个心情就是一个分量，然后按顺序排列成一条“心情河”。
这样一来，原本在空间里的“点”，变成了一个简单的线性排列，好像在做数独，数字排得整整齐齐。
是不是感觉整个世界都变得清晰了呢？向量的平行坐标运算常常被用来处理空间中的点和线。
比方说，你在学校的操场上，站在某个位置，想知道你离跑道、离篮球场有多远，这时候你就可以利用平行坐标来表示你的位置，简单、直观。
要是你不喜欢走传统路线，走直线的轨迹，那你还可以通过平行坐标来“拉开阵势”，搞个曲线，给自己添点儿个性。
是不是听着有点意思？二、如何做向量平行坐标运算？你可能会想，做这个向量平行坐标运算到底要做啥？其实也没啥大难度。
想象一下，你有一个三维空间里的向量，比如说A（3, 4, 5），你需要将它转化成平行坐标形式。
你就把每个分量一个个拿出来，放进“平行坐标”的盒子里，像是这样：x = 3，y = 4，z = 5。
是不是特别简单？要是你熟悉一点代数，发现这个其实就是把你在空间里的点“展开”了。
也许你会觉得，这个过程有点像剥橙子，把橙子皮剥开，橙肉才出来。
如果我们把这个运算的过程放到更多维度呢？你能想象你在四维、五维甚至更高维度的空间里晃荡吗？虽然听上去很科幻，但实际上，每次你做平行坐标运算时，都在进行“降维”操作。
维度越高，做的事就越简单，越是没有拘束。
想象一下，如果你能够“抛弃”一部分空间维度，跳跃到更简单的状态，那你的任务不就轻松多了吗？所以，向量平行坐标运算的关键其实就是：把复杂的事情变简单，变成一个个有规律的分量。
三、向量平行坐标运算的应用向量平行坐标运算不仅仅停留在数学题里，它的应用场景非常广泛。
高中数学必修四北师大版 4.3 向量平行的坐标表示3 学案
课题 第二章 4.3 向量平行的坐标表示学习目标1．知识与技能：掌握向量平行的坐标表示，能利用向量平行的充要条件判断三点共线等问题，能区分向量平行与直线平行。
2．过程与方法：通过学习向量平行的坐标表示，实现几何与代数的完全结合，使学生明白知识与知识之间的相互联系与转化；通过对三点共线问题的进一步研究，使学生了解一题多解，及从多方面来思考同一问题的内涵。
3．情感态度与价值观：搭建了“数”与“形”结合的平台，让学生体会到数学的简洁美。
培养学生学习数学的兴趣。
学习重难点 向量平行的坐标表示。
学习方法 以讲学稿为依托的多媒体辅助教学方式。
学习过程一、课前预习指导：仔细阅读课本88页内容，完成以下预习检测：1．两向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)当a ∥b 时，有________________.(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有__________.即两向量的相应坐标成比例． 2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈___________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点；当λ∈___________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上； 当λ∈__________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．二、新课学习问题探究一 平面向量共线的坐标表示a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a ＝λb .那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0) ，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0，请你写出证明过程．2 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .请你写出证明过程．问题探究二 共线向量与线段分点坐标在平面直角坐标系中，我们可以利用 共线向量坐标之间的关系，求解坐标．如图所示，设P 点是直线P 1P 2上的一点，且P 1P→PP 2→＝λ.1 定比λ与分点位置的一一对应关系如下表：λλ<－1λ＝－1－1<λ<0λ＝0P 点位置在_______的延长线上不存在在_____的延长线上 与__重合P 点名称外分点 外分点 始点 λ 0<λ<1 λ＝1 λ>1P 点位置在___与中点之间P 为______在中点与___之间P 点名称 内分点2 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，试用λ及P 1，P 2点的坐标表示P (x ，y )点的坐标．例1 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？．例2 已知点A (3，－4)与点B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P的坐标．例3 如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)、B (6,4)、C (5,0)、D (1,0)， 求直线AC 与BD 交点P 的坐标．三·当堂检测1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a ∥b，则y 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．4 D ．－4 2．下列各组的两个向量共线的是( ) A ．a 1＝(－2,3)，b 1＝(4,6) B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7,14) C ．a 3＝(2,3)，b 3＝(3,2) D ．a 4＝(－3,2)，b 4＝(6，－4) 3．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，如果A 、B 、C 三点共线，则实数k ＝________4．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，求点C 的坐标．四、课堂小结五、课后作业六．板书设计七．教（学）后反思。
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。
向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
精心整理，仅供学习参考。
2.4.2向量平行的坐标表示
向量平行的坐标表示（导学案）使用说明：1.阅读探究课本8988-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成自测练习。
【学习目标】1．理解平面向量的坐标的概念； 2．掌握平面向量的坐标运算；3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 【重点难点】重点：平面向量的坐标运算难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性一、知识链接1. 若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量→AB 的坐标为 .2．若()()1122,,,a x y b x y == ，则a b += ，a b -= ，a λ=二、教材助读1. 设()()1122,,,a x y b x y == ，其中0b ≠ ，若,a b 共线，当且仅当存在实数λ，使a b λ= ，用坐标该如何表示这两个向量共线呢？2.定理 若两个向量平行，则它们相应的坐标 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们即：a ∥b (b ≠0)⇔预习自测1. 判断下列向量是否平行:（1）)4,3(),3,2(==→→b a （2）)2,34(),3,2(==→→b a2．已知()4,2a = ，()6,b y = ，且//a b，求y .3．已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==- ，且////a b c，求,x y 的值.4. 已知(1,1),(1,3),(2,5)A B C --，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.5．向量(),12OA k = ，()4,5OB = ，()10,OC k =，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.6．设点P 是线段12PP 上的一点，12,PP 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y . （1）当点P 是线段12PP 的中点时，求点P 的坐标； （2）当点P 是线段12PP 的一个三等分点时，求点P 的坐标.7．在上述问题中当12PP PP λ= ，点P 的坐标是什么？预习案 探究案当堂检测1．已知向量()2,4a =- ，()1,2b =- ，则a 与b的关系是（ ）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2．已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（ ）A.13-B.9C.9-D.133．已知()1,2a = ，(),1b x = ，若2a b + 与2a b -平行，则x 的值为 .4．若→→→+=j i AB 2， →→→-+-=j y i x DC )4()3( (其中→i 、→j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). →AB 与→DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ） A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，45．已知,,,A B C D 四点坐标分别为()()1,0,4,3A B ，()()2,4,0,2C D ，试证明：四边形ABCD 是梯形.我的收获：。
高中数学-公式-平面向量
平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。
〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
向量平行的坐标表示
则x32y＋－y42x＝＝10，，
∴x＝35， y＝54
或x＝－35， y＝－45.
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16 4.若点A(－2,0)，B(3,4)，C(2，a)共线，则a＝____5____. 解析 A→B＝(5,4)，A→C＝(4，a)，因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C， 故 5a－16＝0，所以 a＝156.
反思 感悟
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行 判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间 的搭配.
跟踪训练 1 已知 A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，判断A→B与A→C是否共线？
如果共线，它们的方向相同还是相反？
解 因为A→B＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， A→C＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)， 因为2×6－3×4＝0， 所以A→B∥A→C，所以A→B与A→C共线. 又A→B＝23A→C，所以A→B与A→C的方向相同.
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5.已知向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线， 则λ＝__－__92____.
解析 因为向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)， 所以2a＋b＝(4,2λ＋1)， 由2a＋b与c共线得－8－(2λ＋1)＝0， 解得λ＝－92 .
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10.已知两点 A(3，－4)，B(－9,2)，点 P 在直线 AB 上，且|A→P|＝13|A→B|，求 点 P 的坐标.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解 设点P的坐标为(x，y)， ①若点 P 在线段 AB 上，则A→P＝12P→B， ∴(x－3，y＋4)＝12(－9－x,2－y). 解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2). ②若点 P 在线段 BA 的延长线上，则A→P＝－14P→B， ∴(x－3，y＋4)＝－14(－9－x,2－y).
空间向量平行坐标关系
空间向量平行坐标关系
空间向量平行坐标关系是指在三维空间中，通过平行于坐标轴的直线将向量的三个分量表示在同一平面上，从而形成的一种可视化表示方式。
这种表示方式可以有效地展示向量之间的关系，例如可以通过比较不同向量在某个特定维度上的数值来比较它们的大小、方向等特征。
同时，利用空间向量平行坐标关系还可以进行多维数据的可视化，通过将多个向量的分量表示在同一平面上，可以方便地对它们进行比较和分析。
在实际应用中，空间向量平行坐标关系被广泛运用于数据分析、可视化和图形处理等领域。
- 1 -。
高一数学必修件向量平行的坐标表示
坐标运算规则
向量加法
a+b=(x1+x2,y1+y2)。
向量减法
a-b=(x1-x2,y1-y2)。
向量数乘
λa=(λx1,λy1)。
平行向量（共线向量）的 坐标表示
若向量a与向量b平行（共线） ，则存在唯一实数λ，使得 a=λb。特别地，当λ=0时，a 为零向量；当λ=-1时，a=-b ，即a与b互为相反向量。
在空间直角坐标系中，一个向量可以用一个有序实数组(x,y,z)来表示，这个有序实数组称为向量的坐 标。
空间向量平行的坐标表示
如果两个空间向量的坐标成比例，则这两个向量平行。即，如果存在一个实数k，使得向量a的坐标 (x1,y1,z1)与向量b的坐标(x2,y2,z2)满足x1/x2=y1/y2=z1/z2=k，则向量a与向量b平行。
03
判断两向量是否平行方法
利用坐标表示法判断
01
02
03
向量坐标表示法
在平面直角坐标系中，向 量可以用坐标形式表示， 记为$vec{a} = (x_1, y_1)$，$vec{b} = (x_2, y_2)$。
平行条件
两向量$vec{a}$和
$vec{b}$平行当且仅当它
们的坐标成比例，即
$frac{x_1}{x_2}
=
frac{y_1}{y_2}$。
注意事项
当$x_2$和$y_2$都不为零 时，该条件才有效。
利在平面直角坐标系中，向量的斜率可 以定义为$frac{Delta y}{Delta x}$， 即向量在y轴上的变化量与在x轴上的 变化量之比。
当$Delta x$不为零时，该条件才有效 。
向量平行的坐标公式
向量平行的坐标公式向量平行是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和工程学中有广泛的应用。
本文将介绍向量平行的坐标公式，并探讨其背后的几何意义和实际应用。
在二维空间中，我们可以用坐标表示一个向量。
假设有两个向量A 和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)。
要判断这两个向量是否平行，我们可以使用向量平行的坐标公式。
向量平行的坐标公式如下：如果(Ax/Ay) = (Bx/By)，那么向量A和向量B是平行的。
这个公式告诉我们，如果两个向量的坐标比例相等，那么它们是平行的。
具体来说，当Ax/By和Ay/Bx的比值相等时，向量A和向量B平行。
为了更好地理解这个公式，我们可以通过几何图形来说明。
假设有一个平面上的点O，以及两个非零向量A和B，它们的起点都是点O。
我们可以将向量A和向量B分别表示为从点O出发的有向线段。
如果这两个向量是平行的，那么它们的方向相同或相反，并且它们的长度之比等于坐标之比。
在实际应用中，向量平行的坐标公式有着广泛的用途。
例如，在航空航天工程中，我们经常需要判断两个向量的平行关系。
当飞行器需要以特定的速度和角度飞行时，我们可以将飞行方向表示为一个向量，将目标方向表示为另一个向量。
通过比较这两个向量的坐标比例，我们可以判断飞行器是否朝着目标方向飞行。
在计算机图形学中，向量平行的坐标公式也被广泛应用。
当我们需要绘制平行于某个向量的线段或图形时，我们可以利用向量平行的坐标公式来计算出这些线段或图形的坐标。
向量平行的坐标公式是判断两个向量平行关系的重要工具。
通过比较向量的坐标比例，我们可以判断两个向量是否平行，并在几何学、物理学和工程学等领域进行相关的计算和应用。
这个公式不仅有着重要的理论意义，还有着广泛的实际应用，为我们的科学研究和工程设计提供了有力的支持。
高中数学(新人教A版)选择性必修一：空间向量运算的坐标表示【精品课件】
,(2m)·(-3n)= 168
,
.
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
2
2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=
(a-b)=a2-b2.
2.解决空间中的
平行、垂直问题
例 2 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a=,b= .
(1)若|c|=3,c∥ ,求 c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
思路分析(1)根据 c∥,设 c=λ,则向量 c 的坐标可用 λ 表示,再利用|c|=3 求 λ 值;
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).
空间向量运算的坐标表示
目
录
01空间向量的坐标运算
02解决空间中的平行、垂直问题
03向量夹角与长度的计算
04利用空间向量解决探索性问题
学习目标
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问
题．(数学运算)
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量
是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)
高中向量所有知识点
高中向量所有知识点向量是高中数学中的重要概念，它在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
下面我们来详细梳理一下高中向量的所有知识点。
一、向量的基本概念1、向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
2、向量的模向量的大小叫做向量的模，记作|a|。
3、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 。
零向量的方向是任意的。
4、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
5、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
规定：零向量与任意向量平行。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
二、向量的运算1、向量的加法（1）三角形法则：已知非零向量 a ， b ，在平面内任取一点 A ，作＝ a ，＝ b ，则向量叫做 a 与 b 的和，记作 a ＋ b ，即＝ a ＋ b 。
（2）平行四边形法则：已知两个不共线的非零向量 a ， b ，作＝a ，＝b ，以，为邻边作平行四边形 ABCD ，则对角线上的向量＝ a ＋ b 。
（3）向量加法的运算律：交换律 a ＋ b ＝ b ＋ a ；结合律（ a ＋b ）＋c ＝ a ＋（ b ＋ c ）。
2、向量的减法（1）定义：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即 a b ＝ a ＋（ b ）。
（2）三角形法则：已知非零向量 a ， b ，在平面内任取一点 O ，作＝ a ，＝ b ，则向量叫做 a 与 b 的差，记作 a b ，即＝ a b 。
3、数乘向量（1）定义：实数λ 与向量 a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：①｜λa| ＝｜λ|｜a| ；②当λ ＞ 0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ ＜ 0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当λ ＝ 0 时，λa ＝ 0 。
（2）运算律：设λ ，μ 是实数，则：① λ(μa) ＝（λμ)a ；②（λ ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ( a ＋ b ）＝λa ＋λb 。
第一章 空间向量运算的坐标表示
问题 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公 式吗？
提示 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， P—1→P2＝O→P2－O→P1＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|P—1→P2|＝
—→ —→ P1P2·P1P2
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明 因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相
互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.
则 C(0,0,0)，A(
2， 2，0)，B(0， 2，0)，D(
2，0,0)，E(0,0,1)，F
22，
22，1.
所以C→F＝
x1－6＝3， 所以y1＋4＝－2，
z1－5＝5，
x1＝9， 解得y1＝－6，
z1＝10，
所以点C的坐标为(9，－6,10).
②求C→A·B→C； 解 因为C→A＝(－7,1，－7)，B→C＝(3，－2,5)， 所以C→A·B→C＝－21－2－35＝－58.
③若点 P 在 AC 上，且A→P＝12P→C，求点 P 的坐标.
且GH∥BD1，
所以m－－112＝－n1＝－112， 解得 m＝1，n＝12. 所以点 H 的坐标为1，12，0，
所以点H为线段AB的中点.
反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直 的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的 充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐 标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
空间向量运算的坐标表示空间向量平行线和垂直的条件课件
A．(6，3，－7) B．(－2，－1，－1) C．(2，1，－5) D．(14，7，－11)
2．若 a＝(2，3，－1) ，b＝(2，0，3) ，c＝(0，2，2) ，则 a·(b＋c) 的
值为( )
A．(4，6，－5) B．5
C．7
D．36
3．若向量 a，b 的坐标满足 a＋b＝(－2，－1，2) ，a－b＝(4，－3，－2) ，
所以（ （－ －xx， ，1－－yy，，2－ －zz） ）＝ ＝mn（ （－ －11， ，01， ，20） ）， ，
x＝－1， 解得y＝1， 即 D(－1，1，2).
z＝2，
(2)依题意，得A→B ＝(－1，1，0)，A→C ＝(－1，0，2)，B→C ＝(0，－1，2).假设
存在实数α，β，使得A→C ＝αA→B ＋βB→C 成立，则有(－1，0，2)＝α(－1，1，
空间向量运算的坐标表示及应用 第1课时 空间向量运算的坐标表示、空 间向量平行(共线)和垂直的条件
必备知识·自主学习
1.空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， ①a＋b＝_(_a_1_＋__b_1，__a_2_＋__b_2_，__a_3＋__b_3_)_， ②a－b＝_(_a_1_－__b_1，__a_2_－__b_2_，__a_3－__b_3_)_， ③λa＝_(_λ__a_1_，__λ__a_2，__λ__a_3_)_， ④a·b＝_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_．
关键能力·合作学习 类型一 用坐标表示空间向量(直观想象)
【典例】(1)已知点 A 在基{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中 a＝i＋j，b＝j ＋k，c＝k＋i，则点 A 在基{i，j，k}下的坐标是( ) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，12，10) D．(4，3，2) (2)在棱长为 1 的正方体 ABCDA′B′C′D′中，E，F，G 分别为棱 DD′，D′C ′，BC 的中点，以{A→B ，A→D ， AA' }为基，求向量A→E ，A→G ，A→F 的坐标．
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思考？
向量共线的充要条件是什么? 存在一个实数λ，使得b=λa
共线向量充要条件如何用坐标来表示呢？
设a,b是非零向量,且a=(x1,y1)b =(x2,y2).若a∥b( b≠0)， 则存在实数λ，使得a=λb,由平面向量的基本定理可知 x1i+y1 j=λ (x2i+y2 j)= λ x2i+ λ y2 j 所以 x1 = λx2 y1 = λy2 ①×y2-②×x2得 x1y2-x2y1=0 变形,得 ① ②
练习
1.若向量a=(x,1),b=(4,x),则当x= 时，a与b共线且
方向相同.
解：因为, a=(x,1),b=(4,x), 若 a∥b ，需
x x 1 4 0
2
即x 4
x= 2
当
x 2 时，a与b方向相反， x 2 时，a与b共线且方向相同.
练习
α= .
2.已知 a ( ,sin ), b (sin , ) ,且a∥b ，则锐角
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1 x2 y1 y2
若两个向量(与坐标轴不平行)平行, 则它们相应的坐标成比例. 若两个向量相对应的坐标成比例, 则它们平行.
例4 O是坐标原点, OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(10,k),当
k为何值时,A,B,C三点共线? 解 依题意,得
练习
证明： AB 3e1 2e2 , BC 4e1 e2 , CD 8e1 9e2
AD AB BC CD
15e1 10e2 5(3e1 2e2 ) 5 AB AD与AB共线 又因为AD与AB有公共的起点A,所以A,B,D三点共线.
= (4,5)-(k,12)=(4-k,-7)， AB BC = (10,k)-(4,5)=(6,k-5). A,B,C三点共线的充要条件是 AB , BC 共线,依向量共线的充
要条件可得
(4-k)(k-5)-6×(-7)=0
解得 k=-2或k=11 所以,当k =-2或k=11时,A,B,C三点共线.
CD 8e1 9e2 ,求证A、B、D三点共线 .
（1）若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例.
（2）若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.
3 2
1 3
3 1 解：因为, a ( ,sin ), b (sin , ) ，且 a∥b 2 3 3 1 sin 2 0 2 2 2 1 2 即sin , sin = 2 2
又因为α是锐角
45 .
3.设e1,e2是平面内的一组基底,如果,AB 3e1 2e2 , BC 4e1 e2 ,