浙江大学数学建模排队论经典

多通道等待制系统算法原理
λ ρ= µ
损失概率P损 0; ＝ 系统的相对通过能力Q = 1 − P损 = 1; 系统的绝对通过能力A = λQ = λ ; 系统内排队顾客的平均 数L队 = L队
ρ n +1
n.n!
P0
1 (1 −
ρ
n
； )2
顾客的平均排队时间W队 ＝
占用服务员的平均数K = ρ ;
排队规则与服务规则
排队规则：损失制、等待制和混合制3种； 对于等待制和混合制，服务台为顾客进行 服务所采用的规则通常有：
先到先服务 后到先服务 随机服务 有优先权的服务
服务机构
分为3方面来描述： 服务台的数量及结构形式：
数量上来讲:服务台有单台和多台之分； 结构形式上看，服务台有(a)单队－单服务 台式，（b）多队－多服务并列式，（c）单 队－多服务台并列式，（d）单队－多服务 台串列式（e）多服务混合式；
损失制排队模型
多通道损失制系统； 单通道损失制系统； 实例计算与软件操作。
多通道损失制系统
设系统内有n个服务员，顾客来到服务系 统时如果服务员正在忙，顾客不能立即 得到服务，则顾客离去。 案例1：某电话总机有3条中继线，平均 每分钟有0.8次呼唤。如果每次通话时间 平均为1.5分钟，试求：系统状态的极限 概率；绝对通过能力和相对通过能力； 损失概率和占用通道的平均数。
案例5的解决
闭合式系统模型
多通道闭合式系统：顾客源为有限数n， 系统的最大状态为n，m为服务通道。这 类系统在生产中，如机器的维修和管理 问题中得到应用。 案例6 两个修理工人包干维修6台机器， 机器平均每月出故障2次，一个修理工人 修理一台机器平均须5天，求系统的指标 。
案例6的解决
排队论
制作人： 张慧增 办公室电话：88284309 办公室：理四302
本讲义共讨论5个模型
损失制排队模型 等待制排队模型 混合制排队模型－排队位置有限 单通道混合制－排队时间有限 闭合式系统
排队现象、为什么研究它？
排队现象：顾客到商店去买东西，病人到医院去看病， 汽车去加油站加油，旅客到车站购票； 当要求服务的对象的数量超过服务机构的容量就会出 现排队现象； 排队现象由于顾客到达人数和服务时间的随机性而不 可避免； 当增加服务设施能减少排队现象，但这样势必增加投 资且可能出现因供大于求而使设施经常闲置、导致浪 费； 研究排队问题，就是要把排队的时间控制到一定的程 度内，在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡， 找到最适当的解。
等待制排队模型
多通道等待制模型 单通道等待制模型 实例计算 软件操作
等待制模型
多通道等待制模型：设本系统顾客到达流为泊松流， 其强度为λ。系统内有n个服务员，服务员具有相同服 务时间服从指数分布，其强度为μ。当顾客到达时， 如果服务员忙着，顾客排队等待服务，一直等到有服 务员为他服务为止。 单通道等待制模型：设本系统顾客到达流为泊松流， 其强度为λ。系统内有1个服务员，服务员具有相同服 务时间服从指数分布，其强度为μ。当顾客到达时， 如果服务员忙着，顾客排队等待服务，一直等到有服 务员为他服务为止。
多通道损失制系统算法原理
1 , P0 = 1+ ρ 损失概率P损 ＝
ρn
n!
P0 =
ρ
1+ ρ
;
1 系统的相对通过能力Q = 1 − P损 = ; 1+ ρ 系统的绝对通过能力A = λQ =
λ
1+ ρ
;
案例2的解决
中继线的最大通过能力为60µ＝ 60×0.667=40.02 中继线的实际通过能力为60A＝ 60×0.364=21.84
案例3的解决
混合制排队模型
设系统中有n个服务员。顾客按最简单流来到 服务系统，其强度为λ。服务员相同的能力μ ，服务时间服从指数分布。系统内有m个位置 供顾客排队。当顾客到达时，系统满员，顾客 离去，令求服务。 案例4 某修理站只有一个修理组，在修理站内 最多只能停放3座机器，若需要修理机器超过3 座，则请到别的修理站去。设修理机器的到达 强度λ＝1座/天，并服从泊松流。修理时间为 指数分布，平均修理时间为1.25，试求系统的 效率指标。
排队过程的一般模型
顾 客 顾客源 到 来 则 构 服 对列 规 机 务 务 服
对列
排队系统的组成
输入过程 排队规则与服务规则 服务机构
输入过程
输入过程是说明顾客按照怎样的规律到达系统， 分为三个方面： 顾客总体数：有限与无限； 顾客到达的方式：单个或者成批； 顾客（单个或者成批）相继到达的间隔时间： 确定型或者随机型的。本讲义只研究最简单的 排队模型，即顾客流的到达服从泊松分布，为 最简单流。
ρn
P0 ;
ρn
n!
P0 )；
K 通道占用率 η = , n 表示服务员的个数。 n
案例1的解决
多通道损失制系统
设系统内有1个服务员，顾客来到服务系 统时如果服务员正在忙，顾客不能立即 得到服务，则顾客离去。 案例2：某电话总机有1条中继线，平均 每分钟有0.8次呼唤。如果每次通话时间 平均为1.5分钟，试求：绝对通过能力、 相对通过能力、损失概率，并比较实际 通过能力与最大通过能力。
案例4的解决
单通道混合制模型
设排队系统为单通道。顾客到达时，系统内已 有n个顾客排队。这时顾客以ε的概率参加排 队。当n=0时，没有不耐烦的顾客，因为当时 系统闲着，顾客一到，立即接受服务。 案例5 某公用电话，每分钟平均有0.4个顾客 到达。平均通话时间为4分钟，顾客按最简单 到达，服务时间服从指数分布。通过观察，当 电话机前已经有两个人等待打电话，有大约5 ％的顾客自动离去，成为不耐发的顾客。求系 统的效率指标。
多通道损失制系统算法原理
P0 = 1
m=0
∑
n
ρm
m!
ρk , Pk = k!
λ P0 , ρ = µ
λ 表示单位时间的来服务 的顾客数； µ 表示单位时间内一个服 务台服务的顾客数；
n! 系统的相对通过能力 Q = 1 − P损 ; 系统的绝对通过能力 A = λ Q ; 占用服务员的平均数 K = ρ (1 − 损失概率 P损 ＝
服务方式：单个服务和成批服务； 服务时间：确定型和随机型；
排队系统的运行指标
判断服务系统运行优劣的主要数量指标有： 绝对通过能力： 相对通过能力： 系统损失概率： 队长 排队长 逗留时间 排队时间
排队系统的运行指标
绝对通过能力A，即单位时间内被服务顾客的数学期望； 相对通过能力Q，即被服务顾客的顾客数与请求服务顾客 的顾客数的比值； 系统损失概率P损，即服务系统满员的概率； 队长L系，即系统内顾客数的数学期望值； 排队长L队，系统内排队顾客数的数学期望值； 逗留时间W系,顾客在系统内逗留时间的数学期望值； 排队时间W队，系统内顾客排队等待服务时间的数学期望 。这里逗留时间等于排队时间加服务时间； Pn(t)表示在时刻t的系统状态为n（即系统中有n个顾客） 的概率。
λ
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；
系统内顾客的平均数L系 = L队 + ρ
单通道等待制系统算法原理
λ ρ= µ ρ2 系统内排队顾客的平均数L队 = ； 1− ρ
顾客的平均排队时间W队＝ L队
λ
＝
； 1 λ（ − ρ） L系
ρ2
系统内顾客的平均数L系 = L队 + ρ； 顾客在系统中平均逗留时间W系 ＝
λ
。
案例3
某临时架设的公路简便桥，桥上不容许 同时有两辆汽车通过。若汽车到达流为 泊松流，其强度为λ＝2.1辆/分钟。通 过时间为指数分布，平均每辆的通过时 间为0.4分钟，试求系统的效率指标。