离散型函数拐点算法及应用
什么是拐点拐点概述
什么是拐点拐点概述对于由离散点表示的数字地图与GIS图形数据 ,本文首先利用两相邻矢量叉积乘积的原理来判定拐点所在的折线边，什么是拐点呢？下面是店铺整理的什么是拐点，欢迎阅读。
什么是拐点拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点)。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负变正)或不存在。
在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方(例如：经济运行出现回升拐点)拐点概述数学可以这样通俗的理解拐点，即在a点的左右f ''(x)的正负发生变化的点，f ''(a)异号(由正变负或由负变正)或者不存在。
在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。
拐点定义(根据高等数学同济6版上册第151页)一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点(除端点外的I内的点)。
如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。
凹的充分条件:若曲线y=f(x)(a≤x≤b)的一段，位于其任意一点的切线之上(或之下)，则称这个可微分的函数y=f(x)的图形于闭区间[a,b]上是凹(或对应地，凸)的。
在假设二阶导函数f"(x)存在的情况下，当a0[或对应地f"(x)<0]成立，为图形是凹(或对应地，凸)的充分条件。
拐点的必要条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b)，若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，则f‘’(x0)=0。
拐点的充分条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b)，则f‘’(x0)=0，若在x0两侧附近f‘’(x0)异号，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。
否则(即f‘’(x0)保持同号，(x0,f(x0))不是拐点。
当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。
拐点问题结论总结
拐点问题结论总结概述拐点问题，也称为驻点、拐点、转折点等，是函数图像上的一个特殊点，其处的导数或二阶导数发生变化。
研究函数的拐点可以帮助我们了解函数图像的形状和性质，从而对函数做出更准确的描述和预测。
本文将对拐点问题进行总结和解释。
拐点定义和性质拐点是函数图像上导数或二阶导数发生变化的点。
具体地说，如果一个函数的导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点就是一个拐点。
同样地，如果一个函数的二阶导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点也是一个拐点。
拐点的性质如下：1.拐点处的函数可导，但并不一定连续可导。
2.拐点处的导数为零，但不意味着该点是极值点。
3.拐点可以导致函数图像从凹向上凸，或从凸向下凹。
4.拐点可以存在于函数的内部，也可以是函数的极值点。
拐点的判断方法判断一个函数是否存在拐点主要有以下几种方法：1.利用导数的增减性来判断。
如果函数的导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点就是一个拐点。
2.利用二阶导数的正负性来判断。
如果函数的二阶导数在某个点是正的，而在该点之后是负的，那么该点就是一个拐点。
3.利用函数图像的形状来判断。
如果函数的图像在某个点附近从凹向上凸，或从凸向下凹，那么该点有可能是一个拐点。
拐点问题的应用研究拐点问题可以有助于我们解决以下问题：1.函数的极值点问题。
拐点可以作为函数的极值点的一个候选。
2.函数图像的形状和性质。
了解函数的拐点可以帮助我们确定函数图像的凹凸性和转折点的位置。
3.函数的最优解问题。
拐点是函数曲线在某一方向上由凹转凸或由凸转凹的转折点，有时可以用来确定函数的最优解。
拐点问题的解决方法解决拐点问题的方法主要有以下几种：1.作出函数的导数图像。
通过观察导数的图像，可以判断函数是否存在拐点。
2.求导数的导数。
通过计算函数的二阶导数，可以直接判断函数的拐点。
3.求导数的关键点。
通过求导数为零的点，可以找到可能的拐点，然后使用其他方法来确认。
曲线拐点算法
曲线拐点算法曲线拐点算法是一种数学工具，用于确定函数曲线上的拐点。
拐点在函数图像中是位于曲线的不平滑转折处的点，它展示了函数从增长到减小或从减小到增长的变化。
在实际应用中，曲线拐点算法被广泛应用于许多领域，包括经济学、物理学和统计学等。
本文将介绍曲线拐点算法的原理和应用，并详细解释如何运用该算法来识别曲线的拐点。
首先，让我们来了解曲线拐点算法的原理。
曲线拐点的位置可以通过函数的导数来确定。
导数表示了函数变化的速率，通过计算导数的变化率，我们可以找到曲线上的转折点。
具体来说，如果函数的导数在某一点从正变为负，或者从负变为正，那么该点就是曲线的拐点。
这是因为函数的增长方向在拐点处发生变化。
在实际应用中，曲线拐点算法有许多的应用场景。
其中一个常见的应用是在经济学中用于确定市场的极限点。
经济市场的波动常常呈现出曲线的形式，通过识别曲线的拐点，我们可以推测市场的变化趋势。
例如，在股票市场中，识别出股票价格的拐点可以帮助投资者采取相应的行动，如买入或卖出股票。
此外，在物理学中，曲线拐点算法也被用于分析实验数据。
实验数据通常呈现出曲线的形式，通过寻找曲线的拐点，科学家们可以确定实验的临界点或阈值。
这对于研究物理过程的变化规律至关重要。
例如，在材料科学中，识别材料的变形点可以帮助科学家设计更坚固的材料。
在统计学中，曲线拐点算法也被广泛运用于时间序列分析。
时间序列是一组随时间变化的数据点，例如股票价格、气温变化等。
通过识别时间序列数据曲线的拐点，统计学家可以发现数据的分界点，并进行相应的预测。
例如，在气象学中，通过识别气温变化曲线的拐点，可以推测季节的转变。
总之，曲线拐点算法是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
它通过分析函数曲线的导数变化来识别拐点，并为我们提供了对曲线变化的洞察。
在经济学、物理学和统计学等领域，曲线拐点算法被广泛应用于市场分析、物理实验和时间序列预测等方面。
通过掌握和运用曲线拐点算法，我们可以更好地理解和利用曲线数据的变化规律，为实际问题提供有针对性的解决方案。
函数拐点及经验分析
函数拐点及经验分析【引言】在数学分析中，函数的拐点是一个非常重要的概念，它与函数的单调性、函数的极值及存在性、函数曲线的凸凹性等相关联。
在实际应用中，拐点可以用来分析一些物理现象或经济现象的特征。
本文将从数学分析的角度，对函数拐点进行探讨，并对一些实例进行分析。
【正文】1. 函数最值与拐点的关系对于单调函数而言，函数最值只可能在函数的端点或折点处取到。
所谓折点，即是函数的一个拐点，在这个点处，函数的单调性发生了变化。
如图所示，函数f(x)在x = a处有一个折点。
当f(x)的单调性由减少转为增加时，称x = a是一个右拐点；当f(x)的单调性由增加转为减少时，称x = a是一个左拐点。
折点的存在与函数的二阶导数密切相关，即如果函数f(x)的二阶导数存在，当f"(x) = 0或不存在时，就可能出现一个拐点。
具体地说，如果f"(x)在x = a处存在且f"(a) > 0，则函数在x = a处有一个右拐点；如果f"(x)在x = a处存在且f"(a) < 0，则函数在x = a 处有一个左拐点。
2. 实例分析(1) 函数y = x^3 – 3x^2 + 2x + 1这是一个三次函数，我们可以先求出它的一阶和二阶导数：y' = 3x^2 – 6x + 2y'' = 6x – 6令y'' = 0，得到x = 1，因此x = 1是函数的拐点。
当x < 1时，y'' < 0，即函数单调递减；当x > 1时，y'' > 0，即函数单调递增。
因此，x = 1是一个右拐点。
(2) 函数y = x^4 – 4x^3 + 6x^2这是一个四次函数，我们可以先求出它的一阶和二阶导数：y' = 4x^3 – 12x^2 + 12xy'' = 12x^2 – 24x + 12令y'' = 0，得到x = 1，则x = 1是函数的拐点。
如何快速理解和应用曲线拐点等概念
如何快速理解和应用曲线拐点等概念曲线拐点是指曲线上的一个特殊点，其左右两侧的斜率方向不同。
在数学和经济学等领域中，曲线拐点的理解和应用具有重要的意义。
本文将介绍如何快速理解和应用曲线拐点等概念。
一、曲线拐点的理解曲线拐点是指在曲线上的一个点，其左侧和右侧的斜率方向不同。
如果从数学角度来理解，曲线拐点可以通过求导数的方法来确定。
在经济学中，曲线拐点也常常被用来分析市场的变化和决策的结果。
二、曲线拐点的应用1. 市场分析在经济学中，曲线拐点常常被用来分析市场的供需关系和价格变动的影响。
通过分析曲线拐点，可以判断市场的供应是否过剩或不足，以及预测价格变动的趋势。
2. 产品销量分析曲线拐点还可以用来分析产品销量的变化。
当产品销量曲线上出现拐点时，表示产品的需求开始发生变化，可以根据这个拐点来调整产品的市场策略，以适应市场的需求变化。
3. 投资决策在投资决策中，曲线拐点被广泛应用。
通过分析投资收益曲线的拐点，可以判断投资的风险和回报，并做出相应的决策。
如果在曲线拐点之前投资，可能能够获得较高的回报；而在曲线拐点之后投资，则可能会面临较大的风险。
4. 生活决策曲线拐点的概念在生活中也有一定的应用。
例如，在时间管理中，可以通过分析曲线拐点来确定自己最高效的工作时间段；在健身计划中，可以通过分析曲线拐点来确定最适合锻炼的时间和强度。
三、如何快速理解和应用曲线拐点等概念1. 学习基本数学知识要快速理解和应用曲线拐点等概念，首先需要学习基本的数学知识，包括导数、函数图像和曲线的各种特性。
掌握这些数学基础知识将为理解和应用曲线拐点提供必要的工具。
2. 多练习曲线拐点的例题通过多做曲线拐点的例题，可以帮助加深对曲线拐点概念的理解，并熟练掌握应用曲线拐点的方法。
可以通过书籍、习题集或在线教育平台等多种途径进行练习。
3. 实际问题的应用将曲线拐点的概念应用到实际问题中，可以帮助加深对其理解。
可以通过分析市场、经济、生活等实际问题中的曲线拐点，来应用曲线拐点的相关知识。
平面曲线离散点集拐点的快速查找算法
平面曲线离散点集拐点的快速查找算法
王兵团
【期刊名称】《北京交通大学学报》
【年(卷),期】2001(025)006
【摘要】采用几何的方法,提出一种确定平面曲线离散点集拐点的快速算法,该算法结构简单、计算效率高,而且可以快速确定平面参数曲线离散点集的拐点.
【总页数】3页(P85-87)
【作者】王兵团
【作者单位】北方交通大学理学院,
【正文语种】中文
【中图分类】O241
【相关文献】
1.改进的三维离散点集凸包求解算法 [J], 李日福;李晋芳
2.一个分析计算平面曲线拐点的可靠判据 [J], 王兴波;石金龙;文锦
3.平面曲线运动拐点的法向加速度 [J], 杨咏东;李剑平
4.判定平面曲线拐点的一个充分性定理 [J], 雷仲庄
5.改进的三维离散点集凸包求解算法 [J], 李日福;李晋芳
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高数中的拐点
高数中的拐点高数作为大学数学的一门重要课程，对于理工科学生来说是不可或缺的一部分。
在学习高数的过程中，我们经常会遇到一个重要的数学概念——拐点。
拐点在函数图像中具有重要的意义和作用，本文将从拐点的定义、判定条件、应用等方面进行探讨。
一、拐点的定义拐点（也称为拐点）是函数图像上的一个特殊点，其定义如下：对于函数y=y(y)，若在某一点y=y0 处，函数的凹凸性发生改变，则称该点为函数图像上的拐点。
二、拐点的判定条件要判断函数图像上的某一点是否为拐点，需要找到函数的凹凸区间，并在区间内判断函数的凹凸性是否发生改变。
以下是判定拐点的具体条件：1. 凹凸性的判定条件：对于给定函数y=y(y)，其凹凸性的判定条件如下：- 若对于任意两点y1、y2（y1<y2），有y''(y)>0，则函数在区间 [y1,y2] 内是凹的；- 若对于任意两点y1、y2（y1<y2），有y''(y)<0，则函数在区间 [y1,y2] 内是凸的。
2. 拐点的判定条件：函数图像上的拐点具备以下两个条件：- 在拐点处函数存在；- 在拐点处函数的一阶导数y'(y) 存在。
三、拐点的应用拐点作为数学概念的一种重要应用，在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个拐点的应用实例：1. 曲线拟合：在数据分析和函数拟合中，拐点可以帮助我们确定数据的变化趋势。
通过寻找拐点，我们可以将曲线分段拟合，并进一步分析数据的特点和规律。
2. 优化问题：在优化问题中，拐点可以帮助我们确定函数的极值，并找到函数的最小值或最大值。
通过判定拐点，可以在问题求解过程中提供重要的指导和策略。
3. 经济学模型：在经济学模型中，拐点常常与需求和供给曲线相关，通过判定拐点可以确定市场的变化点，帮助经济学家预测市场走向和做出合理的决策。
四、拐点的举例分析为了更好地理解拐点的概念和应用，我们选取一个具体的函数进行分析。
拐点的判断方法
拐点的判断方法
拐点的判断方法要根据具体的情况来确定，以下是几种常见的判断方法：
1. 斜率法：对于曲线上的两个相邻的点，计算它们的斜率。
如果斜率从正数逐渐变为负数，或者从负数逐渐变为正数，那么这个点就可能是拐点。
2. 二阶导数法：对曲线的函数进行求导，得到一阶导数。
然后再对一阶导数再次求导，得到二阶导数。
如果二阶导数在某个点上变号（从正数变为负数或从负数变为正数），那么这个点就可能是拐点。
3. 曲率法：曲率是曲线在某一点处的曲率半径的倒数。
如果曲线在某个点的曲率突然增大或减小，那么这个点就可能是拐点。
需要注意的是，这些方法只是一般情况下的判断方法，对于复杂或特殊的曲线，可能需要更加细致的分析和计算，甚至使用数值方法来确定拐点的位置。
另外，在使用这些方法时要注意误差的产生，尤其是在计算导数和曲率时，数值计算可能会引入一定的误差。
高数一曲线的拐点的求法
高数一曲线的拐点的求法高等数学中，曲线的拐点是指曲线上出现急剧转折的点，即曲线方向的变化突然变大或变小。
求解曲线的拐点可以采用一阶导数和二阶导数的方法来进行。
一、一阶导数法求曲线拐点1.定义：曲线上任意一点(x, y)，其一阶导数表示为dy/dx=f'(x)，其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
2.求法：对曲线的函数f(x)进行求导，得到一阶导数f'(x)。
然后求解一阶导数方程f'(x)=0的解，得到曲线上的拐点x1。
3.判断：在拐点x1处，判断一阶导数的符号变化。
如果从正变负或从负变正，说明函数在该点处存在拐点。
4.总结：使用一阶导数法可以找到曲线上的拐点，但只能找到存在的拐点，并不能找到曲线的所有拐点。
二、二阶导数法求曲线拐点1.定义：曲线上任意一点(x, y)，其二阶导数表示为d²y/dx²=f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
2.求法：对曲线的函数f(x)进行两次求导，得到二阶导数f''(x)。
然后求解二阶导数方程f''(x)=0的解，得到曲线上的拐点x2。
3.判断：在拐点x2处，判断二阶导数的符号。
如果二阶导数大于0，则是凸性，曲线向上凸；如果二阶导数小于0，则是凹性，曲线向下凹。
4.总结：使用二阶导数法可以找到曲线上的拐点，并判断曲线在拐点处的凸凹性质。
三、一阶导数与二阶导数综合法求曲线拐点上述方法只能找到曲线上的部分拐点，如果需要找到曲线的所有拐点，可以使用一阶导数与二阶导数的综合方法。
1.求一阶导数：对曲线的函数f(x)进行求导，得到一阶导数f'(x)。
2.判断一阶导数：从起点开始逐一求解f'(x)=0的解，得到一阶导数方程的解集。
在解集中找到一个解x3，然后对x3附近的函数进行二阶导数运算。
3.求二阶导数：对x3附近的函数进行二阶导数运算，得到二阶导数f''(x)。
函数拐点的判别与求法探讨
函数拐点的判别与求法探讨拐点也称为拐点（turning point），在数学中是指函数曲线上的一个特殊点，它具有特殊的性质。
函数曲线在拐点处的切线几何意义上“拐弯”，也就是在该点左右两边的函数曲线有相反的变化趋势。
判别拐点的方法有如下几种：1.导数法：假设函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且f''(x)存在。
那么，如果f''(x)的符号在a和b两点的值相反，即f''(a)·f''(b)<0，则f(x)在[a,b]上至少存在一个拐点。
此方法通过求导数的导数来判断拐点的存在。
2.一阶导数为0法：假设函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么如果f'(x)在x=c的一些邻域内存在两个极值点，且两个极值点的值异号，即f'(c-)·f'(c+)<0，则f(x)在x=c处存在拐点。
3.二阶导数的零点法：假设函数f(x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，且f''(x)存在。
那么，如果f''(x)=0的解集{x1, x2, ..., xn}落在[a, b]中，并且在这些解集内，f'''(x)的符号变号，则f(x)在[x1, x2], [x2, x3], ...,[x{n-1}, xn]上都存在拐点。
这些方法都是通过函数曲线上的导数或到导数的导数来判断拐点的存在，接下来讨论如何求拐点的具体值。
1.导数法求拐点：先求函数f(x)的导数f'(x)，然后计算导数的导数f''(x)。
通过找到f''(x)=0的解集，得到拐点的近似值。
在这些解集{x1, x2, ..., xn}中，假设对一些xi，f'''(xi) > 0，那么从[x1, xi]、[xi,x{i+1}]、..、[xn-1, xn]，查找f(x)的趋势变化，找到拐点的具体位置。
拐点的3个判断方法
拐点的3个判断方法
拐点是统计学中一个非常重要的概念，可用于检测数据变化的开始点。
拐点的判断方法有很多种，下面主要介绍三种：
1. 通过回归分析的方法来判断拐点：通过回归分析的方法拟合曲线，再经过根据拟合曲线的曲率来判断拐点的位置。
如果当前曲率发生变化，则说明该点是拐点。
在使用回归分析判断拐点时，可以考虑选用最小二乘法进行拟合，并利用F-Test和T-Test确定系数检验的显著性水平。
2. 通过求导方程来判断拐点：求导方程能衡量函数的变化速率，如果函数的一阶导数改变时，则说明此处是拐点。
可以先以拟合函数的样式，按照求导的规则求出函数的一阶导数，如果一阶导数的极值点和拐点的位置重合，则说明该点为拐点。
3. 通过对比不同的拐点检测算法，通过观察曲线的变化，也可以判断拐点的位置。
常用的拐点检测算法有：转折点算法、偏差算法、突变点算法等。
转折点算法是根据曲线模型中的转折点拟合曲线，求出原始曲线上的拐点。
偏差算法是对曲线上的数据点进行拟合，找出偏差最大的多个点。
突变点算法是通过计算两个数据点之间的斜率，发现斜率突变处，即为拐点位置。
求解函数的拐点
求解函数的拐点函数的拐点是指函数图像从凸向上转变为凹向上（或从凹向上转变为凸向上）的点。
在数学中，拐点的存在和性质有广泛的研究和应用。
求解函数的拐点是一种常见的数学问题，它在微积分和优化问题中都有重要的应用。
对于一个给定的函数，我们可以通过求解函数的二阶导数来确定其拐点的位置和性质。
简单地说，一个函数的拐点出现在其二阶导数等于零的点。
具体来说，我们可以按照以下步骤求解函数的拐点：1.给定函数f(x)，计算它的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
2.解方程f''(x) = 0，得到所有可能的拐点的x坐标。
3.对每一个可能的拐点x，计算f''(x)的符号。
a.如果f''(x) > 0，那么x是一个凹向上的拐点。
b.如果f''(x) < 0，那么x是一个凸向上的拐点。
4.将这些拐点和它们的性质作为求解结果输出。
然而，对于复杂的函数，求解拐点可能会变得困难。
在实际应用中，我们可以使用数值计算和图形分析的方法来辅助求解。
下面是一些常见的情况和方法：1.多次求导法：对于简单的函数，我们可以通过多次求导来求解拐点。
对于一次可导的函数，如果二阶导数f''(x)的符号在某个区间内发生改变，那么该区间内的某个点就是一个拐点。
2.图形分析法：对于复杂的函数图像，我们可以通过观察函数图像的凹凸性来确定拐点的位置。
如果函数图像在某个点上出现凹凸性的转变，那么该点就是一个拐点。
3.数值计算法：对于无法解析求导的函数，我们可以通过数值计算的方法来求解拐点。
例如，使用数值微分方法来近似计算函数的导数，然后根据导数的变化情况来确定拐点。
总之，求解函数的拐点是一项重要的数学问题，它在微积分和优化问题中都有广泛的应用。
通过求解函数的二阶导数、图形分析和数值计算等方法，我们可以有效地确定函数的拐点的位置和性质。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和函数特点选择合适的方法来求解拐点，从而得到准确的结果。
曲线拐点的知识点总结
曲线拐点的知识点总结一、概念曲线拐点是指曲线上的一个点，在该点处曲线的斜率发生突变或者为零。
这意味着曲线在拐点处由凹转凸或者由凸转凹，或者曲线在拐点处的切线方向发生变化。
拐点通常是曲线的特征点之一，具有较强的几何意义和应用价值。
拐点可以用来分析曲线的极值、凹凸性以及曲线在不同点处的特性和形态。
二、判定方法判定曲线拐点的方法通常有两种：一是使用导数，通过求解导数是否为零或者变号来判定拐点；二是使用二阶导数，通过求解二阶导数是否为零或者变号来判定拐点。
下面分别从这两个方法进行详细介绍。
1. 使用导数判定拐点对于给定函数y=f(x)，可以通过求解函数的一阶导数f'(x)来判定曲线的拐点。
一阶导数的零点或者变号点通常会对应曲线的拐点。
具体步骤为：(1) 求解一阶导数f'(x)，并找出其零点和变号点，即f'(x)=0或者f'(x)从正到负或者从负到正的点；(2) 对于f'(x)=0的点，判定其是否是曲线的拐点；(3) 对于f'(x)的变号点，判定其是否是曲线的拐点。
通过以上步骤可以得到曲线的拐点。
2. 使用二阶导数判定拐点如果函数f(x)的一阶导数f'(x)存在且可导，那么可以通过求解二阶导数f''(x)来判定曲线的拐点。
二阶导数的零点或者变号点通常会对应曲线的拐点。
具体步骤为：(1) 求解二阶导数f''(x)，并找出其零点和变号点，即f''(x)=0或者f''(x)从正到负或者从负到正的点；(2) 对于f''(x)=0的点，判定其是否是曲线的拐点；(3) 对于f''(x)的变号点，判定其是否是曲线的拐点。
通过以上步骤可以得到曲线的拐点。
三、举例分析1. 使用导数判定拐点考虑函数y=x^3-3x^2+2x，求解其拐点。
首先求解函数的一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2，然后解方程3x^2-6x+2=0得到其零点或者变号点。
2017考研数学：曲线拐点的判别方法分析
2017考研数学：曲线拐点的判别方法分析来源：文都教育函数是高等数学的研究对象，函数的特性包括分析特性和几何特性，分析特性包括函数的极限、函数的连续与间断、函数的导数、函数的积分等，几何特性包括曲线的图形、曲线的切线和法线、曲线的凹凸性、曲线所围成的面积等，其中曲线的凹凸性是反映曲线的弯曲方向的，如果曲线向下弯曲，则称之为凸，如果曲线向上弯曲，则称之为凹，如果曲线在某点的弯曲方向发生改变，则称该点为拐点，拐点是考研数学的一点考点，如何判别曲线的拐点，下面文都考研蔡老师对此做些分析总结，供各位考生复习参考。
一、拐点的定义定义：设()y f x =在区间I 上连续，0x 是I 的内点，如果曲线()y f x =通过点00(,())x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点00(,())x f x 为该曲线的拐点。
注：1）区间I 的内点是指除区间端点外的I 内的点；2）从几何直观上看，拐点就是曲线的弯曲方向发生改变的点。
二、拐点的判别方法方法1：从几何图形上判别从几何直观上看，如果曲线的图形在点00(,())x f x 左、右的凹凸性不同，则该点是拐点。
方法2：运用二阶导数()f x ''判别，步骤如下：1）求出()0f x ''=的点和()f x ''不存在的点0x ；2）若()f x ''在0x 的左右邻域内的符号相反，则00(,())x f x 是拐点，否则不是拐点。
方法3：运用二阶导数()f x ''和三阶导数()f x '''判别性质：若()f x 在0x 点的三阶导数存在，且0()0f x ''=，0()0f x '''≠，则00(,())x f x 是拐点。
证：由条件得 000000()()()()lim lim x x x x f x f x f x f x x x x x →→''''''-'''==--， 由0()0f x '''≠，不妨设0()0f x '''>，则00()lim 0x x f x x x →''>-，由极限的保号性知，在0x 的某去心邻域内，0()0f x x x ''>-，因此00()0,()0,f x x x f x x x ''< <⎧⎨''> >⎩，即()f x 在0x 点的某左、右邻域内变号，故00(,())x f x 是拐点。
函数的增减性与拐点问题
函数的增减性与拐点问题函数的增减性与拐点问题是数学中常见的一个概念，用来描述函数在不同区间上的变化趋势。
在本文中，我们将探讨函数的增减性和拐点的定义、判断方法以及与实际问题的应用。
一、函数的增减性函数的增减性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体来说，对于一个单调递增的函数，当自变量增大时，函数值也随之增大；对于一个单调递减的函数，自变量增大时，函数值会减小。
判断函数的增减性有以下两种常用方法：1. 导数法导数可以反映函数的变化率，因此可以通过函数的导数来判断函数的增减性。
具体来说，若函数在某一区间上的导数大于零，说明函数在该区间上是递增的；若导数小于零，说明函数在该区间上是递减的。
2. 一阶导数与二阶导数法如果函数在某一点处的一阶导数从正数变为负数，那么这个点就被称为拐点。
拐点处函数的增减性发生了改变。
此外，如果拐点处的二阶导数存在且不为零，那么这个点就是一个真正的拐点。
二、拐点问题拐点问题是研究函数曲线变化的重要课题之一。
在函数曲线上，拐点通常表现为曲线从凸向上转变为凹向上，或者从凹向上转变为凸向上的点。
判断拐点有以下两种方法：1. 导数法将函数的二阶导数等于零的点称为临界点。
如果在临界点左侧的二阶导数为正，右侧的二阶导数为负，那么这个点就是一个拐点，曲线在此处发生凹凸变形。
2. 一阶导数的变化如果函数在某一点的一阶导数发生突变，即从增加或减少变为相反的趋势，那么这个点就是一个拐点。
三、函数增减性与拐点问题的应用函数的增减性与拐点问题在实际问题中有广泛的应用。
以下是其中的两个例子：1. 经济学中的应用经济学中常利用函数的增减性与拐点来描述需求变动、营销策略等问题。
通过分析产品需求量的变化趋势，可以找到销售高峰和低谷的时间点，从而合理安排生产和营销策略，提高企业的效益。
2. 物理学中的应用物理学中的运动学问题也涉及了函数的增减性与拐点问题。
通过分析物体的位置、速度和加速度之间的关系，可以判断物体在不同时间段内是匀速运动、加速运动还是减速运动，进而获得运动状态的详细信息。
拐点相关知识点总结
拐点相关知识点总结拐点的定义和判定是拐点理论的基础，它是指函数曲线上的一点，该点处的函数二阶导数在该点处存在且为零，同时该点处的函数在该点的左右两侧的二阶导数符号相反。
在数学上，拐点的定义可以形式化表示为：设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在实数c∈I，使得f''(c)=0，且f''(x)的符号在c的左右两侧相反（即f''(x)<0和f''(x)>0），则称c为函数f(x)在区间I上的一个拐点。
根据这一定义，我们可以使用二阶导数判定法来判定一个函数在某一点是否存在拐点。
二阶导数判定法是判定函数拐点的常用方法之一，它是通过函数的二阶导数的符号和零点来确定函数的拐点情况。
具体而言，如果一个函数在某一点的二阶导数为零并且在该点的邻域内符号发生改变，则该点就是函数的拐点。
例如，对于函数f(x)，如果f''(c)=0且在c 的邻域内有f''(x)>0和f''(x)<0的情况发生，则c是函数f(x)的一个拐点。
通过二阶导数判定法，我们可以对函数的拐点进行准确判定，从而对函数的变化趋势和特点有更深入的理解。
拐点理论有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是在微积分中的优化问题中。
对于一个实际问题，如果我们需要求解某一函数的最大值或最小值，那么可以通过对函数的导数和拐点进行分析来找到函数的极值点。
当函数的导数存在拐点时，这些拐点通常是函数的极值点。
因此，拐点理论在微积分中可以帮助我们更快、更准确地求解最优化问题。
另外，拐点理论在经济学中也有着重要的应用。
在经济学中，许多经济现象的变化趋势都可以通过函数来描述，而这些函数中可能存在拐点。
例如，一个企业的成本函数、收益函数或供求函数等都可能存在拐点，通过对这些函数的拐点进行分析，可以更好地理解和预测经济现象的变化趋势。
此外，在一些复杂的经济模型中，拐点理论也被广泛应用，以帮助经济学家更好地理解和解释现实经济现象。
离散型函数拐点算法及应用
)的温度变化比较缓慢，相应参量
(介质损耗角正切
)
的变化也就比较缓慢，而数据采集卡的采样频率较高，这样就会采集到大量的相同数据，这
些相同数据在代入判别式(2)或(3)计算
F(k)时会出现除零错，即使对判别式(2)或(3)进行改进，
使它不出现除零错的情况，这些相同数据也会大大增加计算量，所以在将采集到的数据带入
(2)进行
计算，如果进行数据等时间间隔周期采样，则利用判别式(3)进行计算。
4数据处理
计算机端数据处理所要进行的工作主要包含数据预处理、绘制曲线、拐点计算等
3个方
面。各相应步骤以算法在漆包线的绝缘状况的监控中的应用实例来说明。
4.1
对采集到的数据进行预处理
数据预处理主要包含以下
2个方面。
(1)去掉重复点。由于温度场
其中
k=3,4,5,…,n-3。若判别式
(2)或(3)在
k=m处成立，则说明位于
xm与
xm+1之间。
显然，当
Δ→0(或
n→∞)时，则
xm→p0，即
m充分大时，(xm,ym)≈P=(p0,f(p0))。
2.3
算法终止判别
算法开始时分别将各等分点代入(3)式，计算出
F(k)，当
F(k)小于
0时算法即可终止。
由于温度场恒温箱的温度变化比较缓慢相应参量介质损耗角正切的变化也就比较缓会采集到大量的相同数据这些相同数据在代入判别式2或3它不出现除零错的情况这些相同数据也会大大增加计算量以在将采集到的数据带入公式前必须要将重复值去掉
离散型函数拐点算法及应用
李涛田晓君
(黄石理工学院机电工程系,湖北黄石,435003)
取现拐点的自动确立
曲线拐点的自动确定摘要：对于由离散点表示的数字地图与图形数据，本文首先利用两相邻矢量叉积乘积的原理来判定拐点所在的折线边；然后利用曲线光滑原理，在已确定的折线边的两个端点之间，建立一条光滑加密了的S形曲线，把后者看作是原始折线的精确曲线，对它进行曲线段凹向改变点（拐点）的定位计算。
对于离散数据，多次应用矢量叉积乘积的原理，求出最或然拐点，并看作是理论拐点。
为了简化计算量，探讨了如何避免为求拐点而进行光滑加密的辅助计算过程。
对此，研究分析了拐点在折线边上的移动规律与其前后的曲线转角之间的相关关系，借此可直接根据原始离散数据作简单计算，在足够精确的程度上得出拐点的位置。
关键词：拐点；弯曲；曲折系数；矢量叉积曲线的弯曲可看作是线状物体的子物体。
在常规作业中，地图工作者识别各个弯曲不存在任何问题。
而在计算机环境下，为了能使计算机自动识别曲线的各个弯曲，需要对弯曲作出数学形式化定义。
一、拐点的定义曲率最小点（零曲率点）即拐点，它是曲线凹向的变化（凸凹交替）点，是图形数学弯曲的分界点。
拐点的连线就构成弯曲的底线，不同层次的拐点连线反映着线状物体不同级别的趋势走向。
然而，拐点信息在数据获取中难以精确定位，通常也不像对待其他特征点那样给以特别的考虑，且在数据库管理中也未予以显式标示，即在原始数据中往往没有明确包含曲线的拐点信息。
因此，在必要的情况下，只能通过计算来确定。
拐点又叫做扭转点，即在其前后存在的一个邻域内，使得其前后曲线段的凸凹特性相反。
或者说，过拐点的切线把邻域内的曲线分成两部分，后者位于此切线的异侧。
在数字环境下，曲线不是由显式数学函数来表示，而是由离散坐标点来表示。
此时，拐点的确定可分为两个子过程来进行：在原始数据的哪两点之间或曲线图形的哪一条边的区间存在拐点；拐点在该区间的何处。
二、拐点存在区间的判别由于两个不共线矢量的叉积可决定所成转角的凸凹特征，故对于拐点存在区间的判别，可通过对每相邻4 点（A，B，C，D）（其中每相邻三点不共线）进行测试来实现。
matlab 离散曲线拐点
在MATLAB中，可以使用`findpeaks`函数来找到离散曲线的拐点。
首先需要安装`PeakFindingToolbox`工具箱，然后使用`findpeaks`函数。
以下是一个简单的示例：
1. 安装`PeakFindingToolbox`工具箱：
```matlab
!pip install peakfindingtoolbox
```
2. 使用`findpeaks`函数找到离散曲线的拐点：
```matlab
生成一个离散曲线
x = 0:0.1:10;
y = sin(x);
添加噪声
y_noise = y + 0.5 * randn(size(y));
找到拐点
[pks, locs] = findpeaks(y_noise);
绘制原始曲线和拐点
figure;
plot(x, y_noise, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(x(locs), y_noise(locs), 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('离散曲线拐点');
legend('原始曲线', '拐点');
```
在这个示例中，我们首先生成了一个离散曲线（正弦波），然后添加了一些噪声。
接着，我们使用`findpeaks`函数找到了拐点，并将原始曲线和拐点绘制在同一张图上。
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拟信号进行采样，最后送入计算机处理。
6结论
根据拐点的特性，提出了一种新的简单快捷的采用非拟合曲线的方式计算离散型函数
的近似拐点的方法。理论分析表明，通过非拟合曲线近似求拐点的方法可以大大的减轻计算
拐点的计算量，特别适合于工程实际中的应用。利用该方法同时还可以绘制近似曲线，这样
calculate the mathematical inflection point of discrete data using non-fitting curve way. The method
has been successfully applied in the quality control of enamel-insulated wire production.
(2)或(3)在
k=m处成立，则说明位于
xm与
xm+1之间。
显然，当
Δ→0(或
n→∞)时，则
xm→p0，即
m充分大时，(xm,ym)≈P=(p0,f(p0))。
2.3
算法终止判别
算法开始时分别将各等分点代入(3)式，计算出
F(k)，当
F(k)小于
0时算法即可终止。
在实际应用过程中，n取无穷大不现实也无必要。实际应用中
重影响计算结果，因此必须去掉。
实验结果表明，通过去极值取平均的方式就可以较好对采集到的数据进行上述两个方面
的处理。
4.2绘制曲线
根据采集到的数据在计算机屏幕上绘制参量(介质损耗角正切)-温度曲线，以坐标横轴为
温度，坐标纵轴为参量
(介质损耗角正切)。由于恒温箱中温度是以与时间成线性的方式增加，
这样在实际编程过程中可以用时间通过计算来取得温度，时间可以通过一个软件计数器取
12(4):294-298.
[7]张永强,李学东,刘富军.应变实验数据采集与处理系统的硬件设计与实现
[J].微计算机信息
.2005,1:65-66
[8]
杨琨超,毕荣.电力电缆(电线)及附件生产加工工艺与质量检测标准实用手册
[M].安徽文化音像出版社
.
2003.
[9]电缆电线生产使用质量检测与技术标准应用手册
得，得到时间后只需要进行一次简单的线性转换就可以得到温度了。根据采集到的数据点以
及计算出来的对应温度即可在坐标轴上描出相应的点。相邻点用直线连接起来即可得到近似
的介质损耗角正切-温度曲线。
4.3拐点计算
将得到的各坐标点依次代入判别式(2)或(3)计算
F(k)，判断代入公式的点是否为拐点。
拐点有可能存在多个，所以在计算拐点时一定要将所有的点均带入计算一遍。
对于工程实际中以离散点形式构成的函数，比如销售分析、企业经营状况分析、产品质量的
监控、生产成本的分析等各个方面都有重要的作用。
本文作者创新点在于，采用非拟合曲线的方式计算离散型函数的近似拐点。该方法不
但可以极大地减少运算量，同时还可以绘制近似曲线。
参考文献
[1]
汤锋,王章野,刘钢等.基于矢量化方法的套色图光滑变换算法
x
k.1 k.2k.2k.3 k+2 k+1k+1k
为简化算法，不失一般性，可将区间[a,b]n等分，则式
(2)可变换为如下判别式
F(k)=(f(xk-1)+ f(xk-3)-2 f(xk-2))×(f(xk)+ f(xk+2)-2 f(xk+1))<0 (3)
其中
k=3,4,5,…,n-3。若判别式
些相同数据在代入判别式(2)或(3)计算
F(k)时会出现除零错，即使对判别式(2)或(3)进行改进，
使它不出现除零错的情况，这些相同数据也会大大增加计算量，所以在将采集到的数据带入
公式前必须要将重复值去掉。
(2)去掉错误值。在数据采集过程中由于各种因素的影响
(如车间环境恶劣，电气干扰较
为严重)，往往会造成数据采集误差，而出现错误点。这些错误点如果偏离真实值较远会严
xk-1与
xk(k=3,4,5…n-3)
之间，根据判别式(1)有
f (x ).
f (x ) f (x ).
f (x ) f(x ) .
f (x ) f (x ) .
f (x )
k.1 k.2k.2k.3 k+2 k+1k+1k
F(k) =( .
)×( .
) <
0 (2)
x .xx .xx .
xx .
形式给出的，由此所构成的离散型函数在利用上述方法求解拐点时，还必须事先根据离散数
据点求解相应拟合曲线，这样往往费时费力而且精度不高。因此，寻求一种快捷、精确的拐
点算法十分必要。
2数学计算模型
2.1
拐点判别式
根据拐点特性，在拐点前后曲线的上升(或下降)趋势不一样，如图
1所示。若
P=(p0, f(p0))
利用判别式(1)即可获得曲线拐点判别算法。对于区间[a, b]上的函数
f(x)，为求其拐点，
先将区间[a, b]分割为小区间，小区间长度最大者
Δ趋于
0。设分点分别为
x0, x1,…,xk,…,xn-1，
对应纵座标为
f(x0),f(x1),…,f(xk),…, f(xn-1)，如图
2所示。如果拐点处于点
Abstract: Based on the mathematical definition and physical meaning, a fast effective method was
studied to calculate mathematical inflection point using computer, and a algorithms was proposed to
拐点。所以，漆包线的质量监控通常是通过绘制介质损耗角正切-温度曲线来描述其绝缘性
能，通过介质损耗角正切-温度曲线的拐点来描述其耐高温特性。检测的过程如图
5所示。
打印显示
介质测量仪
数据采集卡
计算机
图
5检测过程
其中，试样被放置在一个恒温箱里，恒温箱的温度从某一起点温度开始，以与时间成线
性的方式增加，这样介质损耗测量仪测得的数据就是一组随时间变化而变化的介质损耗角正
[M].北京科海电子出版.2003.
作者简介：
李涛(1980－)，男，湖北荆门人，湖北黄石理工学院机电工程学院教师，主要从事智能测控方面的研
究工作，硕士。
田晓君(1969－)，男，湖北浠水人，湖北黄石理工学院机电工程学院教师，主要从事智能测控方面的
研究工作，硕士。
离散型函数拐点算法及应用
李涛田晓君
(黄石理工学院机电工程系,湖北黄石,435003)
摘要在数学定义及物理意义的基础上，研究了利用计算机来计算数学拐点的一种快速有效的
方法，提出了对于离散数据以非拟合曲线的方式计算拐点的算法。该方法已成功地应用于漆包线生产
过程质量监控。
关键词拐点算法离散数据非拟合曲线
文章编号：
n的取值由数据特性、区
间[a,b]的宽度，以及精要求来决定。区间
[a,b]的宽度取
5cm，计算机屏幕取
1024×768分
辨率时，n的取值对函数图形的影响如图
3所示。
n=50
n=200
n=500
n=2000
图
3
n的取值对函数图形的影响
由图
3可知，在实际应用中，对精度的要求不是很高的情况下，一般
n取
300～3000
Key words: inflection point; algorithm; discrete data; non-fitting curve
1引言
由于拐点所反映的是相应曲线上升(或下降)趋势发生变化的点，它在企业的生产管理等
方面比如销售分析、企业经营状况分析、产品质量的监控、生产成本的分析等各个方面都有
[4]朱亚云,方承远. Windows环境下实现实时数据采集的可行性[J].上海理工大学学报
.1999, 21(2):153-158
[5]严蔚敏,吴伟民.数据结构[M].清华大学出版社
.1992.
[6]
董海卫,江早,王永军
.基于矢量化二值工程图得符号提取算法
[J].计算机辅助设计与图形学学报
.2000,
介质极化的滞后效应，在其内部引起的能量损耗。通常在实际应用中采用测量介质损耗角正
切的方法来反映介质损耗。通过检测不同温度下的介质损耗量还可以反应出漆包线在不同温
度下的绝缘性能。同时，随着温度的升高，漆包线的绝缘漆还会出现由玻璃态到高弹态的转
变。转变点反应出了漆包线的耐高温特性，它在介质损耗角正切-温度曲线上即表现为一个
4数据处理
计算机端数据处理所要进行的工作主要包含数据预处理、绘制曲线、拐点计算等
3个方
面。各相应步骤以算法在漆包线的绝缘状况的监控中的应用实例来说明。
4.1
对采集到的数据进行预处理
数据预处理主要包含以下
2个方面。
(1)去掉重复点。由于温度场
(恒温箱
)的温度变化比较缓慢，相应参量
(介质损耗角正切
)
的变化也就比较缓慢，而数据采集卡的采样频率较高，这样就会采集到大量的相同数据，这
[3] Vincent Beau, Mark Singer, Reduced resolution and scale space for dominant feature detection in contours ,
Pattern Recognition[J], 2001, 34(2): 287-297.